Variable (matemáticas)

En matemáticas , una variable (del latín variabilis , "cambiable") es un símbolo que representa un objeto matemático . Una variable puede representar un número , un vector , una matriz , una función , el argumento de una función , un conjunto o un elemento de un conjunto. ^[1]

Los cálculos algebraicos con variables como si fueran números explícitos resuelven una variedad de problemas en un solo cálculo. Por ejemplo, la fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación cuadrática sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes de esa ecuación por las variables que los representan en la fórmula cuadrática. En lógica matemática , una variable es un símbolo que representa un término no especificado de la teoría (una metavariable ), o un objeto básico de la teoría que se manipula sin hacer referencia a su posible interpretación intuitiva.

Historia

En obras antiguas como los Elementos de Euclides , las letras individuales se refieren a puntos y formas geométricas. En el siglo VII, Brahmagupta utilizó diferentes colores para representar las incógnitas en las ecuaciones algebraicas del Brāhmasphuṭasiddhānta . Una sección de este libro se llama "Ecuaciones de varios colores". ^[2]

A finales del siglo XVI, François Viète introdujo la idea de representar números conocidos y desconocidos mediante letras, hoy llamadas variables, y la idea de calcular con ellas como si fueran números, para obtener el resultado mediante una simple sustitución. La convención de Viète era utilizar consonantes para valores conocidos y vocales para valores desconocidos. ^[3]

En 1637, René Descartes "inventó la convención de representar las incógnitas en las ecuaciones mediante x , y , z , y las conocidas mediante a , b y c ". ^[4] Contrariamente a la convención de Viète, el de Descartes todavía se utiliza comúnmente. La historia de la letra x en matemáticas se analizó en un artículo de Scientific American de 1887 . ^[5]

A partir de la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal , que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una cantidad variable induce una variación correspondiente de otra cantidad que es función de la primera variable. Casi un siglo después, Leonhard Euler fijó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación $y = f (x)$ para una función $f$ , su variable $x$ y su valor $y$ . Hasta finales del siglo XIX, la palabra variable se refería casi exclusivamente a los argumentos y valores de funciones.

En la segunda mitad del siglo XIX, parecía que los fundamentos del cálculo infinitesimal no estaban lo suficientemente formalizados como para abordar paradojas aparentes, como una función continua que no es diferenciable en ninguna parte . Para solucionar este problema, Karl Weierstrass introdujo un nuevo formalismo consistente en sustituir la noción intuitiva de límite por una definición formal. La noción más antigua de límite era "cuando la variable $x$ varía y tiende hacia $a$ , entonces $f$ $($ $x$ $)$ tiende hacia $L$ ", sin ninguna definición precisa de "tiende". Weierstrass reemplazó esta frase por la fórmula

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|xa|<\eta \Rightarrow |Lf(x)|<\epsilon ,

en el que ninguna de las cinco variables se considera variable.

Esta formulación estática condujo a la noción moderna de variable, que es simplemente un símbolo que representa un objeto matemático que es desconocido o puede ser reemplazado por cualquier elemento de un conjunto dado (por ejemplo, el conjunto de números reales ).

Notación

Las variables generalmente se indican con una sola letra, con mayor frecuencia del alfabeto latino y menos frecuentemente del griego , que puede estar en minúscula o en mayúscula. La letra puede ir seguida de un subíndice: un número (como en $x 2$ ), otra variable ( $xi)$ , una palabra o abreviatura de una palabra ( $x total$ ) o una expresión matemática ( $x 2 i + 1$ ). Bajo la influencia de la informática , algunos nombres de variables en matemáticas puras constan de varias letras y dígitos. Siguiendo a René Descartes (1596-1650), las letras al principio del alfabeto como a , b , c se usan comúnmente para valores y parámetros conocidos, y las letras al final del alfabeto como ( x , y , z ) se usan comúnmente para valores y parámetros conocidos. comúnmente utilizado para incógnitas y variables de funciones. ^[6] En matemáticas impresas, la norma es establecer variables y constantes en cursiva. ^[7]

