conjunto abierto

Subconjunto básico de un espacio topológico.

Ejemplo: El círculo azul representa el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen x ² + y ² = r ² . El disco rojo representa el conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen x ² + y ² < r ² . El conjunto rojo es un conjunto abierto, el conjunto azul es su conjunto límite y la unión de los conjuntos rojo y azul es un conjunto cerrado .

En matemáticas , un conjunto abierto es una generalización de un intervalo abierto en la recta real .

En un espacio métrico (un conjunto junto con una distancia definida entre dos puntos cualesquiera), un conjunto abierto es un conjunto que, junto con cada punto P , contiene todos los puntos que están suficientemente cerca de P (es decir, todos los puntos cuya distancia a P es menor que algún valor dependiendo de P ).

De manera más general, un conjunto abierto es miembro de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener cada unión de sus miembros, cada intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío y el conjunto completo mismo. . Un conjunto en el que se da tal colección se llama espacio topológico y la colección se llama topología . Estas condiciones son muy flexibles y permiten una enorme flexibilidad en la elección de conjuntos abiertos. Por ejemplo, cada subconjunto puede ser abierto (la topología discreta ), o ningún subconjunto puede estar abierto excepto el espacio mismo y el conjunto vacío (la topología indiscreta ). ^[1]

En la práctica, sin embargo, se suelen elegir conjuntos abiertos para proporcionar una noción de cercanía similar a la de los espacios métricos, sin tener definida una noción de distancia. En particular, una topología permite definir propiedades como continuidad , conectividad y compacidad , que originalmente se definían mediante una distancia.

El caso más común de una topología sin distancia alguna está dado por las variedades , que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclidiano , pero sobre los cuales no se define ninguna distancia en general. En otras ramas de las matemáticas se utilizan topologías menos intuitivas; por ejemplo, la topología de Zariski , que es fundamental en geometría algebraica y teoría de esquemas .

Motivación

Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos . Por ejemplo, si alrededor de uno de dos puntos en un espacio topológico existe un conjunto abierto que no contiene el otro punto (distinto), los dos puntos se denominan topológicamente distinguibles . De esta manera, se puede hablar de si dos puntos, o más generalmente dos subconjuntos , de un espacio topológico están "cerca" sin definir concretamente una distancia . Por tanto, los espacios topológicos pueden verse como una generalización de espacios dotados de una noción de distancia, que se denominan espacios métricos .

En el conjunto de todos los números reales , se tiene la métrica euclidiana natural ; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d ( x , y ) = | x − y | . Por tanto, dado un número real x , se puede hablar del conjunto de todos los puntos cercanos a ese número real; es decir, dentro de ε de x . En esencia, los puntos dentro de ε de x se aproximan a x con una precisión de grado ε . Tenga en cuenta que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se hace cada vez más pequeño, se obtienen puntos que se aproximan a x con un grado cada vez mayor de precisión. Por ejemplo, si x = 0 y ε = 1, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos del intervalo (−1, 1); es decir, el conjunto de todos los números reales entre −1 y 1. Sin embargo, con ε = 0,5, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos de (−0,5, 0,5). Claramente, estos puntos se aproximan a x con un mayor grado de precisión que cuando ε = 1.

La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que se puede aproximar x con grados cada vez mayores de precisión definiendo ε como cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (− ε , ε ) nos dan mucha información sobre puntos cercanos a x = 0. Por lo tanto, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, se pueden usar conjuntos para describir puntos cercanos a x . Esta idea innovadora tiene consecuencias de gran alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintos de los conjuntos (− ε , ε )), se pueden encontrar diferentes resultados con respecto a la distancia entre 0 y otros números reales. Por ejemplo, si tuviéramos que definir R como el único conjunto de este tipo para "medir distancias", todos los puntos están cerca de 0 ya que sólo hay un grado posible de precisión que se puede lograr al aproximarse a 0: ser miembro de R. Por lo tanto, encontramos que, en cierto sentido, todo número real está a una distancia de 0 de 0. En este caso puede ser útil pensar en la medida como una condición binaria: todas las cosas en R están igualmente cercanas a 0, mientras que cualquier elemento que no está en R no está cerca de 0.

