Teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Sistema de teoría matemática de conjuntos.

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de Morse-Kelley ( MK ), la teoría de conjuntos de Kelley-Morse ( KM ), la teoría de conjuntos de Morse-Tarski ( MT ), la teoría de conjuntos de Quine-Morse ( QM ) o el sistema de Quine y Morse son una Teoría de conjuntos axiomática de primer orden que está estrechamente relacionada con la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel restringe las variables ligadas en la fórmula esquemática que aparece en el esquema axiomático de la comprensión de clases a abarcar únicamente conjuntos, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley permite que estas variables ligadas abarquen clases y conjuntos adecuados. como lo sugirió por primera vez Quine en 1940 para su sistema ML .

La teoría de conjuntos Morse-Kelley lleva el nombre de los matemáticos John L. Kelley y Anthony Morse y fue expuesta por primera vez por Wang (1949) y más tarde en un apéndice del libro de texto de Kelley Topología general (1955), una introducción a la topología a nivel de posgrado . Kelley dijo que el sistema de su libro era una variante de los sistemas creados por Thoralf Skolem y Morse. La propia versión de Morse apareció más tarde en su libro A Theory of Sets (1965).

Mientras que la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC, la teoría canónica de conjuntos) en el sentido de que una afirmación en el lenguaje de ZFC es demostrable en NBG si y sólo si es demostrable en ZFC, la teoría de conjuntos Morse-Kelley es una extensión adecuada de ZFC. A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, donde el esquema axiomático de la comprensión de clases puede reemplazarse con un número finito de sus ejemplos, la teoría de conjuntos de Morse-Kelley no puede ser axiomatizada de manera finita.

Axiomas y ontología MK

NBG y MK comparten una ontología común . El universo del discurso se compone de clases . Las clases que son miembros de otras clases se denominan conjuntos . Una clase que no es un conjunto es una clase propiamente dicha . Las oraciones atómicas primitivas implican membresía o igualdad.

Con la excepción de la comprensión de clase, los siguientes axiomas son los mismos que los de NBG , dejando de lado los detalles no esenciales. Las versiones simbólicas de los axiomas emplean los siguientes recursos de notación:

• Las letras mayúsculas distintas de M , que aparecen en Extensionalidad, Comprensión de clases y Fundamentos, denotan variables que abarcan clases. Una letra minúscula denota una variable que no puede ser una clase adecuada porque aparece a la izquierda de un ∈. Como MK es una teoría de un solo orden, esta convención de notación es sólo mnemotécnica .
• El predicado monádico cuya lectura prevista es "la clase x es un conjunto", abrevia ${\displaystyle \ Mx,}$ ${\displaystyle \exists W(x\in W).}$
• El conjunto vacío está definido por ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing ).}$
• La clase V , la clase universal que tiene todos los conjuntos posibles como miembros, está definida por V y es también el universo de von Neumann . ${\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V).}$

Extensionalidad : las clases que tienen los mismos miembros son la misma clase.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).}$

Un conjunto y una clase que tienen la misma extensión son idénticos. Por lo tanto, MK no es una teoría de dos tipos, a pesar de las apariencias en contrario.

Fundación : Cada clase A no vacía está separada de al menos uno de sus miembros.

${\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].}$

Comprensión de clase: Sea φ( x ) cualquier fórmula en el lenguaje de MK en la que x es una variable libre e Y no es libre. φ( x ) puede contener parámetros que son conjuntos o clases propias. Más importante aún, las variables cuantificadas en φ( x ) pueden abarcar todas las clases y no sólo todos los conjuntos; ésta es la única forma en que MK se diferencia de NBG . Entonces existe una clase cuyos miembros son exactamente aquellos conjuntos x tales que resultan verdaderos. Formalmente, si Y no es libre en φ: ${\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

Emparejamiento : Para cualquier conjunto xey , existe un conjuntocuyos miembros sonexactamente xey . ${\displaystyle z=\{x,y\}}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].}$

El emparejamiento otorga licencia al par desordenado en términos de los cuales el par ordenado , , puede definirse de la forma habitual, como . Con pares ordenados en mano, la comprensión de clases permite definir relaciones y funciones en conjuntos como conjuntos de pares ordenados, lo que hace posible el siguiente axioma: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}}$

Limitación de tamaño : C es una clase adecuada si y sólo si V se puede asignar uno a uno a C.

