Propiedad distributiva

Propiedad que implica dos operaciones matemáticas

En matemáticas , la propiedad distributiva de las operaciones binarias es una generalización de la ley distributiva , que afirma que la igualdad siempre es cierta en el álgebra elemental . Por ejemplo, en aritmética elemental , se tiene Por lo tanto, se diría que la multiplicación se distribuye sobre la suma . $${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$ $${\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).}$$

Esta propiedad básica de los números forma parte de la definición de la mayoría de las estructuras algebraicas que tienen dos operaciones llamadas adición y multiplicación, como los números complejos , los polinomios , las matrices , los anillos y los cuerpos . También se encuentra en el álgebra de Boole y la lógica matemática , donde cada uno de los y lógicos (denotado como ) y el o lógico (denotado como ) se distribuye sobre el otro. ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor \,}$

Definición

Dado un conjunto y dos operadores binarios y en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle S,}$

• la operación es distributiva por la izquierda sobre (o con respecto a) si, dados cualesquiera elementos de ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}$$

• la operación es distributiva por la derecha si, dados cualesquiera elementos de ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}$$

• y la operación es distributiva sobre si es distributiva por izquierda y por derecha. ^[1] ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$

Cuando es conmutativa , las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes . ${\displaystyle \,*\,}$

Significado

Los operadores utilizados para los ejemplos en esta sección son los de la suma y multiplicación habituales. ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,\cdot .\,}$

Si la operación denotada no es conmutativa, existe una distinción entre distributividad por la izquierda y distributividad por la derecha: ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}}$$ $${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.}$$

En cualquier caso, la propiedad distributiva se puede describir en palabras como:

Para multiplicar una suma (o diferencia ) por un factor, cada sumando (o minuendo y sustraendo ) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o restan).

Si la operación fuera del paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces la distributividad por la izquierda implica distributividad por la derecha y viceversa, y se habla simplemente de distributividad .

Un ejemplo de una operación que es "sólo" distributiva por la derecha es la división, que no es conmutativa: en este caso, la distributividad por la izquierda no se aplica: $${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.}$$ $${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$$

Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas de anillos (como el anillo de los números enteros ) y cuerpos (como el cuerpo de los números racionales ). Aquí la multiplicación es distributiva respecto de la suma, pero la suma no es distributiva respecto de la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones que son distributivas entre sí son las álgebras de Boole, como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación .

La multiplicación de sumas se puede expresar con palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por otra suma, se multiplica cada sumando de una suma con cada sumando de la otra suma (teniendo en cuenta los signos) y luego se suman todos los productos resultantes.

Ejemplos

Números reales

En los siguientes ejemplos se ilustra el uso de la ley distributiva sobre el conjunto de los números reales . Cuando se habla de multiplicación en matemáticas elementales, normalmente se hace referencia a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un cuerpo , lo que asegura la validez de la ley distributiva. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)

En el cálculo mental, la ley distributiva se utiliza a menudo de forma inconsciente: para calcular mentalmente, primero se multiplican y luego se suman los resultados intermedios. La multiplicación escrita también se basa en la ley distributiva. $${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$ ${\displaystyle 6\cdot 16}$ ${\displaystyle 6\cdot 10}$ ${\displaystyle 6\cdot 6}$

Segundo ejemplo (con variables)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Tercer ejemplo (con dos sumas)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$Aquí la ley distributiva se aplicó dos veces y no importa qué grupo se multiplique primero.

Cuarto ejemplo

Aquí se aplica la ley distributiva al revés que en los ejemplos anteriores. Consideremos que, dado que el factor aparece en todos los sumandos, se puede factorizar. Es decir, debido a la ley distributiva se obtiene $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$ ${\displaystyle 6a^{2}b}$ $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

Matrices

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices . Más precisamente, para todas las matrices y matrices así como para todas las matrices y matrices. Como la propiedad conmutativa no se cumple para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se sigue de la primera. En este caso, son dos leyes diferentes. $${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$ ${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$ ${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B,C.}$

Otros ejemplos

• La multiplicación de números ordinales , por el contrario, sólo es distributiva hacia la izquierda, no hacia la derecha.
• El producto vectorial es distributivo por izquierda y derecha sobre la suma de vectores , aunque no conmutativo.
• La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección , y la intersección es distributiva sobre la unión.
• La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y"), y viceversa.
• Para los números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación máxima es distributiva sobre la operación mínima , y ​​viceversa: $${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• Para los números enteros , el máximo común divisor es distributivo sobre el mínimo común múltiplo , y viceversa: $${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• Para los números reales, la suma se distribuye sobre la operación máxima y también sobre la operación mínima: $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• Para la multiplicación binomial , la distribución a veces se denomina método FOIL ^[2] (primer término, externo, interno y último ), como: ${\displaystyle ac,}$ ${\displaystyle ad,}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle bd}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• En todos los semianillos , incluidos los números complejos , los cuaterniones , los polinomios y las matrices , la multiplicación se distribuye sobre la suma: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• En todas las álgebras sobre un cuerpo , incluidos los octoniones y otras álgebras no asociativas , la multiplicación se distribuye sobre la suma.

