relación binaria

Relación entre elementos de dos conjuntos.

En matemáticas , una relación binaria asocia elementos de un conjunto, llamado dominio , con elementos de otro conjunto, llamado codominio . ^[1] Una relación binaria sobre conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados ( x , y ) que consta de elementos x de X e y de Y. ^[2] Es una generalización de la idea más ampliamente entendida de función unaria . Codifica el concepto común de relación: un elemento x está relacionado con un elemento y , si y sólo si el par ( x , y ) pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria . Una relación binaria es el caso especial más estudiado n = 2 de una relación n -aria sobre conjuntos X ₁ , ..., X _n , que es un subconjunto del producto cartesiano ^[2] ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Un ejemplo de relación binaria es la relación " divide " entre el conjunto de números primos y el conjunto de números enteros , en la que cada primo p está relacionado con cada entero z que es múltiplo de p , pero no con un entero que no lo es. un múltiplo de p . En esta relación, por ejemplo, el número primo 2 está relacionado con números como −4, 0, 6, 10, pero no con 1 o 9, del mismo modo que el número primo 3 está relacionado con 0, 6 y 9, pero no a 4 o 13. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Estos incluyen, entre otros:

• las relaciones " es mayor que ", " es igual a " y "divide" en aritmética ;
• la relación " es congruente con " en geometría ;
• la relación "es adyacente a" en la teoría de grafos ;
• la relación "es ortogonal a" en álgebra lineal .

Una función puede definirse como una relación binaria que cumple restricciones adicionales. ^[3] Las relaciones binarias también se utilizan mucho en informática .

Una relación binaria sobre los conjuntos X e Y es un elemento del conjunto potencia de Dado que el último conjunto está ordenado por inclusión (⊆), cada relación tiene un lugar en la red de subconjuntos de Una relación binaria se llama relación homogénea cuando X = Y. ​Una relación binaria también se llama relación heterogénea cuando no es necesario que X = Y. ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Dado que las relaciones son conjuntos, se pueden manipular mediante operaciones de conjuntos, incluidas unión , intersección y complementación , y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos . Más allá de eso, están disponibles operaciones como la inversa de una relación y la composición de relaciones , que satisfacen las leyes de un cálculo de relaciones , para lo cual existen libros de texto de Ernst Schröder , ^[4] Clarence Lewis , ^[5] y Gunther Schmidt . ^[6] Un análisis más profundo de las relaciones implica descomponerlas en subconjuntos llamados conceptos , y colocarlos en un entramado completo .

En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria, entre otras cosas, para modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin toparse con inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .

Los términos correspondencia , ^[7] relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores utilizan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano sin referencia a X e Y , y reservan el término "correspondencia". " para una relación binaria con referencia a X e Y. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X\times Y}$

Definición

Dados los conjuntos X e Y , el producto cartesiano se define como y sus elementos se denominan pares ordenados. ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\in X{\text{ and }}y\in Y\},}$

Una relación binaria R sobre los conjuntos X e Y es un subconjunto de ^[2] [ ^8] El conjunto X se llama dominio ^[2] o conjunto de salida de R , y el conjunto Y codominio o conjunto de destino de R. Para especificar las elecciones de los conjuntos X e Y , algunos autores definen una relación o correspondencia binaria como un triple ordenado ( X , Y , G ) , donde G es un subconjunto de lo que se llama gráfica de la relación binaria. La declaración dice " x está relacionado con R con y " y se denota por xRy . ^{[4] [5] [6] [nota 1]} El dominio de definición o dominio activo ^[2] de R es el conjunto de todos los x tales que xRy para al menos un y . El codominio de definición , codominio activo , ^[2] imagen o rango de R es el conjunto de todos los y tales que xRy para al menos un x . El campo de R es la unión de su dominio de definición y su codominio de definición. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in R}$

Cuando una relación binaria se llama relación homogénea (o endorelación ). Para enfatizar el hecho de que se permite que X e Y sean diferentes, una relación binaria también se llama relación heterogénea. ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle X=Y,}$

En una relación binaria, el orden de los elementos es importante; si entonces yRx puede ser verdadero o falso independientemente de xRy . Por ejemplo, 3 divide a 9, pero 9 no divide a 3. ${\displaystyle x\neq y}$

