Historia de la geometría
Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.
[1] En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
[4][5] En 2021 científicos australianos encontraron pruebas de que los babilonios hacían algo asombroso: trigonometría.
Lo único que ha perdurado son algunas fórmulas —o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de «receta»— para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica.
Los agrimensores trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes.
Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.
Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
No se ponía en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente podía deducirse del resto de postulados.
Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos.
[15] También descubrió que una cuña con una base trapezoidal y ambos lados inclinados se podía formar para obtener dos cuñas tetraédricas separadas por una pirámide.Además, Liu Hui describió el principio de Cavalieri sobre el volumen, así como la eliminación gaussiana.
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad.
Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás —además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro—.
Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría algebraica, tardará aún mucho —siglo XX— en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton.
La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma
Las ideas geométricas no solo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración.
Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos.
Solo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.
Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas.
Pero la teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da solo esos frutos.
También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta.
Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.
es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
[17] Éste es el primer cálculo de un invariante topológico que permitió clasificar las superficies del espacio.
[19] Gauss fue el primero en comprender la posibilidad de que existiesen geometrías alternativas a la euclídea.
Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ángulos entre rectas.
El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto.
Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas.
