Alegoría (matemáticas)

En el campo matemático de la teoría de categorías , una alegoría es una categoría que tiene parte de la estructura de la categoría Rel de conjuntos y relaciones binarias entre ellos. Las alegorías pueden utilizarse como una abstracción de categorías de relaciones y, en este sentido, la teoría de alegorías es una generalización del álgebra de relaciones a las relaciones entre diferentes clases. Las alegorías también son útiles para definir e investigar ciertas construcciones en la teoría de categorías, como las compleciones exactas .

En este artículo adoptamos la convención de que los morfismos se componen de derecha a izquierda, por lo que RS significa "primero haz S , luego haz R ".

Definición

Una alegoría es una categoría en la que

• Cada morfismo está asociado a una antiinvolución , es decir, un morfismo con y y ${\displaystyle R\colon X\to Y}$ ${\displaystyle R^{\circ }\colon Y\to X}$ ${\displaystyle R^{\circ \circ }=R}$ ${\displaystyle (RS)^{\circ }=S^{\circ }R^{\circ }{\text{;}}}$
• Cada par de morfismos con dominio/codominio común está asociado a una intersección , es decir, un morfismo. ${\displaystyle R,S\colon X\to Y}$ ${\displaystyle R\cap S\colon X\to Y}$

todo tal que

• Las intersecciones son idempotentes : conmutativas : y asociativas : ${\displaystyle R\cap R=R,}$ ${\displaystyle R\cap S=S\cap R,}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cap T=R\cap (S\cap T);}$
• La antiinvolución se distribuye sobre la intersección: ${\displaystyle (R\cap S)^{\circ }=R^{\circ }\cap S^{\circ };}$
• La composición es semidistributiva sobre la intersección: y y ${\displaystyle R(S\cap T)\subseteq RS\cap RT}$ ${\displaystyle (R\cap S)T\subseteq RT\cap ST;}$
• Se cumple la ley de modularidad: ${\displaystyle RS\cap T\subseteq (R\cap TS^{\circ })S.}$

Aquí, estamos abreviando utilizando el orden definido por la intersección: significa ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle R=R\cap S.}$

Un primer ejemplo de alegoría es la categoría de conjuntos y relaciones . Los objetos de esta alegoría son conjuntos, y un morfismo es una relación binaria entre X e Y. La composición de morfismos es la composición de relaciones , y la antiinvolución de es la relación inversa : si y sólo si . La intersección de morfismos es la intersección de relaciones (teórica de conjuntos) . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\circ }}$ ${\displaystyle yR^{\circ }x}$ ${\displaystyle xRy}$

Categorías regulares y alegorías

Alegorías de relaciones en categorías regulares

En una categoría C , una relación entre objetos X e Y es un lapso de morfismos que es conjuntamente mónico . Dos de estos lapsos y se consideran equivalentes cuando hay un isomorfismo entre S y T que hace que todo conmute; estrictamente hablando, las relaciones solo se definen hasta la equivalencia (se puede formalizar esto ya sea usando clases de equivalencia o usando bicategorías ). Si la categoría C tiene productos, una relación entre X e Y es lo mismo que un monomorfismo en X × Y (o una clase de equivalencia de este tipo). En presencia de pullbacks y un sistema de factorización adecuado , se puede definir la composición de las relaciones. La composición se encuentra primero retirando el cospan y luego tomando la imagen conjuntamente mónica del lapso resultante. ${\displaystyle X\gets R\to Y}$ ${\displaystyle X\gets S\to Y}$ ${\displaystyle X\gets T\to Y}$ ${\displaystyle X\gets R\to Y\gets S\to Z}$ ${\displaystyle R\to Y\gets S}$ ${\displaystyle X\gets R\gets \bullet \to S\to Z.}$

La composición de relaciones será asociativa si el sistema de factorización es adecuadamente estable. En este caso, se puede considerar una categoría Rel( C ) , con los mismos objetos que C , pero donde los morfismos son relaciones entre los objetos. Las relaciones de identidad son las diagonales. ${\displaystyle X\to X\times X.}$

Una categoría regular (una categoría con límites finitos e imágenes en las que las cubiertas son estables bajo el pullback) tiene un sistema de factorización epi/mono regular estable. La categoría de relaciones para una categoría regular es siempre una alegoría. La antiinvolución se define al dar la vuelta a la fuente/destino de la relación, y las intersecciones son intersecciones de subobjetos , calculadas por pullback.

Mapas en alegorías y tabulaciones

Un morfismo R en una alegoría A se llama un mapa si es entero y determinista Otra forma de decir esto es que un mapa es un morfismo que tiene un adjunto derecho en A cuando A se considera, usando la estructura de orden local, como una 2-categoría . Los mapas en una alegoría están cerrados bajo identidad y composición. Por lo tanto, hay una subcategoría Mapa( A ) de A con los mismos objetos pero solo los mapas como morfismos. Para una categoría regular C , hay un isomorfismo de categorías En particular, un morfismo en Mapa(Rel( Set )) es solo una función de conjunto ordinaria . ${\displaystyle (1\subseteq R^{\circ }R)}$ ${\displaystyle (RR^{\circ }\subseteq 1).}$ ${\displaystyle C\cong \operatorname {Map} (\operatorname {Rel} (C)).}$

En una alegoría, un morfismo se tabula mediante un par de morfismos y si y Una alegoría se llama tabular si cada morfismo tiene una tabulación. Para una categoría regular C , la alegoría Rel( C ) siempre es tabular. Por otro lado, para cualquier alegoría tabular A , la categoría Map( A ) de morfismos es una categoría localmente regular: tiene pullbacks, ecualizadores e imágenes que son estables bajo pullback. Esto es suficiente para estudiar relaciones en Map( A ) , y en este contexto, ${\displaystyle R\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f\colon Z\to X}$ ${\displaystyle g\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle gf^{\circ }=R}$ ${\displaystyle f^{\circ }f\cap g^{\circ }g=1.}$ ${\displaystyle A\cong \operatorname {Rel} (\operatorname {Map} (A)).}$

Alegorías unitarias y categorías regulares de mapas

Una unidad en una alegoría es un objeto U para el cual la identidad es el morfismo más grande y tal que, a partir de cualquier otro objeto, existe una relación completa con U. Una alegoría con una unidad se llama unital . Dada una alegoría tabular A , la categoría Map( A ) es una categoría regular (tiene un objeto terminal ) si y solo si A es unital. ${\displaystyle U\to U,}$

Tipos de alegoría más sofisticados

Se pueden axiomatizar propiedades adicionales de las alegorías. Las alegorías distributivas tienen una operación similar a la unión que se comporta adecuadamente bien, y las alegorías de división tienen una generalización de la operación de división del álgebra de relaciones . Las alegorías de potencia son alegorías de división distributiva con una estructura adicional similar a la de un conjunto de potencias . La conexión entre alegorías y categorías regulares se puede desarrollar en una conexión entre alegorías de potencia y topos .

Referencias

• Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Categorías, Alegorías . Biblioteca matemática, vol. 39. Holanda septentrional . ISBN 978-0-444-70368-2.
• Peter Johnstone (2003). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría topográfica . Oxford Science Publications. OUP . ISBN 0-19-852496-X.