Operaciones

Unión

Si R y S son relaciones binarias sobre conjuntos X e Y , entonces es la relación de unión de R y S sobre X e Y. ${\displaystyle R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ or }}xSy\}}$

El elemento de identidad es la relación vacía. Por ejemplo, es la unión de < y =, y es la unión de > y =. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$

Intersección

Si R y S son relaciones binarias sobre conjuntos X e Y , entonces es la relación de intersección de R y S sobre X e Y. ${\displaystyle R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ and }}xSy\}}$

El elemento de identidad es la relación universal. Por ejemplo, la relación "es divisible por 6" es la intersección de las relaciones "es divisible por 3" y "es divisible por 2".

Composición

Si R es una relación binaria entre los conjuntos X e Y , y S es una relación binaria entre los conjuntos Y y Z , entonces ( también denotada por R ; S ) es la relación de composición de R y S sobre X y Z. ${\displaystyle S\circ R=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}}$

El elemento de identidad es la relación de identidad. El orden de R y S en la notación utilizada aquí concuerda con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición (es madre de) (es madre de) produce (es abuelo materno de), mientras que la composición (es madre de) (es madre de) produce (es abuela de). Para el primer caso, si x es el padre de y y y es la madre de z , entonces x es el abuelo materno de z . ${\displaystyle S\circ R,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle \,\circ \,}$

Conversar

Si R es una relación binaria sobre conjuntos X e Y entonces es la relación inversa , [ ^16] también llamada relación inversa , ^[17] de R sobre Y y X. ${\displaystyle R^{\textsf {T}}=\{(y,x):xRy\}}$

Por ejemplo, es lo inverso de sí mismo, como es y y son inversos entre sí, como son y Una relación binaria es igual a su inverso si y sólo si es simétrica . ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\neq ,\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .\,}$

Complementar

Si R es una relación binaria entre los conjuntos X e Y , entonces (también denotada por R o ¬ R ) es la relación complementaria de R sobre X e Y. ${\displaystyle {\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ not }}xRy\}}$

Por ejemplo, y son complementos de cada uno, al igual que y y y y , para pedidos totales , también y y y ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\neq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\not \subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\not \supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\in \,}$ ${\displaystyle \,\not \in ,\,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

El complemento de la relación inversa es el inverso del complemento: ${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.}$

Si el complemento tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle X=Y,}$

• Si una relación es simétrica, también lo es el complemento.
• El complemento de una relación reflexiva es irreflexivo y viceversa.
• El complemento de un orden débil estricto es un preorden total, y viceversa.

Restricción

Si R es una relación binaria homogénea sobre un conjunto X y S es un subconjunto de X , entonces es la ${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}}$relación de restricción deRaSsobreX.

Si R es una relación binaria entre los conjuntos X e Y y si S es un subconjunto de X, entonces es la ${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S\}}$relación de restricción izquierda deRaSsobreXeY.^{[ se necesita aclaración ]}

Si R es una relación binaria entre los conjuntos X e Y y si S es un subconjunto de Y, entonces es la ${\displaystyle R^{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}y\in S\}}$relación de restricción por la derecha deRaSsobreXeY.

Si una relación es reflexiva , irreflexiva, simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total , tricotómica , de orden parcial , de orden total , de orden débil estricto , de preorden total (orden débil), o de una relación de equivalencia , entonces también lo son sus restricciones.

Sin embargo, la clausura transitiva de una restricción es un subconjunto de la restricción de la clausura transitiva, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, restringir la relación " x es padre de y " a mujeres produce la relación " x es madre de la mujer y "; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de "es padre de" es "es antepasado de"; su restricción a las mujeres relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Además, los diversos conceptos de integridad (que no debe confundirse con ser "total") no implican restricciones. Por ejemplo, sobre los números reales una propiedad de la relación es que todo subconjunto no vacío con un límite superior en tiene un límite superior mínimo (también llamado supremo) en Sin embargo, para los números racionales este supremo no es necesariamente racional, por lo que el La misma propiedad no se cumple en la restricción de la relación con los números racionales. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Se dice que una relación binaria R sobre los conjuntos X e Y escontenida en una relaciónSsobreXeY, escritasiRes un subconjunto deS, es decir, para todosysixRy, entoncesxSy. SiRestá contenido enSySestá contenido enR, entoncesRySsellamanigualesescritosR=S.SiRestá contenido enSperoSno está contenido enR, entoncesse dice queR ${\displaystyle R\subseteq S,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$menor queS, escritoPor ejemplo, en losnúmeros racionales, la relaciónes menore igual a la composición ${\displaystyle R\subsetneq S.}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle \,>\,\circ \,>.\,}$

