En matemáticas , un anillo cercano (también anillo cercano o anillo cercano ) es una estructura algebraica similar a un anillo pero que satisface menos axiomas . Los anillos cercanos surgen naturalmente de funciones en grupos .
Un conjunto N junto con dos operaciones binarias + (llamada suma ) y ⋅ (llamada multiplicación ) se llama anillo cercano (derecho) si:
De manera similar, es posible definir un anillo cercano izquierdo reemplazando la ley distributiva derecha por la correspondiente ley distributiva izquierda. En la literatura se encuentran anillos cercanos tanto derecho como izquierdo; por ejemplo, el libro de Pilz [2] usa anillos cercanos derechos, mientras que el libro de Clay [3] usa anillos cercanos izquierdos.
Una consecuencia inmediata de esta ley distributiva unilateral es que es cierto que 0⋅ x = 0, pero no es necesariamente cierto que x ⋅0 = 0 para cualquier x en N. Otra consecuencia inmediata es que (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) para cualquier x , y en N , pero no es necesario que x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Un anillo cercano es un anillo si y solo si la suma es conmutativa y la multiplicación también es distributiva sobre la suma a la izquierda . Si el anillo cercano tiene una identidad multiplicativa, entonces la distributividad en ambos lados es suficiente y la conmutatividad de la suma se sigue automáticamente.
Sea G un grupo, escrito de forma aditiva pero no necesariamente abeliano , y sea M ( G ) el conjunto { f | f : G → G } de todas las funciones de G a G . Se puede definir una operación de suma en M ( G ): dada f , g en M ( G ), entonces el mapeo f + g de G a G está dado por ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) para todo x en G . Entonces ( M ( G ), +) también es un grupo, que es abeliano si y sólo si G es abeliano. Tomando la composición de las asignaciones como el producto ⋅, M ( G ) se convierte en un anillo cercano.
El elemento 0 del anillo cercano M ( G ) es el mapa cero , es decir, el mapeo que lleva cada elemento de G al elemento identidad de G. El inverso aditivo − f de f en M ( G ) coincide con la definición puntual natural , es decir, (− f )( x ) = −( f ( x )) para todo x en G .
Si G tiene al menos dos elementos, entonces M ( G ) no es un anillo, incluso si G es abeliano. (Considere una aplicación constante g de G a un elemento fijo g ≠ 0 de G ; entonces g ⋅0 = g ≠ 0 .) Sin embargo, hay un subconjunto E ( G ) de M ( G ) que consta de todos los endomorfismos de grupo de G , es decir, todos los mapas f : G → G tales que f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) para todo x , y en G. Si ( G , +) es abeliano, ambas operaciones cercanas al anillo en M ( G ) están cerradas en E ( G ), y ( E ( G ), +, ⋅) es un anillo. Si ( G , +) es no abeliano, E ( G ) generalmente no está cerrado bajo las operaciones del anillo cercano; pero el cierre de E ( G ) bajo las operaciones del anillo cercano es un anillo cercano.
Muchos subconjuntos de M ( G ) forman anillos cercanos interesantes y útiles. Por ejemplo: [1]
Se producen más ejemplos si el grupo tiene una estructura adicional, por ejemplo:
Cada anillo cercano es isomorfo a un subanillo cercano de M ( G ) para algún G .
Muchas aplicaciones involucran la subclase de anillos cercanos conocida como campos cercanos ; para estos consulte el artículo sobre campos cercanos.
Existen diversas aplicaciones de los anillos cercanos propios, es decir, aquellos que no son ni anillos ni campos cercanos.
El más conocido es el diseño de bloques incompletos equilibrados [2] utilizando anillos cercanos planos. Éstas son una forma de obtener familias de diferencias utilizando las órbitas de un grupo de automorfismo libre de punto fijo de un grupo. James R. Clay y otros han ampliado estas ideas a construcciones geométricas más generales. [3]