En general, se hace referencia a la familia de conjuntos que contienen 0, utilizados para aproximar 0, como base de vecindad ; un miembro de esta base de vecindad se denomina conjunto abierto . De hecho, se pueden generalizar estas nociones a un conjunto arbitrario ( X ); en lugar de sólo los números reales. En este caso, dado un punto ( x ) de ese conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor" (es decir, que contienen) x , utilizados para aproximar x . Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas ) porque de lo contrario es posible que no tengamos un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto en X debería aproximarse a x con cierto grado de precisión. Por tanto, X debería estar en esta familia. Una vez que comenzamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen x , tendemos a aproximar x con un mayor grado de precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que la familia de conjuntos alrededor de x debe satisfacer.

Definiciones

Aquí se dan varias definiciones, en un orden creciente de tecnicismos. Cada uno es un caso especial del siguiente.

espacio euclidiano

Un subconjunto del espacio n euclidiano R ⁿ es abierto si, para cada punto x en , existe un número real positivo ε (dependiendo de x ) tal que cualquier punto en R ⁿ cuya distancia euclidiana a x sea menor que ε pertenece a . ^[2] De manera equivalente, un subconjunto de R ⁿ es abierto si cada punto es el centro de una bola abierta contenida en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

Un ejemplo de un subconjunto de R que no es abierto es el intervalo cerrado [0,1] , ya que ni 0 - ε ni 1 + ε pertenecen a [0,1] para cualquier ε > 0 , sin importar cuán pequeño sea.

Espacio métrico

Un subconjunto U de un espacio métrico ( M , d ) se llama abierto si, para cualquier punto x en U , existe un número real ε > 0 tal que cualquier punto que satisfaga d ( x , y ) < ε pertenece a U . De manera equivalente, U es abierto si cada punto de U tiene una vecindad contenida en U. ${\displaystyle y\in M}$

Esto generaliza el ejemplo del espacio euclidiano, ya que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.

Espacio topológico

Una topología en un conjunto X es un conjunto de subconjuntos de X con las siguientes propiedades. Cada miembro de se llama conjunto abierto . ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle X\in \tau }$y ${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• Cualquier unión de conjuntos pertenece a : si entonces ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• Cualquier intersección finita de conjuntos pertenece a : si entonces ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$
  $${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

X junto con se llama espacio topológico . ${\displaystyle \tau }$

No es necesario que las intersecciones infinitas de conjuntos abiertos sean abiertas. Por ejemplo, la intersección de todos los intervalos de la forma donde es un entero positivo, es el conjunto que no es abierto en la recta real. ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Un espacio métrico es un espacio topológico, cuya topología consiste en la colección de todos los subconjuntos que son uniones de bolas abiertas. Sin embargo, existen espacios topológicos que no son espacios métricos.

Tipos especiales de conjuntos abiertos.

Conjuntos abiertos y conjuntos no abiertos y/o no cerrados

Un conjunto puede ser abierto, cerrado, ambos o ninguno. En particular, los conjuntos abiertos y cerrados no son mutuamente excluyentes, lo que significa que, en general, es posible que un subconjunto de un espacio topológico sea simultáneamente un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado. Estos subconjuntos se conocen como conjuntos abiertos . Explícitamente, un subconjunto de un espacio topológico se llama abierto si ambos y su complemento son subconjuntos abiertos de ; o equivalente, si y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

