Complemento (teoría de conjuntos)

Conjunto de elementos que no están en un subconjunto determinado.

En teoría de conjuntos , el complemento de un conjunto A , a menudo denotado por (o A ′ ), ^[1] es el conjunto de elementos que no están en A. ^[2] ${\displaystyle A^{\complement }}$

Cuando todos los elementos del universo , es decir, todos los elementos considerados, se consideran miembros de un conjunto dado U , el complemento absoluto de A es el conjunto de elementos de U que no están en A.

El complemento relativo de A con respecto a un conjunto B , también denominado diferencia de conjuntos de B y A , escrito es el conjunto de elementos de B que no están en A. ${\displaystyle B\setminus A,}$

complemento absoluto

El complemento absoluto del disco blanco es la región roja.

Definición

Si A es un conjunto, entonces el complemento absoluto de A (o simplemente el complemento de A ) es el conjunto de elementos que no están en A (dentro de un conjunto más grande que está implícitamente definido). En otras palabras, sea U un conjunto que contiene todos los elementos en estudio; si no es necesario mencionar U , ya sea porque ha sido especificado previamente, o porque es obvio y único, entonces el complemento absoluto de A es el complemento relativo de A en U : ^[3]

$${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

El complemento absoluto de A suele denotarse por . Otras notaciones incluyen ^{[2] [4]} ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$

Ejemplos

• Supongamos que el universo es el conjunto de los números enteros . Si A es el conjunto de los números impares, entonces el complemento de A es el conjunto de los números pares. Si B es el conjunto de múltiplos de 3, entonces el complemento de B es el conjunto de números congruentes con 1 o 2 módulo 3 (o, en términos más simples, los números enteros que no son múltiplos de 3).
• Supongamos que el universo es la baraja estándar de 52 cartas . Si el conjunto A es el palo de espadas, entonces el complemento de A es la unión de los palos de tréboles, diamantes y corazones. Si el conjunto B es la unión de los palos de tréboles y diamantes, entonces el complemento de B es la unión de los palos de corazones y espadas.
• Cuando el universo es el universo de conjuntos descrito en la teoría de conjuntos formalizada , el complemento absoluto de un conjunto generalmente no es en sí mismo un conjunto, sino más bien una clase propia . Para obtener más información, consulte conjunto universal .

Propiedades

Sean A y B dos conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades importantes de los complementos absolutos:

Leyes de De Morgan : ^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Leyes complementarias: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}$

  (esto se desprende de la equivalencia de un condicional con su contrapositivo ).

Ley de involución o doble complemento:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Relaciones entre complementos relativos y absolutos:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}$

Relación con una diferencia establecida:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

Las dos primeras leyes del complemento anteriores muestran que si A es un subconjunto propio y no vacío de U , entonces { A , A ^∁ } es una partición de U.

complemento relativo

Definición

Si A y B son conjuntos, entonces el complemento relativo de A en B , ^[5] también denominado diferencia de conjuntos de B y A , ^[6] es el conjunto de elementos en B pero no en A.

El complemento relativo de A en B : ${\displaystyle B\cap A^{\complement }=B\setminus A}$

El complemento relativo de A en B se denota según la norma ISO 31-11 . A veces se escribe, pero esta notación es ambigua, ya que en algunos contextos (por ejemplo, operaciones de conjuntos de Minkowski en análisis funcional ) puede interpretarse como el conjunto de todos los elementos donde b se toma de B y a de A. ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle B-A,}$ ${\displaystyle b-a,}$

Formalmente:

$${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

Ejemplos

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Si es el conjunto de los números reales y es el conjunto de los números racionales , entonces es el conjunto de los números irracionales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

Propiedades

Sean A , B y C tres conjuntos. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  con el importante caso especial que demuestra que la intersección se puede expresar usando solo la operación de complemento relativo. ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Si entonces . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$es equivalente a . ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

relación complementaria

Una relación binaria se define como un subconjunto de un producto de conjuntos La relación complementaria es el complemento de conjunto de en El complemento de la relación se puede escribir ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$

matriz lógica ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle R}$

Junto con la composición de relaciones y las relaciones inversas , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son las operaciones elementales del cálculo de relaciones .

Notación látex

En el lenguaje de composición tipográfica LaTeX , el comando \setminus^[7] generalmente se usa para representar un símbolo de diferencia de conjunto, que es similar a un símbolo de barra invertida . Cuando se procesa, el \setminuscomando parece idéntico a \backslash, excepto que tiene un poco más de espacio delante y detrás de la barra, similar a la secuencia LaTeX \mathbin{\backslash}. Hay una variante \smallsetminusdisponible en el paquete amssymb, pero este símbolo no se incluye por separado en Unicode. El símbolo (a diferencia de ) es producido por . (Corresponde al símbolo Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENTO .) ${\displaystyle \complement }$ ${\displaystyle C}$\complement

Ver también

• Álgebra de conjuntos  : identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Intersección (teoría de conjuntos)  : conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  - Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos ingenua  - Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión (teoría de conjuntos)  : conjunto de elementos en cualquiera de algunos conjuntos

Notas

1. "Complementar y establecer diferencia". web.mnstate.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
2. "Definición de complemento (conjunto) (Diccionario ilustrado de matemáticas)". www.mathsisfun.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
3. El conjunto en el que se considera el complemento se menciona implícitamente en un complemento absoluto y explícitamente en un complemento relativo.
4. Bourbaki 1970, pag. E II.6.
5. Halmos 1960, pag. 17.
6. Devlin 1979, pag. 6.
7. [1] Archivado el 5 de marzo de 2022 en Wayback Machine. La lista completa de símbolos de LaTeX.

Referencias

• Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (en francés). París: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea . Texto universitario. Saltador . ISBN 0-387-90441-7. Zbl  0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. Compañía van Nostrand. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Complemento". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjunto de complementos". MundoMatemático .