Complemento (teoría de conjuntos)

Conjunto de elementos que no están en un subconjunto dado

En la teoría de conjuntos , el complemento de un conjunto A , a menudo denotado por (o A ′ ), ^[1] es el conjunto de elementos que no están en A . ^[2] ${\displaystyle A^{\complement }}$

Cuando todos los elementos del universo , es decir , todos los elementos bajo consideración, se consideran miembros de un conjunto dado U , el complemento absoluto de A es el conjunto de elementos en U que no están en A.

El complemento relativo de A con respecto a un conjunto B , también llamado diferencia de conjuntos de B y A , escrito como el conjunto de elementos en B que no están en A. ${\displaystyle B\setminus A,}$

Complemento absoluto

El complemento absoluto del disco blanco es la región roja.

Definición

Si A es un conjunto, entonces el complemento absoluto de A (o simplemente el complemento de A ) es el conjunto de elementos que no están en A (dentro de un conjunto mayor que está implícitamente definido). En otras palabras, sea U un conjunto que contiene todos los elementos en estudio; si no hay necesidad de mencionar a U , ya sea porque se ha especificado previamente, o porque es obvio y único, entonces el complemento absoluto de A es el complemento relativo de A en U : ^[3] $${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

El complemento absoluto de A se suele denotar con . Otras notaciones incluyen ^{[2] [4]} ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$

Ejemplos

• Supongamos que el universo es el conjunto de los números enteros . Si A es el conjunto de los números impares, entonces el complemento de A es el conjunto de los números pares. Si B es el conjunto de los múltiplos de 3, entonces el complemento de B es el conjunto de los números congruentes con 1 o 2 módulo 3 (o, en términos más simples, los números enteros que no son múltiplos de 3).
• Supongamos que el universo es la baraja estándar de 52 cartas . Si el conjunto A es el palo de espadas, entonces el complemento de A es la unión de los palos de tréboles, diamantes y corazones. Si el conjunto B es la unión de los palos de tréboles y diamantes, entonces el complemento de B es la unión de los palos de corazones y espadas.
• Cuando el universo es el universo de conjuntos descrito en la teoría de conjuntos formalizada , el complemento absoluto de un conjunto no es generalmente en sí mismo un conjunto, sino una clase propia . Para más información, véase conjunto universal .

Propiedades

Sean A y B dos conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan : ^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Leyes complementarias: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}$

  (esto se deduce de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo ).

Ley de involución o de doble complemento:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}$

Relación con una diferencia de conjuntos:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

Las dos primeras leyes complementarias anteriores muestran que si A es un subconjunto propio no vacío de U , entonces { A , A ^∁ } es una partición de U .

Complemento relativo

Definición

Si A y B son conjuntos, entonces el complemento relativo de A en B , ^[5] también denominado diferencia de conjuntos de B y A , ^[6] es el conjunto de elementos en B pero no en A .

El complemento relativo de A en B : ${\displaystyle B\cap A^{\complement }=B\setminus A}$

El complemento relativo de A en B se denota según la norma ISO 31-11 . A veces se escribe pero esta notación es ambigua, ya que en algunos contextos (por ejemplo, operaciones con conjuntos de Minkowski en análisis funcional ) se puede interpretar como el conjunto de todos los elementos donde b se toma de B y a de A. ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle B-A,}$ ${\displaystyle b-a,}$

Formalmente: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

Ejemplos

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Si es el conjunto de los números reales y es el conjunto de los números racionales , entonces es el conjunto de los números irracionales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

Propiedades

Sean A , B y C tres conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de los complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  con el importante caso especial que demuestra que la intersección puede expresarse utilizando únicamente la operación de complemento relativo. ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Si , entonces . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$es equivalente a . ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

Relación complementaria

Una relación binaria se define como un subconjunto de un producto de conjuntos. La relación complementaria es el complemento del conjunto de en La relación de complemento de se puede escribir Aquí, a menudo se considera como una matriz lógica con filas que representan los elementos de y columnas los elementos de La verdad de corresponde a 1 en la fila columna Producir la relación complementaria con corresponde entonces a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle R}$

Junto con la composición de relaciones y las relaciones inversas , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son las operaciones elementales del cálculo de relaciones .

Notación LaTeX

En el lenguaje de composición tipográfica LaTeX , el comando \setminus^[7] se utiliza habitualmente para representar un símbolo de diferencia de conjuntos, que es similar a un símbolo de barra invertida . Cuando se representa, el \setminuscomando parece idéntico a \backslash, excepto que tiene un poco más de espacio delante y detrás de la barra, similar a la secuencia LaTeX \mathbin{\backslash}. Hay una variante \smallsetminusdisponible en el paquete amssymb, pero este símbolo no se incluye por separado en Unicode. El símbolo (a diferencia de ) se produce mediante . (Corresponde al símbolo Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENT .) ${\displaystyle \complement }$ ${\displaystyle C}$\complement

Véase también

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Intersección (teoría de conjuntos)  : Conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos.
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos ingenua  – Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión (teoría de conjuntos)  : Conjunto de elementos de cualquiera de algunos conjuntos.

Notas

1. "Complemento y diferencia de conjuntos". web.mnstate.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
2. "Definición de complemento (conjunto) (Diccionario ilustrado de matemáticas)" www.mathsisfun.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
3. El conjunto en el que se considera el complemento se menciona así implícitamente en un complemento absoluto y explícitamente en un complemento relativo.
4. Bourbaki 1970, pág. E II.6.
5. Halmos 1960, pág. 17.
6. Devlin 1979, pág. 6.
7. [1] Archivado el 5 de marzo de 2022 en Wayback Machine La lista completa de símbolos LaTeX

Referencias

• Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (en francés). París: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea . Universitext. Springer . ISBN 0-387-90441-7.Zbl 0407.04003  .
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . The University Series in Undergraduate Mathematics. Van Nostrand Company. ISBN 9780442030643.Zbl 0087.04403  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Complemento". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjunto complementario". MathWorld .