Representación matricial

Las relaciones binarias sobre conjuntos X e Y se pueden representar algebraicamente mediante matrices lógicas indexadas por X e Y con entradas en el semianillo booleano (la suma corresponde a OR y la multiplicación a AND) donde la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones, la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones (de una relación sobre X e Y y una relación sobre Y y Z ), ^[18] el producto de Hadamard corresponde a la intersección de relaciones, la matriz cero corresponde a la relación vacía y la matriz de unos corresponde a la relación universal. Las relaciones homogéneas (cuando X = Y ) forman un semianillo matricial (de hecho, una semiálgebra matricial sobre el semianillo booleano) donde la matriz identidad corresponde a la relación de identidad. ^[19]

Ejemplos

1. El siguiente ejemplo muestra que la elección del codominio es importante. Supongamos que hay cuatro objetos y cuatro personas . Una posible relación entre A y B es la relación "es propiedad de", dada por Es decir, John es dueño de la pelota, Mary es dueña de la muñeca y Venus es dueña del auto. Nadie es dueño de la copa e Ian no posee nada; vea el primer ejemplo. Como conjunto, R no involucra a Ian y, por lo tanto, R podría haberse visto como un subconjunto de , es decir, una relación sobre A y consulte el segundo ejemplo. Si bien la relación del segundo ejemplo es sobreyectiva (ver más abajo), la primera no lo es. ${\displaystyle A=\{{\text{ball, car, doll, cup}}\}}$ ${\displaystyle B=\{{\text{John, Mary, Ian, Venus}}\}.}$ ${\displaystyle R=\{({\text{ball, John}}),({\text{doll, Mary}}),({\text{car, Venus}})\}.}$ ${\displaystyle A\times \{{\text{John, Mary, Venus}}\},}$ ${\displaystyle \{{\text{John, Mary, Venus}}\};}$

   

   Océanos y continentes (islas omitidas)

2. Sean A = {Índico, Ártico, Atlántico, Pacífico}, los océanos del globo, y B = {NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, los continentes . Sea aRb el océano que limita con el continente b . Entonces la matriz lógica para esta relación es:

   ${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

   La conectividad del planeta Tierra se puede ver a través de RR ^T y R ^T R , siendo el primero una relación en A , que es la relación universal ( o una matriz lógica de todos unos). Esta relación universal refleja el hecho de que cada océano está separado de los demás por como máximo un continente. Por otro lado, R ^T R es una relación que no logra ser universal porque se deben atravesar al menos dos océanos para viajar de Europa a Australia . ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle B\times B}$
3. La visualización de relaciones se apoya en la teoría de grafos : para relaciones en un conjunto (relaciones homogéneas), un gráfico dirigido ilustra una relación y un gráfico una relación simétrica . Para relaciones heterogéneas, un hipergráfico tiene aristas posiblemente con más de dos nodos y puede ilustrarse mediante un gráfico bipartito . Así como la camarilla es parte integral de las relaciones en un conjunto, las bicliques se utilizan para describir relaciones heterogéneas; de hecho, son los "conceptos" que generan un entramado asociado a una relación.

   

   Los distintos ejes t representan el tiempo para los observadores en movimiento, los ejes x correspondientes son sus líneas de simultaneidad.

4. Ortogonalidad hiperbólica : el tiempo y el espacio son categorías diferentes, y las propiedades temporales están separadas de las propiedades espaciales. La idea de eventos simultáneos es simple en tiempo y espacio absolutos ya que cada tiempo t determina un hiperplano simultáneo en esa cosmología. Herman Minkowski cambió eso cuando articuló la noción de simultaneidad relativa , que existe cuando los eventos espaciales son "normales" a un tiempo caracterizado por una velocidad. Usó un producto interno indefinido y especificó que un vector de tiempo es normal a un vector espacial cuando ese producto es cero. El producto interno indefinido en un álgebra de composición está dado por

   ${\displaystyle \langle x,z\rangle \ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;}$donde la barra superior denota conjugación.