En cualquier espacio topológico el conjunto vacío y el conjunto mismo son siempre abiertos. Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos abiertos y muestran que existen subconjuntos abiertos en todos los espacios topológicos. Para ver por qué es abierto, comience recordando que los conjuntos y son, por definición, siempre subconjuntos abiertos (de ). También por definición, un subconjunto se llama cerrado si (y sólo si) su complemento en el que se encuentra el conjunto es un subconjunto abierto. Debido a que el complemento (en ) del conjunto completo es el conjunto vacío (es decir, ), que es un subconjunto abierto, esto significa que es un subconjunto cerrado de (por definición de "subconjunto cerrado"). Por lo tanto, no importa qué topología se coloque en todo el espacio, es simultáneamente un subconjunto abierto y también un subconjunto cerrado de ; Dicho de otra manera, es siempre un subconjunto cerrado de Debido a que el complemento del conjunto vacío es un subconjunto abierto, se puede utilizar el mismo razonamiento para concluir que también es un subconjunto abierto de ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S:=X}$ ${\displaystyle X\setminus S=\varnothing }$ ${\displaystyle S=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus \varnothing =X,}$ ${\displaystyle S:=\varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

Consideremos la recta real dotada de su topología euclidiana habitual , cuyos conjuntos abiertos se definen de la siguiente manera: cada intervalo de números reales pertenece a la topología, cada unión de tales intervalos, por ejemplo, pertenece a la topología, y como siempre, ambos y pertenecen a la topología. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)\cup (c,d),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing }$

• El intervalo es abierto porque pertenece a la topología euclidiana. Si tuvieran un complemento abierto, significaría por definición que estuvieran cerrados. Pero no tiene complemento abierto; su complemento es el cual no pertenece a la topología euclidiana ya que no es una unión de intervalos abiertos de la forma Por tanto, es un ejemplo de conjunto abierto pero no cerrado. ${\displaystyle I=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle I}$
• Según un argumento similar, el intervalo es un subconjunto cerrado pero no un subconjunto abierto. ${\displaystyle J=[0,1]}$
• Finalmente, dado que ni su complemento ni su complemento pertenecen a la topología euclidiana (porque no puede escribirse como una unión de intervalos de la forma ), esto significa que no es ni abierto ni cerrado. ${\displaystyle K=[0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle K}$

Si un espacio topológico está dotado de topología discreta (de modo que, por definición, cada subconjunto de es abierto), entonces cada subconjunto de es un subconjunto abierto. Para un ejemplo más avanzado que recuerda a la topología discreta, supongamos que es un ultrafiltro en un conjunto no vacío. Entonces la unión es una topología con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío de es un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado. , pero nunca ambos; es decir, si (dónde ), entonces exactamente una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera: (1) o (2) Dicho de otra manera, cada subconjunto es abierto o cerrado, pero los únicos subconjuntos que son ambas (es decir, que están abiertos) son y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$ ${\displaystyle S\neq X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

Conjuntos abiertos regulares

Un subconjunto de un espacio topológico se llama conjunto abierto regular si o equivalentemente, si , donde , y denotan, respectivamente, el límite topológico , el interior y el cierre de en . Un espacio topológico para el cual existe una base que consta de conjuntos abiertos regulares se llama espacio semirregular . Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y sólo si su complemento en es un conjunto cerrado regular, donde por definición un subconjunto de se llama conjunto cerrado regular si o equivalentemente, si Todo conjunto abierto regular (resp. conjunto cerrado regular) es un subconjunto abierto (resp. es un subconjunto cerrado), aunque en general, ^{[nota 1]} lo contrario no es cierto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

Propiedades

La unión de cualquier número de conjuntos abiertos, o de una infinidad de conjuntos abiertos, es abierta. ^[4] La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta. ^[4]

Un complemento de un conjunto abierto (relativo al espacio en el que se define la topología) se llama conjunto cerrado . Un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado (un conjunto abierto ). El conjunto vacío y el espacio lleno son ejemplos de conjuntos abiertos y cerrados. ^[5]

Usos

Los conjuntos abiertos tienen una importancia fundamental en topología . El concepto es necesario para definir y dar sentido al espacio topológico y otras estructuras topológicas que tratan con las nociones de cercanía y convergencia para espacios como los espacios métricos y los espacios uniformes .

Cada subconjunto A de un espacio topológico X contiene un conjunto abierto (posiblemente vacío); el máximo (ordenado bajo inclusión) de dicho conjunto abierto se llama interior de A . Se puede construir tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A. ^[6]

Una función entre dos espacios topológicos y es continua si la imagen previa de cada conjunto abierto está abierta en ^[7] La ​​función se llama abierta si la imagen de cada conjunto abierto está abierta en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Un conjunto abierto sobre la recta real tiene la propiedad característica de ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.

