Homomorfismo de módulos

Mapa lineal sobre un anillo

En álgebra , un homomorfismo de módulo es una función entre módulos que conserva las estructuras de los módulos. Explícitamente, si M y N son módulos restantes sobre un anillo R , entonces una función se llama homomorfismo de módulo R o función lineal R si para cualquier x , y en M y r en R , ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

En otras palabras, f es un homomorfismo de grupo (para los grupos aditivos subyacentes) que conmuta con la multiplicación escalar. Si M , N son R -módulos rectos , entonces la segunda condición se reemplaza por

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

La preimagen del elemento cero bajo f se llama núcleo de f . El conjunto de todos los homomorfismos de módulo de M a N se denota por . Es un grupo abeliano (bajo adición puntual) pero no es necesariamente un módulo a menos que R sea conmutativo . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

La composición de homomorfismos de módulos es nuevamente un homomorfismo de módulos, y la función identidad de un módulo es un homomorfismo de módulos. Por lo tanto, todos los módulos (por ejemplo, los de la izquierda) junto con todos los homomorfismos de módulos entre ellos forman la categoría de módulos .

Terminología

Un homomorfismo de módulo se denomina isomorfismo de módulo si admite un homomorfismo inverso; en particular, es una biyección . A la inversa, se puede demostrar que un homomorfismo de módulo biyectivo es un isomorfismo; es decir, el inverso es un homomorfismo de módulo. En particular, un homomorfismo de módulo es un isomorfismo si y solo si es un isomorfismo entre los grupos abelianos subyacentes.

Los teoremas de isomorfismo son válidos para los homomorfismos de módulos.

Un homomorfismo de módulo de un módulo M a sí mismo se llama endomorfismo y un isomorfismo de M a sí mismo se llama automorfismo . Se escribe para el conjunto de todos los endomorfismos de un módulo M. No es sólo un grupo abeliano sino también un anillo con multiplicación dada por composición de funciones, llamado anillo de endomorfismos de M. El grupo de unidades de este anillo es el grupo de automorfismos de M. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

El lema de Schur dice que un homomorfismo entre módulos simples (módulos sin submódulos no triviales ) debe ser cero o un isomorfismo. En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división .

En el lenguaje de la teoría de categorías , un homomorfismo inyectivo también se llama monomorfismo y un homomorfismo sobreyectivo, epimorfismo .

Ejemplos

• El mapa cero M → N que asigna cada elemento a cero.
• Una transformación lineal entre espacios vectoriales .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Para un anillo conmutativo R e ideales I , J , existe la identificación canónica

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

dado por . En particular, es el aniquilador de I . ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• Dado un anillo R y un elemento r , denotemos la multiplicación por la izquierda por r . Entonces, para cualquier s , t en R , ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

Es decir, es R -lineal . ${\displaystyle l_{r}}$

• Para cualquier anillo R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$como anillos cuando R se considera como un módulo derecho sobre sí mismo. Explícitamente, este isomorfismo está dado por la representación regular izquierda . ${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • De manera similar, en el caso de los anillos, cuando R se considera como un módulo izquierdo sobre sí mismo, los libros de texto u otras referencias suelen especificar qué convención se utiliza. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$a través de cualquier módulo izquierdo M . ^[1] (La estructura del módulo en Hom aquí proviene de la acción R derecha en R ; vea #Estructuras del módulo en Hom a continuación). ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$se llama módulo dual de M ; es un módulo izquierdo (resp. derecho) si M es un módulo derecho (resp. izquierdo) sobre R con la estructura del módulo proveniente de la R -acción sobre R . Se denota por . ${\displaystyle M^{*}}$
• Dado un homomorfismo de anillo R → S de anillos conmutativos y un S -módulo M , una función R -lineal θ: S → M se denomina derivación si para cualquier f , g en S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
• Si S , T son álgebras asociativas unitarias sobre un anillo R , entonces un homomorfismo de álgebra de S a T es un homomorfismo de anillo que también es un homomorfismo de R -módulo.

Estructuras de módulos en Hom

En resumen, Hom hereda una acción de anillo que no se utilizó para formar Hom. Más precisamente, sean M , N módulos R izquierdos . Supongamos que M tiene una acción derecha de un anillo S que conmuta con la acción R ; es decir, M es un módulo ( R , S ). Entonces

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

tiene la estructura de un S -módulo izquierdo definido por: para s en S y x en M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Está bien definido (es decir, es R -lineal) ya que ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

y es una acción de anillo ya que ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Nota: la verificación anterior "fallaría" si se utilizara la acción R izquierda en lugar de la acción S derecha . En este sentido, se dice a menudo que Hom "agota" la acción R.