   Como relación entre algunos eventos temporales y algunos eventos espaciales, la ortogonalidad hiperbólica (como se encuentra en los números complejos divididos ) es una relación heterogénea. ^[20]
5. Una configuración geométrica puede considerarse una relación entre sus puntos y sus rectas. La relación se expresa como incidencia . Se incluyen planos proyectivos y afines finitos e infinitos. Jakob Steiner fue pionero en la catalogación de configuraciones con los sistemas Steiner que tienen un conjunto S de n elementos y un conjunto de subconjuntos de k elementos llamados bloques , de modo que un subconjunto con t elementos se encuentra en un solo bloque. Estas estructuras de incidencia se han generalizado con diseños de bloques . La matriz de incidencia utilizada en estos contextos geométricos corresponde a la matriz lógica utilizada generalmente con relaciones binarias. ${\displaystyle {\text{S}}(t,k,n)}$

   Una estructura de incidencia es una triple D = ( V , B , I ) donde V y B son dos conjuntos disjuntos cualesquiera e I es una relación binaria entre V y B , es decir, los elementos de V se llamarán puntos , los de B bloques y los de I banderas . ^[21] ${\displaystyle I\subseteq V\times {\textbf {B}}.}$

Tipos específicos de relaciones binarias

Ejemplos de cuatro tipos de relaciones binarias sobre números reales : uno a uno (en verde), uno a muchos (en azul), muchos a uno (en rojo), muchos a muchos (en negro). ).

A continuación se enumeran algunos tipos importantes de relaciones binarias R sobre los conjuntos X e Y.

Propiedades de unicidad:

• Inyectivo (también llamado único por izquierda ): ^[22] para todos y todos si xRy y zRy entonces x = z . Para tal relación, { Y } se llama clave primaria de R. ^[2] Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona tanto −1 como 1 con 1), ni la negra (ya que relaciona tanto −1 como 1). a 0). ${\displaystyle x,z\in X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$
• Univalente ^[6] (también llamado único por la derecha , ^[22] definido por la derecha ^[23] o funcional ^[24] ): para todos y todas si xRy y xRz entonces y = z . Esta relación binaria se llama función parcial . Para tal relación, se llama clave primaria de R. ^[2] Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son univalentes, pero la azul no lo es (ya que relaciona 1 con −1 y 1), ni la negra (ya que relaciona 0 con ambos −1). y 1). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y,z\in Y,}$ ${\displaystyle \{X\}}$
• Uno a uno : inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Uno a muchos : inyectivo y no funcional. Por ejemplo, la relación binaria azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
• Muchos a uno : funcional y no inyectivo. Por ejemplo, la relación binaria roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verdes, azules y negras no lo son.
• Muchos a muchos : no inyectivo ni funcional. Por ejemplo, la relación binaria negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

• Total (también llamado total izquierdo ): ^[22] para todo x en X existe una y en Y tal que xRy .dedefinición de R es igual a X. Esta propiedad es diferente de la definición de conectado (también llamado total por algunos autores) ^{[ cita requerida ]} en Propiedades . Esta relación binaria se llama función multivaluada . Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no relaciona −1 con ningún número real), ni la negra (ya que no relaciona 2 con ningún número real). ). Como otro ejemplo, > es una relación total sobre números enteros. Pero no es una relación total entre los números enteros positivos, porque no hay y en los números enteros positivos tales que 1 > y . ^[25] Sin embargo, < es una relación total entre los números enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es total: para una x dada , elija y = x .
• Sobreyectiva (también llamada total derecha ^[22] o sobre ): para todo y en Y , existe una x en X tal que xRy . En otras palabras, el codominio de definición de R es igual a Y. Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con −1), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con 2). ).

