Binomio (polinomio)

En matemáticas, un polinomio con dos términos

En álgebra , un binomio es un polinomio que es la suma de dos términos, cada uno de los cuales es un monomio . ^[1] Es el tipo más simple de polinomio disperso después de los monomios.

Definición

Un binomio es un polinomio que es la suma de dos monomios. Un binomio en una sola indeterminación (también conocido como binomio univariante ) se puede escribir en la forma

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}$

donde a y b son números , y m y n son enteros no negativos distintos y x es un símbolo que se denomina indeterminado o, por razones históricas, variable . En el contexto de los polinomios de Laurent , un binomio de Laurent , a menudo llamado simplemente binomio , se define de manera similar, pero los exponentes m y n pueden ser negativos.

De manera más general, un binomio puede escribirse ^[2] como:

${\displaystyle a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

Ejemplos

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

Operaciones con binomios simples

• El binomio x ² − y ² , diferencia de dos cuadrados , se puede factorizar como producto de otros dos binomios:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).}$

Éste es un caso especial de la fórmula más general:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}.}$

Al trabajar con números complejos , esto también se puede extender a:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• El producto de un par de binomios lineales ( ax + b ) y ( cx + d  ) es un trinomio :

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• Un binomio elevado a la n- ^ésima potencia , representado como ( x + y ) ⁿ puede desarrollarse mediante el teorema del binomio o, equivalentemente, utilizando el triángulo de Pascal . Por ejemplo, el cuadrado ( x + y ) ² del binomio ( x + y ) es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos y al doble del producto de los términos, es decir:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Los números (1, 2, 1) que aparecen como multiplicadores de los términos en esta expansión son los coeficientes binomiales que se encuentran dos filas por debajo de la parte superior del triángulo de Pascal. La expansión de la n- ^ésima potencia utiliza los números que se encuentran n filas por debajo de la parte superior del triángulo.

• Una aplicación de la fórmula anterior para el cuadrado de un binomio es la " fórmula ( m ,  n ) " para generar ternas pitagóricas :

Para m < n , sea a = n ² − m ² , b = 2 mn y c = n ² + m ² ; entonces a ² + b ² = c ² .

• Los binomios que son sumas o diferencias de cubos se pueden factorizar en polinomios de menor grado de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

Véase también

• Completando el cuadrado
• Distribución binomial
• Lista de temas factoriales y binomiales (que contiene una gran cantidad de enlaces relacionados)

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Binomio". MathWorld .
2. Sturmfels, Bernd (2002). Resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas. Serie de conferencias regionales de matemáticas de la CBMS. Vol. 97. American Mathematical Society. pág. 62. ISBN 9780821889411.

Referencias

• Bostock, L. ; Chandler, S. (1978). Matemáticas puras 1 . Oxford University Press . pág. 36. ISBN 0-85950-092-6.