En matemáticas , un elemento (o miembro ) de un conjunto es cualquiera de los distintos objetos que pertenecen a ese conjunto.
Escribir significa que los elementos del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Conjuntos de elementos de A , por ejemplo , son subconjuntos de A.
Los conjuntos pueden ser ellos mismos elementos. Por ejemplo, considere el conjunto . Los elementos de B no son 1, 2, 3 y 4. Más bien, solo hay tres elementos de B , a saber, los números 1 y 2, y el conjunto .
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo , verde y azul .
En términos lógicos, ( x ∈ y ) ↔ (∀ x [P x = y ] : x ∈ 𝔇 y ). [ se necesita aclaración ]
La relación "es un elemento de", también llamada pertenencia a un conjunto , se denota con el símbolo "∈". Escribiendo
significa que " x es un elemento de A ". [1] Expresiones equivalentes son " x es miembro de A ", " x pertenece a A ", " x está en A " y " x está en A ". Las expresiones " A incluye x " y " A contiene x " también se utilizan para referirse a la pertenencia a un conjunto, aunque algunos autores las utilizan para significar " x es un subconjunto de A ". [2] El lógico George Boolos instó encarecidamente a que "contiene" se utilice sólo para miembros y "incluye" sólo para la relación de subconjunto. [3]
Para la relación ∈ , la relación inversa ∈ T puede escribirse
que significa " A contiene o incluye x ".
La negación de la pertenencia a un conjunto se denota con el símbolo "∉". Escribiendo
significa que " x no es un elemento de A ".
El símbolo ∈ fue utilizado por primera vez por Giuseppe Peano, en su obra de 1889 Arithmetices principia, nova Methodo exposita . [4] Aquí escribió en la página X:
Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …
lo que significa
El símbolo ∈ significa es . Entonces a ∈ b se lee como a es un cierto b; …
El símbolo en sí es una letra griega minúscula estilizada épsilon ("ϵ"), la primera letra de la palabra ἐστί , que significa "es". [4]
Utilizando los conjuntos definidos anteriormente, a saber, A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} y C = {rojo, verde, azul}, las siguientes afirmaciones son verdaderas:
El número de elementos de un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad ; informalmente, este es el tamaño de un conjunto. [5] En los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la cardinalidad del conjunto B y del conjunto C son 3. Un conjunto infinito es un conjunto con un número infinito de elementos, mientras que un conjunto finito es un conjunto con un número finito de elementos. Los ejemplos anteriores son ejemplos de conjuntos finitos. Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de números enteros positivos {1, 2, 3, 4, ...}.
Como relación , la membresía del conjunto debe tener un dominio y un rango. Convencionalmente , el dominio se denomina universo y se denota por U. El rango es el conjunto de subconjuntos de U llamado conjunto potencia de U y denotado P( U ). Por tanto, la relación es un subconjunto de U x P( U ). La relación inversa es un subconjunto de P( U ) x U .