Propiedades de unicidad y totalidad (solo definibles si se especifican el dominio X y el codominio Y ):

• Una función : una relación binaria que es funcional y total. Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azules y negras no lo son.
• Una inyección : una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una inyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Una sobreyección : una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una sobreyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
• Una biyección : una función que es inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

Si se permiten relaciones sobre clases adecuadas:

• Conjunto (o local ): para todo x en X , la clase de todo y en Y tal que yRx , es decir , es un conjunto. Por ejemplo, la relación es similar a un conjunto y toda relación en dos conjuntos es similar a un conjunto. ^[26] El orden habitual < sobre la clase de números ordinales es una relación de conjunto, mientras que su inversa > no lo es. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \{y\in Y:yRx\}}$ ${\displaystyle \in }$

Conjuntos versus clases

Ciertas "relaciones" matemáticas, como "igual a", "subconjunto de" y "miembro de", no pueden entenderse como relaciones binarias tal como se definen anteriormente, porque sus dominios y codominios no pueden considerarse conjuntos en los sistemas habituales. de la teoría de conjuntos axiomática . Por ejemplo, para modelar el concepto general de "igualdad" como una relación binaria, tome el dominio y el codominio como la "clase de todos los conjuntos", que no es un conjunto en la teoría de conjuntos habitual. ${\displaystyle \,=,}$

En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de igualdad, pertenencia y subconjunto son inofensivas porque se puede entender implícitamente que están restringidas a algún conjunto en el contexto. La solución habitual a este problema es seleccionar un conjunto A "suficientemente grande" , que contenga todos los objetos de interés, y trabajar con la restricción = _A en lugar de =. De manera similar, la relación "subconjunto de" debe restringirse para que tenga dominio y codominio P( A ) (el conjunto potencia de un conjunto específico A ): la relación de conjunto resultante se puede denotar por Además, la relación "miembro de" debe ser restringirse a tener dominio A y codominio P( A ) para obtener una relación binaria que sea un conjunto. Bertrand Russell ha demostrado que suponer que está definido en todos los conjuntos conduce a una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos , véase la paradoja de Russell . ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq _{A}.\,}$ ${\displaystyle \,\in _{A}\,}$ ${\displaystyle \,\in \,}$

Otra solución a este problema es utilizar una teoría de conjuntos con clases adecuadas, como NBG o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , y permitir que el dominio y el codominio (y por tanto el gráfico) sean clases adecuadas : en dicha teoría, igualdad, membresía y subconjunto son relaciones binarias sin comentarios especiales. (Es necesario hacer una modificación menor al concepto de triple ordenado ( X , Y , G ) , ya que normalmente una clase adecuada no puede ser miembro de una tupla ordenada; o, por supuesto, se puede identificar la relación binaria con su gráfico en este contexto.) ^[27] Con esta definición se puede, por ejemplo, definir una relación binaria sobre cada conjunto y su conjunto potencia.

Relación homogénea

Una relación homogénea sobre un conjunto X es una relación binaria sobre X y sí misma, es decir , es un subconjunto del producto cartesiano ^{[15] [28] [29]} También se llama simplemente relación (binaria) sobre X. ${\displaystyle X\times X.}$

Una relación homogénea R sobre un conjunto X puede identificarse con un gráfico simple dirigido que permite bucles , donde X es el conjunto de vértices y R es el conjunto de aristas (hay una arista de un vértice x a un vértice y si y sólo si xRy ) . El conjunto de todas las relaciones homogéneas sobre un conjunto X es el conjunto potencia , que es un álgebra booleana aumentada con la involución del mapeo de una relación con su relación inversa . Considerando la composición de relaciones como una operación binaria , se forma un semigrupo con involución . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ ${\displaystyle 2^{X\times X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$

Algunas propiedades importantes que puede tener una relación homogénea R sobre un conjunto X son:

• Reflexivo : para todos los xRx . Por ejemplo,es una relación reflexiva pero > no lo es. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Irreflexivo : para todosno xRx . Por ejemplo,es una relación irreflexiva, perono lo es. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \,>\,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Simétrico : para todossi xRy entonces yRx . Por ejemplo, "es pariente consanguíneo de" es una relación simétrica. ${\displaystyle x,y\in X,}$
• Antisimétrico : para todossi xRy e yRx entonces,por ejemplo,es una relación antisimétrica. ^[30] ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Asimétrico : para todossi xRy entonces no yRx . Una relación es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. ^[31] Por ejemplo, > es una relación asimétrica, perono lo es. ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$
• Transitivo : para todossi xRy e yRz entonces xRz . Una relación transitiva es irreflexiva si y sólo si es asimétrica. ^[32] Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es. ${\displaystyle x,y,z\in X,}$
• Conectado : para todossientonces xRy o yRx . ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x\neq y}$
• Fuertemente conectado : para todos los xRy o yRx . ${\displaystyle x,y\in X,}$
• Denso : para todossientonces existe algunotal quey. ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle xRz}$ ${\displaystyle zRy}$

Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto es una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva. Un orden total es una relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. ^[33] Un orden total estricto es una relación irreflexiva, asimétrica, transitiva y conectada. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Por ejemplo, " x divide y " es un orden parcial, pero no total, en números naturales " x < y " es un orden total estricto y " x es paralelo a y " es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las líneas en el plano euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$

Todas las operaciones definidas en el apartado § Operaciones también se aplican a relaciones homogéneas. Más allá de eso, una relación homogénea sobre un conjunto X puede estar sujeta a operaciones de cierre como:

Cierre reflexivo

la relación reflexiva más pequeña sobre X que contiene R ,

Clausura transitiva

la relación transitiva más pequeña sobre X que contiene R ,

Cierre de equivalencia

la relación de equivalencia más pequeña sobre X que contiene R .

Relación heterogénea

En matemáticas , una relación heterogénea es una relación binaria, un subconjunto de un producto cartesiano donde A y B son posiblemente conjuntos distintos. ^[34] El prefijo hetero es del griego ἕτερος ( heteros , "otro, otro, diferente"). ${\displaystyle A\times B,}$

Una relación heterogénea ha sido llamada relación rectangular , ^[15] sugiriendo que no tiene la simetría cuadrada de una relación homogénea en un conjunto donde. Al comentar sobre el desarrollo de relaciones binarias más allá de las relaciones homogéneas, los investigadores escribieron, "... Ha evolucionado una variante de la teoría que trata las relaciones desde el principio como heterogéneas o rectangulares , es decir, como relaciones donde el caso normal es que sean relaciones entre diferentes conjuntos. ^[35] ${\displaystyle A=B.}$

calculo de relaciones

Los avances en la lógica algebraica han facilitado el uso de relaciones binarias. El cálculo de relaciones incluye el álgebra de conjuntos , ampliada por la composición de relaciones y el uso de relaciones inversas . La inclusión , que significa que aRb implica aSb , establece el escenario en un entramado de relaciones. Pero dado que el símbolo de inclusión es superfluo. Sin embargo, la composición de relaciones y manipulación de los operadores según las reglas de Schröder , proporciona un cálculo para trabajar en el conjunto potencia de ${\displaystyle R\subseteq S,}$ ${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$ ${\displaystyle A\times B.}$

A diferencia de las relaciones homogéneas, la composición de la operación de relaciones es sólo una función parcial . La necesidad de hacer coincidir el rango con el dominio de las relaciones compuestas ha llevado a la sugerencia de que el estudio de las relaciones heterogéneas es un capítulo de la teoría de categorías como en la categoría de conjuntos , excepto que los morfismos de esta categoría son relaciones. Los objetos de la categoría Rel son conjuntos y los morfismos de relación se componen según sea necesario en una categoría . ^{[ cita necesaria ]}

Retículo de concepto inducido

Las relaciones binarias se han descrito a través de sus redes de conceptos inducidos : Un concepto C ⊂ R satisface dos propiedades:

• La matriz lógica de C es el producto exterior de vectores lógicos . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j},\quad u,v}$
• C es máxima y no está contenida en ningún otro producto exterior. Por tanto, C se describe como un rectángulo no ampliable .

Para una relación dada, el conjunto de conceptos, ampliado por sus uniones y encuentros, forma una "red inducida de conceptos", y la inclusión forma un preorden . ${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$

El teorema de compleción de MacNeille (1937) (que cualquier orden parcial puede estar incrustado en una red completa ) se cita en un artículo de estudio de 2013 "Descomposición de relaciones en redes de conceptos". ^[36] La descomposición es

${\displaystyle R\ =\ f\ E\ g^{\textsf {T}},}$donde f y g son funciones , llamadas asignaciones o relaciones univalentes del total izquierdo en este contexto. El "concepto reticular inducido es isomorfo a la terminación de corte del orden parcial E que pertenece a la descomposición mínima ( f, g, E ) de la relación R ".