Notas y precauciones

"Abierto" se define en relación con una topología particular

Que un conjunto sea abierto depende de la topología que se considere. Habiendo optado por una mayor brevedad en lugar de una mayor claridad , nos referimos a un conjunto X dotado de una topología como "el espacio topológico X " en lugar de "el espacio topológico ", a pesar de que todos los datos topológicos están contenidos en Si hay dos topologías. en el mismo conjunto, un conjunto U que está abierto en la primera topología podría no estarlo en la segunda topología. Por ejemplo, si X es cualquier espacio topológico e Y es cualquier subconjunto de X , al conjunto Y se le puede dar su propia topología (llamada 'topología subespacial') definida por "un conjunto U está abierto en la topología subespacial en Y si y sólo si U es la intersección de Y con un conjunto abierto de la topología original en X. " ^[8] Esto potencialmente introduce nuevos conjuntos abiertos: si V está abierto en la topología original en X , pero no está abierto en la topología original en X , entonces está abierto en la topología subespacial en Y. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle V\cap Y}$ ${\displaystyle V\cap Y}$

Como ejemplo concreto de esto, si U se define como el conjunto de números racionales en el intervalo, entonces U es un subconjunto abierto de los números racionales , pero no de los números reales . Esto se debe a que cuando el espacio circundante son los números racionales, para cada punto x en U , existe un número positivo a tal que todos los puntos racionales dentro de la distancia a de x también están en U. Por otro lado, cuando el espacio circundante es real, entonces para cada punto x en U no hay un a tal que todos los puntos reales dentro de la distancia a de x estén en U (porque U no contiene números no racionales). ${\displaystyle (0,1),}$

Generalizaciones de conjuntos abiertos.

En todo momento, habrá un espacio topológico. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Un subconjunto de un espacio topológico se llama: ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

• α-abierto si, y el complemento de dicho conjunto se llama α-cerrado . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• preabierto , casi abierto o localmente denso si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. Existen subconjuntos que son abiertos en un subconjunto denso de y ^[10] ${\displaystyle D,U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. Existe un subconjunto abierto (en) tal que es un subconjunto denso de ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U.}$

  El complemento de un conjunto preabierto se llama precerrado .

• b-abierto si. El complemento de un conjunto b-abierto se llama b-cerrado . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• β-abierto o semi-preabierto si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$es un subconjunto cerrado regular de ^[10] ${\displaystyle X.}$
  3. Existe un subconjunto preabierto de tal que ^[10] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  El complemento de un conjunto β-abierto se llama β-cerrado .

• abierto secuencialmente si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Siempre que una secuencia en converge a algún punto de entonces esa secuencia eventualmente está en Explícitamente, esto significa que si es una secuencia en y si existe algo es tal que en entonces eventualmente está en (es decir, existe algún número entero tal que si entonces ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\geq i,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$es igual a su interior secuencial en el que por definición está el conjunto ${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  El complemento de un conjunto secuencialmente abierto se llama secuencialmente cerrado . Un subconjunto está secuencialmente cerrado si y solo si es igual a su cierre secuencial , que por definición es el conjunto que consta de todo para lo cual existe una secuencia que converge a (in ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

• casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire si existe un subconjunto abiertotal quesea unsubconjunto exiguo, dondedenota ladiferencia simétrica.^[11] ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • Se dice que el subconjunto tiene la propiedad de Baire en sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . ^[12] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$
• semiabierto si. El complemento ende un conjunto semiabierto se llama conjunto semicerrado . ^[13] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle X}$
  • El semicerrado (en ) de un subconjunto denotado por es la intersección de todos los subconjuntos semicerrados de que contienen como subconjunto. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$
• semi-θ-abierto si para cada unoexiste algún subconjunto semiabiertotalque ^[13] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-abierto (resp. δ-abierto ) si su complemento enconjuntoθ-cerrado (resp. δ-cerrado ), donde por definición, un subconjunto de se llama θ-cerrado (resp. δ-cerrado ) si es igual al conjunto de todos sus puntos del grupo θ (resp. puntos del grupo δ). Un puntose llama punto de grupo θ (respectivamente, punto de grupo δ ) de un subconjuntosi para cada vecindad abiertadeenla intersecciónno está vacío (resp.no está vacío). ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