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}}$

La versión formal de este axioma se asemeja al esquema del axioma de reemplazo y encarna la función de clase F. La siguiente sección explica cómo la limitación de tamaño es más fuerte que las formas habituales del axioma de elección .

Conjunto potencia : Sea p una clase cuyos miembros son todos los subconjuntos posibles del conjunto a . Entonces p es un conjunto.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].}$

Unión : Seala clase suma del conjunto a , es decir, la unión de todos los miembros de a . Entonces s es un conjunto. ${\displaystyle s=\bigcup a}$

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].}$

Infinito : existe un conjunto inductivo y , lo que significa que (i) el conjunto vacío es miembro de y ; (ii) si x es miembro de y , entonces también lo es. ${\displaystyle x\cup \{x\}.}$

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].}$

Tenga en cuenta que p y s en Power Set y Union se cuantifican universalmente, no existencialmente, ya que la comprensión de clases es suficiente para establecer la existencia de p y s . Power Set y Union solo sirven para establecer que p y s no pueden ser clases adecuadas.

Los axiomas anteriores se comparten con otras teorías de conjuntos de la siguiente manera:

• ZFC y NBG : Emparejamiento, Power Set, Unión, Infinito;
• NBG (y ZFC, si las variables cuantificadas estuvieran restringidas a conjuntos): Extensionalidad, Fundación;
• NBG : Limitación de Tamaño.

Discusión

Monk (1980) y Rubin (1967) son textos de teoría de conjuntos construidos en torno a MK; La ontología de Rubin incluye urelementos . Estos autores y Mendelson (1997: 287) sostienen que MK hace lo que se espera de una teoría de conjuntos y al mismo tiempo es menos engorroso que ZFC y NBG .

MK es estrictamente más fuerte que ZFC y su extensión conservadora NBG, la otra teoría de conjuntos conocida con clases adecuadas . De hecho, se puede demostrar que NBG (y por tanto ZFC) es consistente en MK. La fortaleza de MK surge de su esquema axiomático de que la comprensión de clases es impredicativa , lo que significa que φ( x ) puede contener variables cuantificadas que abarcan clases. Las variables cuantificadas en el esquema axiomático de comprensión de clases de NBG están restringidas a conjuntos; por lo tanto, la comprensión de clases en NBG debe ser predicativa . (La separación con respecto a conjuntos sigue siendo impredicativa en NBG, porque los cuantificadores en φ( x ) pueden abarcar todos los conjuntos). El esquema del axioma de NBG de comprensión de clases se puede reemplazar con un número finito de sus instancias; Esto no es posible en MK. MK es consistente con respecto a ZFC aumentado por un axioma que afirma la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles .

La única ventaja del axioma de limitación de tamaño es que implica el axioma de elección global . La limitación del tamaño no aparece en Rubin (1967), Monk (1980) o Mendelson (1997). En lugar de ello, estos autores invocan una forma habitual del axioma local de elección y un "axioma de sustitución", ^[1] afirmando que si el dominio de una función de clase es un conjunto, su rango también es un conjunto. El reemplazo puede probar todo lo que prueba la limitación de tamaño, excepto probar alguna forma del axioma de elección .

La limitación de tamaño más el hecho de que I sea un conjunto (por lo tanto, el universo no está vacío) hace demostrable la condición de conjunto del conjunto vacío; por tanto, no es necesario un axioma de conjunto vacío . Por supuesto, dicho axioma podría añadirse, y perturbaciones menores de los axiomas anteriores necesitarían esta adición. El conjunto I no se identifica con el ordinal límite ya que I podría ser un conjunto mayor que En este caso, la existencia de se seguiría de cualquiera de las formas de Limitación de Tamaño. ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$

La clase de ordinales de von Neumann puede estar bien ordenada . No puede ser un conjunto (so pena de paradoja); por lo tanto , esa clase es una clase adecuada y todas las clases adecuadas tienen el mismo tamaño que V. Por tanto, V también puede estar bien ordenado.

MK se puede confundir con ZFC de segundo orden, ZFC con lógica de segundo orden (que representa objetos de segundo orden en un lenguaje de conjuntos en lugar de predicados) como lógica de fondo. El lenguaje de ZFC de segundo orden es similar al de MK (aunque ya no se pueden identificar un conjunto y una clase que tengan la misma extensión), y sus recursos sintácticos para la prueba práctica son casi idénticos (y son idénticos si MK incluye el fuerte forma de Limitación de Tamaño). Pero la semántica de ZFC de segundo orden es bastante diferente de la de MK. Por ejemplo, si MK es consistente entonces tiene un modelo contable de primer orden, mientras que ZFC de segundo orden no tiene modelos contables.

