Cierre reflexivo

En matemáticas , el cierre reflexivo de una relación binaria en un conjunto es la relación reflexiva más pequeña que contiene. Una relación se llama reflexiva si relaciona cada elemento de sí misma. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, si es un conjunto de números distintos y significa " es menor que ", entonces el cierre reflexivo de es la relación " es menor o igual que ". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Definición

El cierre reflexivo de una relación en un conjunto está dado por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\in X\}}$$

En términos sencillos, el cierre reflexivo de es la unión de con la relación de identidad en ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplo

A modo de ejemplo, si entonces la relación ya es reflexiva por sí misma, entonces no difiere de su clausura reflexiva. $${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}}$$ ${\displaystyle R}$

Sin embargo, si alguno de los pares reflexivos en estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si están en el mismo conjunto, entonces el cierre reflexivo es ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(4,4)\}}$$ $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}$$

Véase también

• Cierre simétrico  : operación sobre relaciones binariasPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Cierre transitivo  : relación transitiva más pequeña que contiene una relación binaria dada

Referencias

• Franz Baader y Tobias Nipkow , Term Rewriting and All That , Cambridge University Press, 1998, pág. 8