Usando el hecho de que

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     y     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

Siempre que dos subconjuntos cumplan se podrá deducir lo siguiente: ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

• Cada subconjunto α-abierto es semiabierto, semiabierto, preabierto y b-abierto.
• Todo conjunto b-abierto es semi-preabierto (es decir, β-abierto).
• Cada conjunto preabierto es b-abierto y semi-preabierto.
• Todo conjunto semiabierto es b-abierto y semiabierto.

Además, un subconjunto es un conjunto abierto regular si y sólo si es preabierto y semicerrado. ^[10] La intersección de un conjunto α-abierto y un conjunto semi-preabierto (resp. semiabierto, preabierto, b-abierto) es un conjunto semipreabierto (resp. semiabierto, preabierto, b-abierto). ^[10] Los conjuntos preabiertos no necesitan ser semiabiertos y los conjuntos semiabiertos no necesitan ser preabiertos. ^[10]

Las uniones arbitrarias de conjuntos preabiertos (resp. α-abierto, b-abierto, semi-preabierto) son nuevamente preabiertos (resp. α-abierto, b-abierto, semi-preabierto). ^[10] Sin embargo, las intersecciones finitas de conjuntos preabiertos no necesitan ser preabiertos. ^[13] El conjunto de todos los subconjuntos α-abiertos de un espacio forma una topología que es más fina que ^[9] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Un espacio topológico es Hausdorff si y sólo si todo subespacio compacto de es θ-cerrado. ^[13] Un espacio está totalmente desconectado si y sólo si cada subconjunto cerrado regular está preabierto o, de manera equivalente, si cada subconjunto semiabierto está preabierto. Además, el espacio está totalmente desconectado si y sólo si el cierre de cada subconjunto preabierto está abierto. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Mapa casi abierto  : Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Base (topología)  : colección de conjuntos abiertos utilizados para definir una topología.
• Conjunto abierto  : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado.
• Conjunto cerrado  : complemento de un subconjunto abierto
• Dominio (análisis matemático)  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológico
• Homeomorfismo local  : función matemática reversible cerca de cada punto
• Mapa abierto  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Subbase  : colección de subconjuntos que generan una topología.

Notas

1. Una excepción si el if está dotado de topología discreta , en cuyo caso cada subconjunto de es a la vez un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Referencias

1. Munkres 2000, págs. 76–77.
2. Ueno, Kenji; et al. (2005). "El nacimiento de las variedades". Un don matemático: la interacción entre topología, funciones, geometría y álgebra . vol. 3. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 38.ISBN​ 9780821832844.
3. Munkres 2000, págs.76.
4. Taylor, Joseph L. (2011). "Funciones analíticas". Variables complejas . La serie Sally. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 29.ISBN​ 9780821869017.
5. Krantz, Steven G. (2009). "Fundamentos". Conceptos básicos de topología con aplicaciones . Prensa CRC. págs. 3–4. ISBN 9781420089745.
6. Munkres 2000, págs.95.
7. Munkres 2000, págs.102.
8. Munkres 2000, págs.88.
9. Hart 2004, pag. 9.
10. Hart 2004, págs. 8–9.
11. Oxtoby, John C. (1980), "4. La propiedad de Baire", Medida y categoría, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, págs. 19-21, ISBN 978-0-387-90508-2.
12. Kuratowski, Kazimierz (1966), Topología. vol. 1 , Prensa académica y editoriales científicas polacas.
13. Hart 2004, pag. 8.

Bibliografía

• Hart, Klaas (2004). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam Boston: Elsevier/Holanda Septentrional. ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277.
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

enlaces externos

• "Conjunto abierto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]