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Categoría de relaciones

En matemáticas , la categoría Rel tiene como objetos la clase de conjuntos y como morfismos las relaciones binarias .

Un morfismo (o flecha) R  : AB en esta categoría es una relación entre los conjuntos A y B , por lo tanto RA × B .

La composición de dos relaciones R : AB y S : BC está dada por

( a , c ) ∈ S o R ⇔ para algunos bB , ( a , b ) ∈ R y ( b , c ) ∈ S . [1]

A Rel también se le ha llamado la "categoría de correspondencias de conjuntos". [2]

Propiedades

La categoría Rel tiene como subcategoría (amplia) la categoría de conjuntos Set , donde la flecha f  : XY en Set corresponde a la relación FX × Y definida por ( x , y ) ∈ Ff ( x ) = y . [nota 1] [3]

Un morfismo en Rel es una relación, y el morfismo correspondiente en la categoría opuesta a Rel tiene las flechas invertidas, por lo que es la relación inversa . Por lo tanto, Rel contiene su opuesto y es autodual . [4]

La involución representada al tomar la relación inversa proporciona la daga para hacer de Rel una categoría de daga .

La categoría tiene dos funtores en sí misma dados por el funtor hom : Una relación binaria RA × B y su transpuesta R TB × A pueden estar compuestas como RR T o como R T R . La primera composición da como resultado una relación homogénea en A y la segunda en B . Dado que las imágenes de estos funtores hom están en Rel mismo, en este caso hom es un funtor hom interno . Con su funtor hom interno, Rel es una categoría cerrada y, además, una categoría compacta de dagger .

La categoría Rel puede obtenerse a partir de la categoría Set como la categoría de Kleisli para la mónada cuyo funtor corresponde al conjunto potencia , interpretado como un funtor covariante.

Quizás un poco sorprendente a primera vista es el hecho de que el producto en Rel está dado por la unión disjunta [4] : ​​181  (en lugar del producto cartesiano como en Set ), y también lo está el coproducto .

Rel es monoidal cerrado , si se define tanto el producto monoidal AB como el hom interno AB por el producto cartesiano de conjuntos. También es una categoría monoidal si se define el producto monoidal por la unión disjunta de conjuntos. [5]

La categoría Rel fue el prototipo de la estructura algebraica llamada alegoría por Peter J. Freyd y Andre Scedrov en 1990. [6] Partiendo de una categoría regular y un funtor F : AB , se observan propiedades del funtor inducido Rel( A,B ) → Rel( FA, FB ). Por ejemplo, conserva la composición, la conversión y la intersección. Dichas propiedades se utilizan luego para proporcionar axiomas para una alegoría.

Las relaciones como objetos

David Rydeheard y Rod Burstall consideran que Rel tiene objetos que son relaciones homogéneas. Por ejemplo, A es un conjunto y RA × A es una relación binaria en A . Los morfismos de esta categoría son funciones entre conjuntos que preservan una relación: digamos que SB × B es una segunda relación y f : AB es una función tal que entonces f es un morfismo. [7]

La misma idea es propuesta por Adamek, Herrlich y Strecker, donde designan los objetos ( A, R ) y ( B, S ), conjunto y relación. [8]

Notas

  1. ^ Esta categoría se llama Set Rel por Rydeheard y Burstall.

Referencias

  1. ^ Mac Lane, S. (1988). Categorías para el matemático en activo (1.ª ed.). Springer. pág. 26. ISBN 0-387-90035-7.
  2. ^ Pareigis, Bodo (1970). Categorías y funtores . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 39. Academic Press . pág. 6. ISBN. 978-0-12-545150-5.
  3. ^ Bergman, George (1998). "§7.2 RelSet". Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales. Henry Helson. ISBN 0-9655211-4-1.
  4. ^ ab Barr, Michael ; Wells, Charles (1990). Teoría de categorías para la ciencia de la computación (PDF) . Prentice Hall. p. 181. ISBN 978-0131204867.
  5. ^ Fong, Brendan; David I Spivak (2019). "Suministro de campanas y silbatos en categorías monoidales simétricas". arXiv : 1908.02633 [math.CT].
  6. ^ Freyd, Peter J .; Scedrov, André (1990). Categorías, Alegorías . Holanda del Norte. págs.79, 196. ISBN 0-444-70368-3.
  7. ^ Rydeheard, David; Burstall, Rod (1988). Teoría de categorías computacionales . Prentice-Hall. pág. 41. ISBN 978-0131627369.
  8. ^ Adamek, Juri; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990]. "§3.3, ejemplo 2(d)". Categorías abstractas y concretas (PDF) . Grupo de investigación KatMAT, Universidad de Bremen . p. 22. Archivado desde el original (PDF) el 2022-08-11.