A continuación se consideran casos particulares: E orden total corresponde al tipo Ferrers, y E identidad corresponde a difuncional, una generalización de la relación de equivalencia en un conjunto.

Las relaciones pueden clasificarse según el rango Schein , que cuenta el número de conceptos necesarios para cubrir una relación. ^[37] El análisis estructural de las relaciones con los conceptos proporciona un enfoque para la minería de datos . ^[38]

Relaciones particulares

• Proposición : Si R es una relación serial y R ^T es su transpuesta, entonces donde I es la relación de identidad m × m . ${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$
• Proposición : Si R es una relación sobreyectiva , entonces donde I es la relación de identidad. ${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle n\times n}$

difuncional

La idea de una relación difuncional es dividir objetos distinguiendo atributos, como una generalización del concepto de relación de equivalencia . Una forma de lograrlo es con un conjunto intermedio de indicadores . La relación de partición es una composición de relaciones que utilizan relaciones univalentes . Jacques Riguet denominó estas relaciones difuncionales ya que la composición FG ^T involucra relaciones univalentes, comúnmente llamadas funciones parciales . ${\displaystyle Z=\{x,y,z,\ldots \}}$ ${\displaystyle R=FG^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle F\subseteq A\times Z{\text{ and }}G\subseteq B\times Z.}$

En 1950 Rigeut demostró que tales relaciones satisfacen la inclusión: ^[39]

$${\displaystyle R\ R^{\textsf {T}}\ R\ \subseteq \ R}$$

En la teoría de los autómatas , el término relación rectangular también se ha utilizado para denotar una relación difuncional. Esta terminología recuerda el hecho de que, cuando se representan como una matriz lógica , las columnas y filas de una relación difuncional se pueden organizar como una matriz de bloques con bloques rectangulares de unos en la diagonal principal (asimétrica). ^[40] Más formalmente, una relación R on es difuncional si y sólo si puede escribirse como la unión de productos cartesianos , donde son una partición de un subconjunto de X y también una partición de un subconjunto de Y. ^[41] ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle A_{i}\times B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Usando la notación { y : xRy } = xR , una relación difuncional también se puede caracterizar como una relación R tal que siempre que x ₁ R y x ₂ R tengan una intersección no vacía, entonces estos dos conjuntos coinciden; implica formalmente ^[42] ${\displaystyle x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x_{1}R=x_{2}R.}$

En 1997, los investigadores encontraron "la utilidad de la descomposición binaria basada en dependencias difuncionales en la gestión de bases de datos ". ^[43] Además, las relaciones difuncionales son fundamentales en el estudio de las bisimulaciones . ^[44]

En el contexto de relaciones homogéneas, una relación de equivalencia parcial es difuncional.

Tipo Ferrer

Un orden estricto en un conjunto es una relación homogénea que surge en la teoría del orden . En 1951, Jacques Riguet adoptó el orden de una partición entera , llamado diagrama de Ferrers , para extender el orden a las relaciones binarias en general. ^[45]

La matriz lógica correspondiente de una relación binaria general tiene filas que terminan con una secuencia de unos. Así, los puntos de un diagrama de Ferrer se cambian a unos y se alinean a la derecha en la matriz.

Un enunciado algebraico requerido para una relación de tipo Ferrers R es

$${\displaystyle R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R\subseteq R.}$$

Si alguna de las relaciones es del tipo Ferrers, entonces todas lo son. ^[34] ${\displaystyle R,\ {\bar {R}},\ R^{\textsf {T}}}$

Contacto

Supongamos que B es el conjunto potencia de A , el conjunto de todos los subconjuntos de A. Entonces una relación g es una relación de contacto si satisface tres propiedades:

1. ${\displaystyle {\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.}$
2. ${\displaystyle Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$
3. ${\displaystyle {\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$

La relación de pertenencia al conjunto , ε = "es un elemento de", satisface estas propiedades, por lo que ε es una relación de contacto. La noción de relación de contacto general fue introducida por Georg Aumann en 1970. ^{[46] [47]}

En términos del cálculo de relaciones, las condiciones suficientes para una relación de contacto incluyen

$${\displaystyle C^{\textsf {T}}{\bar {C}}\ \subseteq \ \ni {\bar {C}}\ \ \equiv \ C\ {\overline {\ni {\bar {C}}}}\ \subseteq \ C,}$$