Teoría de modelos

ZFC, NBG y MK tienen cada uno modelos describibles en términos de V , el universo de conjuntos de von Neumann en ZFC . Sea el cardenal inaccesible κ miembro de V . También sea Def( X ) el que denota los Δ ₀ subconjuntos definibles de X (ver universo construible ). Entonces:

• V _κ es el modelo de ZFC ;
• Def( V _κ ) es un modelo de la versión de NBG de Mendelson , que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por el reemplazo y la elección ordinaria;
• V _κ+1 , el conjunto potencia de V _κ , es un modelo de MK.

Historia

MK se expuso por primera vez en Wang (1949) y se popularizó en un apéndice de Topología general de JL Kelley (1955) , utilizando los axiomas que se dan en la siguiente sección. El sistema de Una teoría de conjuntos de Anthony Morse (1965) es equivalente al de Kelley, pero formulado en un lenguaje formal idiosincrásico en lugar de, como se hace aquí, en la lógica estándar de primer orden . La primera teoría de conjuntos que incluyó la comprensión de clases impredicativa fue ML de Quine , que se basó en New Foundations en lugar de ZFC . ^{[2] La comprensión de clase} impredicativa también fue propuesta en Mostowski (1951) y Lewis (1991).

Los axiomas de la topología general de Kelley

Los axiomas y definiciones de esta sección están, salvo algunos detalles no esenciales, tomados del Apéndice de Kelley (1955). Los comentarios explicativos a continuación no son suyos. El Apéndice establece 181 teoremas y definiciones, y merece una lectura cuidadosa como exposición abreviada de la teoría de conjuntos axiomática por parte de un matemático activo de primer rango. Kelley presentó sus axiomas gradualmente, según fuera necesario para desarrollar los temas enumerados después de cada instancia de Desarrollar a continuación.

Las notaciones que aparecen a continuación y que ahora son bien conocidas no están definidas. Las peculiaridades de la notación de Kelley incluyen:

• No distinguió las variables que abarcan clases de las que abarcan conjuntos;
• dominio f y rango f denotan el dominio y rango de la función f ; esta peculiaridad se ha respetado cuidadosamente a continuación;
• Su lenguaje lógico primitivo incluye resúmenes de clases de la forma "la clase de todos los conjuntos x que satisfacen A ( x )". ${\displaystyle \ \{x:A(x)\},}$

Definición: x es un conjunto (y por lo tanto no es una clase adecuada ) si, para algún y , . ${\displaystyle x\in y}$

I. Extensión: Para cada x y cada y , x=y si y solo si para cada z , cuando y solo cuando ${\displaystyle z\in x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

Idéntico a la Extensionalidad anterior. Sería idéntico al axioma de extensionalidad en ZFC , excepto que el alcance de I incluye clases y conjuntos adecuados.

II. Clasificación (esquema): Se obtiene un axioma si en

Para cada uno , si y sólo si es un conjunto y ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle B,}$

'α' y 'β' se reemplazan por variables, ' A ' por una fórmula Æ y ' B ' por la fórmula obtenida de Æ reemplazando cada aparición de la variable que reemplazó a α por la variable que reemplazó a β siempre que la variable que reemplazó a β no aparece unido en A .

Desarrollar : Álgebra booleana de conjuntos . Existencia de la clase nula y de la clase universal V.

III. Subconjuntos: si x es un conjunto, existe un conjunto y tal que para cada z , si , entonces ${\displaystyle z\subseteq x}$ ${\displaystyle z\in y.}$

La importación de III es la del Power Set anterior. Bosquejo de la prueba del conjunto de potencias de III : para cualquier clase z que sea una subclase del conjunto x , la clase z es miembro del conjunto y cuya existencia III afirma. Por tanto z es un conjunto.

Desarrollar : V no es un conjunto. Existencia de singletons . Separación demostrable.

IV. Unión: Si xey son ambos conjuntos, entonces es un conjunto . ${\displaystyle x\cup y}$

La importación de IV es la del Emparejamiento anterior. Bosquejo de la prueba de emparejamiento de IV : el singleton de un conjunto x es un conjunto porque es una subclase del conjunto potencia de x (por dos aplicaciones de III ). Entonces IV implica que es un conjunto si xey son conjuntos . ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Desarrollar : Pares ordenados y desordenados , relaciones , funciones , dominio , rango , composición de funciones .