De manera similar, si M es un módulo R izquierdo y N es un módulo ( R , S ), entonces es un módulo S derecho por . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Una representación matricial

La relación entre matrices y transformaciones lineales en álgebra lineal se generaliza de forma natural a homomorfismos de módulos entre módulos libres. Precisamente, dado un R -módulo recto U , existe el isomorfismo canónico de los grupos abelianos

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

Se obtiene al visualizar que consiste en vectores columna y luego escribir f como una matriz m × n . En particular, al visualizar R como un módulo R derecho y usar , se tiene ${\displaystyle U^{\oplus n}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

lo que resulta ser un isomorfismo de anillo (ya que una composición corresponde a una multiplicación de matrices ).

Nótese que el isomorfismo anterior es canónico; no hay elección involucrada. Por otra parte, si se da un homomorfismo de módulo entre módulos libres de rango finito , entonces una elección de una base ordenada corresponde a una elección de un isomorfismo . El procedimiento anterior entonces da la representación matricial con respecto a tales elecciones de las bases. Para módulos más generales, las representaciones matriciales pueden carecer de unicidad o no existir. ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Definiendo

En la práctica, a menudo se define un homomorfismo de módulo especificando sus valores en un conjunto generador . Más precisamente, sean M y N módulos R izquierdos . Supongamos que un subconjunto S genera M ; es decir, hay una sobreyección con un módulo libre F con una base indexada por S y núcleo K (es decir, uno tiene una presentación libre ). Entonces, dar un homomorfismo de módulo es dar un homomorfismo de módulo que elimina K (es decir, asigna K a cero). ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle F\to N}$

Operaciones

Si y son homomorfismos de módulos, entonces su suma directa es ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

y su producto tensorial es

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Sea un homomorfismo de módulos entre módulos izquierdos. El grafo Γ _f de f es el submódulo de M ⊕ N dado por ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

que es la imagen del homomorfismo de módulo M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), llamado morfismo de grafo .

La transpuesta de f es

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Si f es un isomorfismo, entonces la transpuesta de la inversa de f se llama contragrediente de f .

Secuencias exactas

Consideremos una secuencia de homomorfismos de módulos

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Una secuencia de este tipo se denomina complejo de cadena (o, a menudo, simplemente complejo) si cada composición es cero; es decir, o equivalentemente, la imagen de está contenida en el núcleo de . (Si los números aumentan en lugar de disminuir, entonces se denomina complejo de cocadena; por ejemplo, complejo de De Rham ). Un complejo de cadena se denomina secuencia exacta si . Un caso especial de una secuencia exacta es una secuencia exacta corta: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

donde es inyectiva, el núcleo de es la imagen de y es sobreyectiva. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Cualquier homomorfismo de módulo define una secuencia exacta ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

donde es el núcleo de , y es el co-núcleo, es decir el cociente de por la imagen de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

En el caso de módulos sobre un anillo conmutativo , una secuencia es exacta si y sólo si es exacta en todos los ideales máximos ; es decir, todas las secuencias

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

son exactas, donde el subíndice significa la localización en un ideal máximo . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Si son homomorfismos de módulos, entonces se dice que forman un cuadrado de fibra (o cuadrado de retroceso ), denotado por M × _B N , si encaja en ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

dónde . ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

Ejemplo: Sean anillos conmutativos, y sea I el aniquilador del cociente B -módulo A / B (que es un ideal de A ). Entonces las funciones canónicas forman un cuadrado de fibra con ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$ ${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Endomorfismos de módulos finitamente generados

Sea un endomorfismo entre R -módulos finitamente generados para un anillo conmutativo R . Entonces ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$es asesinado por su polinomio característico relativo a los generadores de M ; véase el lema de Nakayama#Prueba .
• Si es sobreyectiva, entonces es inyectiva. ^[2] ${\displaystyle \phi }$

Véase también: Cociente de Herbrand (que puede definirse para cualquier endomorfismo con algunas condiciones de finitud).

Variante: relaciones aditivas

Una relación aditiva de un módulo M a un módulo N es un submódulo de ^[3] En otras palabras, es un homomorfismo " multivaluado " definido sobre algún submódulo de M . La inversa de f es el submódulo . Cualquier relación aditiva f determina un homomorfismo de un submódulo de M a un cociente de N ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\oplus N.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

donde consta de todos los elementos x en M tales que ( x , y ) pertenece a f para algún y en N . ${\displaystyle D(f)}$

Una transgresión que surge de una secuencia espectral es un ejemplo de una relación aditiva.

Véase también

• Cono de mapeo (álgebra homológica)
• Forma normal de Smith
• Complejo de cadena
• Emparejamiento

Notas

1. Bourbaki, Nicolas (1998), "Capítulo II, §1.14, observación 2", Álgebra I, Capítulos 1–3 , Elementos de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, Sr.  1727844
2. Matsumura, Hideyuki (1989), "Teorema 2.4", Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, Sr.  1011461
3. Mac Lane, Saunders (1995), Homología , Clásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, pág. 52, ISBN 3-540-58662-8, Sr.  1344215