∈^{[48] ​​: 280} ${\displaystyle \ni }$

Reservar R\R

Cada relación R genera un preorden que es el residual izquierdo . ^[49] En términos de inverso y complementos, al formar la diagonal de , la fila correspondiente de y la columna de tendrán valores lógicos opuestos, por lo que la diagonal es todo ceros. Entonces ${\displaystyle R\backslash R}$ ${\displaystyle R\backslash R\ \equiv \ {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$ ${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$ ${\displaystyle R^{\text{T}}}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\ \implies \ I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}\ =\ R\backslash R,}$entonces esa es una relación reflexiva . ${\displaystyle R\backslash R}$

Para mostrar la transitividad , se requiere que Recuerde que es la relación más grande tal que Entonces ${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$ ${\displaystyle X=R\backslash R}$ ${\displaystyle RX\subseteq R.}$

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(repetir)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(regla de Schröder)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(complementación)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(definición)

La relación de inclusión Ω en el conjunto potencia de U se puede obtener de esta manera a partir de la relación de pertenencia en subconjuntos de U : ${\displaystyle \,\in \,}$

${\displaystyle \Omega \ =\ {\overline {\ni {\bar {\in }}}}\ =\ \in \backslash \in .}$^{[48] : 283}

Margen de una relación

Dada una relación R , una subrelación llamada su franja se define como

$${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.}$$

Cuando R es una relación de identidad parcial, difuncional o una relación diagonal de bloque, entonces franja ( R ) = R. De lo contrario, el operador marginal selecciona una subrelación límite descrita en términos de su matriz lógica: franja ( R ) es la diagonal lateral si R es un orden lineal triangular superior derecho o un orden estricto . Franja ( R ) es la franja del bloque si R es irreflexivo ( ) o el bloque superior derecho triangular. Fringe( R ) es una secuencia de rectángulos límite cuando R es del tipo Ferrers. ${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$

Por otro lado, Fringe( R ) = ∅ cuando R es un orden denso , lineal y estricto. ^[48]

montones matemáticos

Dados dos conjuntos A y B , el conjunto de relaciones binarias entre ellos puede equiparse con una operación ternaria donde b ^T denota la relación inversa de b . En 1953, Viktor Wagner utilizó las propiedades de esta operación ternaria para definir semimontones, montones y montones generalizados. ^{[50] [51]} El contraste entre relaciones heterogéneas y homogéneas se destaca mediante estas definiciones: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$ ${\displaystyle [a,\ b,\ c]\ =\ ab^{\textsf {T}}c}$

Hay una agradable simetría en la obra de Wagner entre montones, semigrupos y montones generalizados, por un lado, y grupos, semigrupos y grupos generalizados, por el otro. Esencialmente, los distintos tipos de semigrupos aparecen siempre que consideramos relaciones binarias (y asignaciones parciales uno-uno) entre diferentes conjuntos A y B , mientras que los distintos tipos de semigrupos aparecen en el caso en que A = B.

—  Christopher Hollings, "Matemáticas a través del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos" ^[52]

Ver también

• Sistema de reescritura abstracta
• Relación aditiva , un homomorfismo de muchos valores entre módulos
• Alegoría (teoría de categorías)
• Categoría de relaciones , una categoría que tiene conjuntos como objetos y relaciones binarias como morfismos
• Confluencia (reescritura de términos) , analiza varias propiedades inusuales pero fundamentales de las relaciones binarias.
• Correspondencia (geometría algebraica) , una relación binaria definida por ecuaciones algebraicas
• Diagrama de Hasse , un medio gráfico para mostrar una relación de orden.
• Estructura de incidencia , una relación heterogénea entre un conjunto de puntos y rectas.
• Lógica de parientes , una teoría de las relaciones de Charles Sanders Peirce
• Teoría del orden , investiga las propiedades de las relaciones de orden.

Notas

1. Los autores que tratan las relaciones binarias sólo como un caso especial de n -relaciones arias para n arbitrario suelen escribir Rxy como un caso especial de Rx ₁ ... x _n ( notación de prefijo ). ^[9]

Referencias

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enlaces externos

• Medios relacionados con las relaciones binarias en Wikimedia Commons
• "Relación binaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]