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional veritativo-funcional estándar, la distribución ^{[3] [4]} en las demostraciones lógicas utiliza dos reglas válidas de reemplazo para expandir las ocurrencias individuales de ciertos conectivos lógicos , dentro de alguna fórmula , en aplicaciones separadas de esos conectivos a lo largo de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son donde " ", también escrito es un símbolo metalógico que representa "puede reemplazarse en una demostración con" o "es lógicamente equivalente a". $${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \,\equiv ,\,}$

Conectivas funcionales de la verdad

La distributividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional veritativo-funcional . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías veritativo-funcionales . $${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

Doble distribución

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

Distributividad y redondeo

En aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante , la propiedad distributiva de la multiplicación (y división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética . Por ejemplo, la identidad falla en la aritmética decimal , independientemente del número de dígitos significativos . Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables. ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$

En anillos y otras estructuras

La distributividad se encuentra más comúnmente en semianillos , especialmente en los casos particulares de anillos y redes distributivas .

Un semiring tiene dos operaciones binarias, comúnmente denotadas como y y requiere que se distribuya sobre ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+.}$

Un anillo es un semianillo con inversos aditivos.

Una red es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias. Si una de estas operaciones se distribuye sobre la otra (por ejemplo, se distribuye sobre ), entonces también se cumple lo inverso ( se distribuye sobre ), y la red se denomina distributiva. Véase también Distributividad (teoría del orden) . ${\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .}$ ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor }$ ${\displaystyle \,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\land \,}$

Un álgebra de Boole puede interpretarse como un tipo especial de anillo (un anillo de Boole ) o como un tipo especial de red distributiva (una red de Boole ). Cada interpretación es responsable de diferentes leyes distributivas en el álgebra de Boole.

Estructuras similares sin leyes distributivas son los anillos cercanos y los campos cercanos en lugar de anillos y anillos de división . Las operaciones suelen definirse como distributivas hacia la derecha, pero no hacia la izquierda.

Generalizaciones

En varias áreas matemáticas se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitarias. Especialmente en la teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitarias, como la ley distributiva infinita ; otras se definen en presencia de una sola operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo Distributividad (teoría del orden) . Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva .

En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las igualdades anteriores reemplazando por o Naturalmente, esto conducirá a conceptos significativos solo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistributividad como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos . ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .}$

En la teoría de categorías , si y son mónadas en una categoría, una ley distributiva es una transformación natural tal que es un mapa laxo de mónadas y es un mapa colax de mónadas. Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada en : el mapa de multiplicación es y el mapa de unidades es Véase: ley distributiva entre mónadas . ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ ${\displaystyle S\to S}$ ${\displaystyle (S,\lambda )}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ ${\displaystyle S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$ ${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$

También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el área de la teoría de la información .

Antidistributividad

La identidad ubicua que relaciona las inversas con la operación binaria en cualquier grupo , es decir , que se toma como un axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución , a veces se ha llamado propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria ). ^[5] ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$

En el contexto de un anillo cercano , que elimina la conmutatividad del grupo escrito de forma aditiva y supone solo una distributividad unilateral, se puede hablar de elementos distributivos (bilaterales) pero también de elementos antidistributivos . Estos últimos invierten el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo un anillo cercano por la izquierda (es decir, uno en el que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivo invierte el orden de la adición cuando se multiplica por la derecha: ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra de Boole , el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre conjunción y disyunción cuando los factores de implicación se superponen a ellos: ^[7] $${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$ $${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad de las leyes de De Morgan .

Notas

1. Distributividad de operaciones binarias de Mathonline
2. Kim Steward (2011) Multiplicación de polinomios del laboratorio virtual de matemáticas de la Universidad West Texas A&M
3. Elliott Mendelson (1964) Introducción a la lógica matemática , página 21, D. Van Nostrand Company
4. Alfred Tarski (1941) Introducción a la lógica , página 52, Oxford University Press
5. Chris Brink; Wolfram Kahl; Günther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3-211-82971-4.
6. Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Kluwer Academic Publishers. págs. 62 y 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
7. Eric CR Hehner (1993). Una teoría práctica de la programación . Springer Science & Business Media. pág. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.

Enlaces externos

• Una demostración de la Ley Distributiva para la aritmética de números enteros (de cut-the-knot )