V. Sustitución: Si f es una función [clase] y el dominio f es un conjunto, entonces el rango f es un conjunto.

La importación de V es la del esquema axiomático de reemplazo en NBG y ZFC .

VI. Fusión: si x es un conjunto, entonces es un conjunto. ${\displaystyle \bigcup x}$

La importación de VI es la de Union arriba. IV y VI pueden combinarse en un axioma. ^[3]

Desarrollar : Producto cartesiano , inyección , sobreyección , biyección , teoría del orden .

VII. Regularidad: Si hay un miembro y de x tal que ${\displaystyle x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\cap y=\varnothing .}$

La importación de VII es la de Fundación arriba.

Desarrollar : Números ordinales , inducción transfinita .

VIII. Infinito: existe un conjunto y , tal que y siempre que sea ${\displaystyle \varnothing \in y}$ ${\displaystyle x\cup \{x\}\in y}$ ${\displaystyle x\in y.}$

Este axioma, o sus equivalentes, están incluidos en ZFC y NBG. VIII afirma la existencia incondicional de dos conjuntos, el conjunto inductivo infinito y , y el conjunto nulo es un conjunto simplemente porque es miembro de y . Hasta este punto, todo lo que se ha demostrado que existe es una clase, y la discusión de Kelley sobre los conjuntos fue completamente hipotética. ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Desarrollar : Números naturales , N es un conjunto, axiomas de Peano , números enteros , números racionales , números reales .

Definición: c es una función de elección si c es una función y para cada miembro x del dominio c . ${\displaystyle c(x)\in x}$

IX. Elección: Existe una función de elección c cuyo dominio es . ${\displaystyle V-\{\varnothing \}.}$

IX es muy similar al axioma de elección global que se deriva de la limitación de tamaño anterior.

Desarrollar : Equivalentes del axioma de elección. Como es el caso de ZFC , el desarrollo de los números cardinales requiere algún tipo de elección.

Si el alcance de todas las variables cuantificadas en los axiomas anteriores se restringe a conjuntos, todos los axiomas excepto III y el esquema IV son axiomas ZFC. IV es demostrable en ZFC. Por lo tanto, el tratamiento de Kelley de MK deja muy claro que todo lo que distingue a MK de ZFC son variables que abarcan clases y conjuntos adecuados y el esquema de clasificación.

Notas

1. Véase, por ejemplo, Mendelson (1997), pág. 239, axioma R.
2. El locus citandum para ML es la edición de 1951. de la Lógica Matemática de Quine . Sin embargo, el resumen de ML presentado en Mendelson (1997), p. 296, es más fácil de seguir. El esquema de axioma ML2 de Mendelson es idéntico al esquema de axioma de comprensión de clases anterior.
3. Kelley (1955), pág. 261, nota al pie †.

Referencias

• John L. Kelley 1975 (1955) Topología general . Saltador. Edición anterior, Van Nostrand. Apéndice, "Teoría de conjuntos elemental".
• Lemmon, EJ (1986) Introducción a la teoría de conjuntos axiomática . Routledge y Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Partes de las clases . Oxford: Albahaca Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1987). Introducción a la Lógica Matemática . Chapman y Hall. ISBN 0-534-06624-0.El tratamiento definitivo de la teoría de conjuntos estrechamente relacionada NBG , seguido de una página sobre MK. Más difícil que Monk o Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Introducción a la teoría de conjuntos . Krieger. Más fácil y menos completo que Rubin.
• Morse, AP, (1965) Una teoría de conjuntos . Prensa académica.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Algunas definiciones impredicativas en la teoría de conjuntos axiomática" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Teoría de conjuntos para el matemático . San Francisco: Día de Holden. Más minucioso que Monk; la ontología incluye urelementos .
• Wang, Hao (1949), "Sobre los axiomas de Zermelo y von Neumann para la teoría de conjuntos", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430, MR  0029850, PMC  1062986 , PMID  16588874.

enlaces externos

• Descargue Topología general (1955) de John L. Kelley en varios formatos. El apéndice contiene el desarrollo axiomático de MK por parte de Kelley.

Del grupo de discusión Fundamentos de las Matemáticas (FOM):

• Allen Hazen sobre teoría de conjuntos con clases.
• Las dudas de Joseph Shoenfield sobre MK.