Problema de Znám

El problema de Znám toma su nombre del matemático eslovaco Štefan Znám, quien lo sugirió en 1972, aunque otros matemáticos ya estaban trabajando con problemas similares en esa misma época.

Sun (1983) demostró que hay al menos una solución para el problema de Znám (propio) para cualquier k ≥ 5.

Se sabe que hay solo un número finito de soluciones posibles para cada k. Entre las varias preguntas abiertas en torno al problema, se desconoce si hay alguna solución para el problema usando solo números impares.

Sin embargo, todas las soluciones conocidas tienen y = 1, por lo que satisfacen la ecuación Es decir, llevan a una representación en forma de fracción egipcia del número uno como suma de fracciones unitarias.

Si todos los números en una solución a cualquiera de las dos versiones del problema son primos, su producto es un número pseudoperfecto primario (Butske, Jaje y Mayernik, 2000); también se ignora si existen infinitas soluciones de este tipo.

Demostración gráfica de que 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Cada fila de k cuadrados de lado 1/k tiene un área total de 1/k, y todos los cuadrados juntos cubren exactamente un cuadrado de área 1. La fila inferior, con 47058 cuadrados de lado 1/47058 es demasiado pequeño para apreciarse en la figura, por lo que no se muestra.