Teorema integral de Cauchy

Teorema en análisis complejo

En matemáticas , el teorema integral de Cauchy (también conocido como teorema de Cauchy-Goursat ) en análisis complejo , llamado así en honor a Augustin-Louis Cauchy (y Édouard Goursat ), es una declaración importante sobre las integrales de línea para funciones holomorfas en el plano complejo . Esencialmente, dice que si es holomórfico en un dominio simplemente conexo Ω, entonces para cualquier contorno simplemente cerrado en Ω, esa integral de contorno es cero. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

Declaración

Teorema fundamental para integrales de línea complejas

Si f ( z ) es una función holomorfa en una región abierta U y es una curva en U desde hasta entonces, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).}$$

Además, cuando f ( z ) tiene una antiderivada de un solo valor en una región abierta U , entonces la integral de ruta es independiente de la ruta para todas las rutas en U. ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$

Formulación sobre regiones simplemente conectadas.

Sea un conjunto abierto simplemente conexo y sea una función holomorfa . Sea una curva cerrada suave. Entonces: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$

simplemente conexogrupo fundamental ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

formulación general

Sea un conjunto abierto y sea una función holomorfa . Sea una curva cerrada suave. Si es homotópico a una curva constante, entonces: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$

homotópicahomotopíasimplemente conexohomotópica ${\displaystyle U}$

Ejemplo principal

En ambos casos, es importante recordar que la curva no rodea ningún "agujero" en el dominio; de lo contrario, el teorema no se aplica. Un ejemplo famoso es la siguiente curva: ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],}$$

$${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}$$

${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$

Discusión

Como demostró Édouard Goursat , el teorema integral de Cauchy puede demostrarse suponiendo únicamente que la derivada compleja existe en todas partes . Esto es importante porque entonces se puede probar la fórmula integral de Cauchy para estas funciones y de ahí deducir que estas funciones son infinitamente diferenciables . ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle U}$

La condición de que sea simplemente conexo significa que no tiene "huecos" o, en términos de homotopía , que el grupo fundamental de es trivial; por ejemplo, cada disco abierto , para , califica. La condición es crucial; considerar ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$

${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$

Una consecuencia importante del teorema es que las integrales de trayectoria de funciones holomorfas en dominios simplemente conexos se pueden calcular de una manera familiar por el teorema fundamental del cálculo : sea un subconjunto abierto simplemente conexo de , sea una función holomorfa y sea un Ruta continuamente diferenciable por partes con punto inicial y punto final . Si es una antiderivada compleja de , entonces ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

El teorema integral de Cauchy es válido con una hipótesis más débil que la dada anteriormente, por ejemplo , dado un subconjunto abierto simplemente conexo de , podemos debilitar los supuestos para que sean holomórficos y continuos y un bucle simple rectificable en . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\textstyle {\overline {U}}}$

El teorema integral de Cauchy conduce a la fórmula integral de Cauchy y al teorema del residuo .

Prueba

Si se supone que las derivadas parciales de una función holomorfa son continuas, el teorema integral de Cauchy puede demostrarse como una consecuencia directa del teorema de Green y del hecho de que las partes real e imaginaria de deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la región delimitada por , y además en la vecindad abierta U de esta región. Cauchy proporcionó esta prueba, pero luego fue probada por Goursat sin requerir técnicas de cálculo vectorial o la continuidad de derivadas parciales. ${\displaystyle f=u+iv}$ ${\displaystyle \gamma }$

Podemos descomponer el integrando , así como el diferencial, en sus componentes real e imaginaria: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dz}$

$${\displaystyle f=u+iv}$$

$${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

En este caso tenemos

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

Según el teorema de Green , podemos reemplazar las integrales alrededor del contorno cerrado con una integral de área en todo el dominio que está encerrado por lo siguiente: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

Pero como las partes real e imaginaria de una función holomorfa en el dominio y deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

Por lo tanto encontramos que ambos integrandos (y por tanto sus integrales) son cero

$${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$

$${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

Esto da el resultado deseado

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$

Ver también

• teorema de morera
• Métodos de integración de contornos.
• Dominio estrella

Referencias

1. Walsh, JL (1 de mayo de 1933). "El teorema de Cauchy-Goursat para las curvas de Jordan rectificables". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 19 (5): 540–541. doi : 10.1073/pnas.19.5.540 . ISSN  0027-8424. PMC  1086062 . PMID  16587781.

• Kodaira, Kunihiko (2007), Análisis complejo , Cambridge Stud. Adv. Matemáticas., 107, COPA , ISBN 978-0-521-80937-5
• Ahlfors, Lars (2000), Análisis complejo , serie McGraw-Hill en Matemáticas, McGraw-Hill , ISBN 0-07-000657-1
• Lang, Serge (2003), Análisis complejo , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Rudin, Walter (2000), Análisis real y complejo , series de McGraw-Hill en matemáticas, McGraw-Hill

enlaces externos

• "Teorema de la integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema integral de Cauchy". MundoMatemático .
• Jeremy Orloff, 18.04 Variables complejas con aplicaciones Primavera de 2018 Instituto de Tecnología de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons.