En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subobjeto es, en términos generales, un objeto que se encuentra dentro de otro objeto de la misma categoría . La noción es una generalización de conceptos como subconjuntos de la teoría de conjuntos , subgrupos de la teoría de grupos [1] y subespacios de la topología . Dado que la estructura detallada de los objetos es irrelevante en la teoría de categorías, la definición de subobjeto se basa en un morfismo que describe cómo se encuentra un objeto dentro de otro, en lugar de depender del uso de elementos.
El concepto dual de un subobjeto es unobjeto cociente . Esto generaliza conceptos comoconjuntos cocientes,grupos cocientes,espacios cocientes,gráficos cocientes, etc.
Una definición categórica adecuada de "subobjeto" puede variar según el contexto y el objetivo. Una definición común es la siguiente:
En detalle, sea un objeto de alguna categoría. Dados dos monomorfismos
con codominio , definimos una relación de equivalencia por si existe un isomorfismo con .
De manera equivalente, escribimos si se factoriza mediante —es decir, si existe tal que . La relación binaria definida por
es una relación de equivalencia en los monomorfismos con codominio , y las clases de equivalencia correspondientes de estos monomorfismos son los subobjetos de .
La relación ≤ induce un orden parcial en la colección de subobjetos de .
La colección de subobjetos de un objeto puede ser, de hecho, una clase propiamente dicha ; esto significa que la discusión dada es algo vaga. Si la colección de subobjetos de cada objeto es un conjunto , la categoría se llama bien potenciada o, raramente, localmente pequeña (esto choca con un uso diferente del término localmente pequeño , a saber, que hay un conjunto de morfismos entre dos objetos cualesquiera).
Para obtener el concepto dual de objeto cociente , sustituya "monomorfismo" por " epimorfismo " arriba e invierta las flechas. Un objeto cociente de A es entonces una clase de equivalencia de epimorfismos con dominio A.
Sin embargo, en algunos contextos estas definiciones son inadecuadas ya que no concuerdan con nociones bien establecidas de subobjeto u objeto cociente. En la categoría de espacios topológicos, los monomorfismos son precisamente las funciones inyectivas continuas; pero no todas las funciones inyectivas continuas son incrustaciones de subespacios. En la categoría de anillos, la inclusión es un epimorfismo pero no es el cociente de por un ideal bilateral. Para obtener funciones que verdaderamente se comporten como incrustaciones de subobjetos o cocientes, en lugar de funciones inyectivas arbitrarias o funciones con imagen densa, uno debe restringirse a monomorfismos y epimorfismos que satisfacen hipótesis adicionales. Por lo tanto, se podría definir un "subobjeto" como una clase de equivalencia de los llamados "monomorfismos regulares" (monomorfismos que pueden expresarse como un ecualizador de dos morfismos) y un "objeto cociente" como cualquier clase de equivalencia de "epimorfismos regulares" (morfismos que pueden expresarse como un coecualizador de dos morfismos).
Esta definición corresponde a la comprensión ordinaria de un subobjeto fuera de la teoría de categorías. Cuando los objetos de la categoría son conjuntos (posiblemente con estructura adicional, como una estructura de grupo) y los morfismos son funciones de conjunto (preservando la estructura adicional), uno piensa en un monomorfismo en términos de su imagen. Una clase de equivalencia de monomorfismos está determinada por la imagen de cada monomorfismo en la clase; es decir, dos monomorfismos f y g en un objeto T son equivalentes si y solo si sus imágenes son el mismo subconjunto (por lo tanto, subobjeto) de T . En ese caso existe el isomorfismo de sus dominios bajo el cual los elementos correspondientes de los dominios se asignan por f y g , respectivamente, al mismo elemento de T ; esto explica la definición de equivalencia.
En Set , la categoría de conjuntos , un subobjeto de A corresponde a un subconjunto B de A , o más bien a la colección de todas las aplicaciones de conjuntos equipotentes a B con imagen exactamente B . El orden parcial del subobjeto de un conjunto en Set es simplemente su red de subconjuntos .
En Grp , la categoría de grupos , los subobjetos de A corresponden a los subgrupos de A.
Dada una clase parcialmente ordenada P = ( P , ≤), podemos formar una categoría con los elementos de P como objetos, y una única flecha de p a q si y solo si p ≤ q . Si P tiene un elemento mayor, el orden parcial del subobjeto de este elemento mayor será P mismo. Esto se debe en parte a que todas las flechas en dicha categoría serán monomorfismos.
Un subobjeto de un objeto terminal se denomina objeto subterminal .
