Interior (topología)

Subconjunto abierto más grande de un conjunto dado

El punto x es un punto interior de S . El punto y está en el límite de S.

En matemáticas , concretamente en topología , el interior de un subconjunto S de un espacio topológico X es la unión de todos los subconjuntos de S que están abiertos en X. Un punto que está en el interior de S es un punto interior de S.

El interior de S es el complemento del cierre del complemento de S. En este sentido, interior y cierre son nociones duales .

El exterior de un conjunto S es el complemento de la clausura de S ; consta de los puntos que no están ni en el conjunto ni en su límite . El interior, el límite y el exterior de un subconjunto juntos dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos está vacío ).

El interior y el exterior de una curva cerrada son un concepto ligeramente diferente; ver el teorema de la curva de Jordan .

Definiciones

Punto interior

Si es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces es un punto interior de si existe una bola abierta centrada en la cual está completamente contenida (esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico con métrica : es un punto interior de si existe un número real tal que esté en siempre que la distancia ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)<r.}$

Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Si es un subconjunto de un espacio topológico , entonces es un punto interior de si está contenido en un subconjunto abierto de que está completamente contenido en (Equivalentemente, es un punto interior de si es una vecindad de ) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Interior de un conjunto

El interior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o o puede definirse de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle S^{\circ },}$

1. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$es el subconjunto abierto más grande contenido en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$es la unión de todos los conjuntos abiertos de contenidos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$es el conjunto de todos los puntos interiores de ${\displaystyle S.}$

Si el espacio se entiende a partir del contexto, generalmente se prefiere la notación más corta a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}$

Ejemplos

${\displaystyle a}$es un punto interior de porque hay una ε-vecindad de a que es un subconjunto de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$

• En cualquier espacio, el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• En cualquier espacio si entonces ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Si es la recta real (con la topología estándar), entonces mientras que el interior del conjunto de números racionales está vacío: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }$
• Si es el plano complejo entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$
• En cualquier espacio euclidiano , el interior de cualquier conjunto finito es el conjunto vacío.

En el conjunto de los números reales , se pueden poner otras topologías en lugar de la estándar:

• Si son los números reales con la topología de límite inferior , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• Si se considera la topología en la que cada conjunto es abierto , entonces ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• Si se considera la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, entonces es el conjunto vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$

Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , como todo conjunto es abierto, cada conjunto es igual a su interior.
• En cualquier espacio indiscreto ya que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, y para todo subconjunto propio de es el conjunto vacío. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$

Propiedades

Sea un espacio topológico y sean y subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$está abierto en ${\displaystyle X.}$
• Si está abierto entonces si y sólo si ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$es un subconjunto abierto de cuando se le da la topología subespacial . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$es un subconjunto abierto de si y sólo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• Intensivo : ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Idempotencia : ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• Conserva / distribuye sobre intersección binaria : ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • Sin embargo, el operador interno no reparte entre los sindicatos, ya que sólo está garantizado en general y la igualdad podría no mantenerse. ^{[nota 1]} Por ejemplo, si y entonces es un subconjunto adecuado de ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle T=(0,\infty )}$ ${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• Monótono / no decreciente con respecto a ${\displaystyle \subseteq }$ : Si entonces ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

Otras propiedades incluyen:

• Si está cerrado y luego ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

Relación con el cierre

Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos/palabras

"interior", "int", "abierto", "subconjunto" y "más grande"

son reemplazados respectivamente por

" cierre ", "cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"

y se intercambian los siguientes símbolos:

1. " " intercambiado con " " ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq }$
2. " " intercambiado con " " ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

Para obtener más detalles sobre este asunto, consulte el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .

Operador interior

El operador interior es dual con respecto al operador de cierre , que se denota con o mediante una línea superior ^— , en el sentido de que ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$

$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$

$${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$

espacio topológicola diferencia teórica de conjuntosaxiomas de cierre de Kuratowski ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \,\setminus \,}$ ${\displaystyle X.}$

En general, el operador del interior no se desplaza con sindicatos. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

Teorema ^[1]  (C. Ursescu)  —  Sea una secuencia de subconjuntos de un espacio métrico completo ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Si cada uno está cerrado entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle {\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$
• Si cada uno está abierto entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle {\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}$$

El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .

Exterior de un conjunto

El exterior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o simplemente es el conjunto abierto más grande disjunto de , es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos que son disjuntos de El exterior es el interior del complemento, que es lo mismo que el complemento del cierre; ^[2] en fórmulas, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

$${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

Asimismo, el interior es el exterior del complemento:

$${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

El interior, el límite y el exterior de un conjunto dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos está vacío): ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$

^[3]abiertoscerrado ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:

• El operador exterior invierte las inclusiones; si entonces ${\displaystyle S\subseteq T,}$ ${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• El operador exterior no es idempotente . Tiene la propiedad de que ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

Formas interiores disjuntas

Las formas rojas no están separadas interiormente del Triángulo azul. Las formas verde y amarilla están internamente separadas del Triángulo azul, pero sólo la forma amarilla está completamente separada del Triángulo azul.

Dos formas y se llaman interiores disjuntas si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas interiores disjuntas pueden o no intersecarse en sus límites. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Ver también

• Interior algebraico  - Generalización del interior topológico
• DE-9IM  – Modelo topológico
• Álgebra interior  - Estructura algebraica
• Teorema de la curva de Jordan  : una curva cerrada divide el plano en dos regiones
• Interior cuasi relativo  - Generalización del interior algebraico
• Interior relativo  - Generalización del interior topológico

Referencias

1. Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific. pag. 33.ISBN​ 981-238-067-1. OCLC  285163112.
2. Bourbaki 1989, pag. 24.
3. Bourbaki 1989, pag. 25.

1. La identidad análoga para el operador de cierre es. Estas identidades pueden recordarse con la siguiente mnemónica. Así como la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, el operador interior también distribuye explícitamente sobre las intersecciones: Y de manera similar, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, el operador de cierre también distribuye explícitamente sobre las uniones : ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap ;}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup ;}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}$

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Joshi, KD (1983). Introducción a la Topología General . Nueva York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Schubert, Horst (1968). Topología . Londres: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

enlaces externos

• Interior en PlanetMath .