Ley de tricotomía

Ley (todos los números reales son positivos, negativos o 0)

En matemáticas , la ley de la tricotomía establece que todo número real es positivo, negativo o cero. ^[1]

En términos más generales, una relación binaria R en un conjunto X es tricotómica si para todo x e y en X se cumple exactamente uno de los valores xRy , yRx y x  =  y . Al escribir R como <, esto se expresa en lógica formal como:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

Propiedades

• Una relación es tricotómica si, y sólo si, es asimétrica y conexa .
• Si una relación tricotómica también es transitiva, entonces es un orden total estricto ; este es un caso especial de un orden débil estricto . ^{[2] [3]}

Ejemplos

• En el conjunto X = { a , b , c }, la relación R = { ( a , b ), ( a , c ), ( b , c ) } es transitiva y tricotómica, y por tanto de orden total estricto .
• En el mismo conjunto, la relación cíclica R = { ( a , b ), ( b , c ), ( c , a ) } es tricotómica, pero no transitiva; incluso es antitransitiva .

Tricotomía sobre números

Una ley de tricotomía sobre un conjunto X de números suele expresar que alguna relación de ordenación dada tácitamente sobre X es tricotómica. Un ejemplo es la ley "Para números reales arbitrarios x e y , se aplica exactamente uno de x < y , y < x o x  =  y "; algunos autores incluso fijan y en cero, ^{[1] basándose en la estructura} de grupo linealmente ordenada aditiva del número real . Este último es un grupo dotado de un orden tricotómico.

En la lógica clásica, este axioma de tricotomía es válido para la comparación ordinaria entre números reales y, por lo tanto, también para las comparaciones entre números enteros y entre números racionales . ^{[ aclaración necesaria ]} La ley no se cumple en general en la lógica intuicionista . ^{[ cita necesaria ]}

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Bernays , la ley de tricotomía se cumple entre los números cardinales de conjuntos bien ordenables incluso sin el axioma de elección . Si se cumple el axioma de elección, entonces la tricotomía se cumple entre números cardinales arbitrarios (porque todos son bien ordenables en ese caso). ^[4]

Véase también

• El Begriffsschrift contiene una formulación temprana de la ley de la tricotomía.
• Dicotomía
• Ley de no contradicción
• Ley del tercero excluido
• Comparación de tres vías

Referencias

1. Ley de la tricotomía en MathWorld
2. Jerrold E. Marsden y Michael J. Hoffman (1993) Análisis clásico elemental , página 27, WH Freeman and Company ISBN  0-7167-2105-8
3. HS Bear (1997) Introducción al análisis matemático , página 11, Academic Press ISBN 0-12-083940-7 
4. Bernays, Paul (1991). Teoría de conjuntos axiomáticos . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66637-9.