Por ejemplo, una función cuadrática general se escribe convencionalmente como , donde a , b y c son parámetros (también llamados constantes , porque son funciones constantes ), mientras que x es la variable de la función. Una forma más explícita de denotar esta función es , que aclara el estado de argumento de función de x y el estado constante de a , b y c . Dado que c ocurre en un término que es función constante de x , se llama término constante . ^[8] ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

Ramas y aplicaciones específicas de las matemáticas tienen convenciones de nomenclatura específicas para las variables. A las variables con roles o significados similares a menudo se les asignan letras consecutivas o la misma letra con subíndices diferentes. Por ejemplo, los tres ejes en el espacio de coordenadas 3D se denominan convencionalmente x , y y z . En física, los nombres de las variables están determinados en gran medida por la cantidad física que describen, pero existen varias convenciones de nomenclatura. Una convención que se sigue a menudo en probabilidad y estadística es usar X , Y , Z para los nombres de variables aleatorias , manteniendo x , y , z para las variables que representan valores correspondientes mejor definidos.

Tipos específicos de variables

Es común que las variables desempeñen diferentes roles en una misma fórmula matemática y se han introducido nombres o calificadores para distinguirlas. Por ejemplo, la ecuación cúbica general

hacha^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

se interpreta que tiene cinco variables: cuatro, $a, b, c, d$ , que se consideran números dados y la quinta variable, $x,$ se entiende como un número desconocido . Para distinguirlas, a la variable $x$ se le llama incógnita , y a las demás variables se les llama parámetros o coeficientes , o a veces constantes , aunque esta última terminología es incorrecta para una ecuación, y debe reservarse para la función definida por el lado izquierdo. de esta ecuación.

En el contexto de las funciones, el término variable se refiere comúnmente a los argumentos de las funciones. Este suele ser el caso en oraciones como " función de una variable real ", " $x$ es la variable de la función $f : x \mapsto f (x)$ ", " $f$ es una función de la variable $x$ " (lo que significa que el argumento de la función es referida por la variable $x$ ).

En el mismo contexto, las variables que son independientes de $x$ definen funciones constantes y por eso se llaman constantes . Por ejemplo, una constante de integración es una función constante arbitraria que se suma a una primitiva particular para obtener las otras primitivas. Debido a la fuerte relación entre polinomios y funciones polinómicas , el término "constante" se utiliza a menudo para indicar los coeficientes de un polinomio, que son funciones constantes de los indeterminados.

Este uso de "constante" como abreviatura de "función constante" debe distinguirse del significado normal de la palabra en matemáticas. Una constante , o constante matemática, es un número u otro objeto matemático bien definido e inequívocamente, como, por ejemplo, los números 0, 1, $π$ y el elemento de identidad de un grupo . Dado que una variable puede representar cualquier objeto matemático, una letra que representa una constante a menudo se denomina variable. Este es, en particular, el caso de $e$ y $π$ , incluso cuando representan el número de Euler y $3,14159...$

Otros nombres específicos para variables son:

Una incógnita es una variable en una ecuación que debe resolverse.
Un indeterminado es un símbolo, comúnmente llamado variable, que aparece en un polinomio o en una serie de potencias formales . Formalmente hablando, un indeterminado no es una variable, sino una constante en el anillo polinómico o en el anillo de series de potencias formales . Sin embargo, debido a la fuerte relación entre los polinomios o series de potencias y las funciones que definen, muchos autores consideran a las indeterminadas como un tipo especial de variables.
Un parámetro es una cantidad (normalmente un número) que forma parte de la entrada de un problema y permanece constante durante toda la solución de este problema. Por ejemplo, en mecánica la masa y el tamaño de un cuerpo sólido son parámetros para el estudio de su movimiento. En informática , parámetro tiene un significado diferente y denota un argumento de una función.
Variables libres y variables ligadas
Una variable aleatoria es un tipo de variable que se utiliza en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.

Todas estas denominaciones de variables son de carácter semántico , y la forma de computar con ellas ( sintaxis ) es la misma para todas.

Variables dependientes e independientes

En cálculo y su aplicación a la física y otras ciencias, es bastante común considerar una variable, digamos $y$ , cuyos valores posibles dependen del valor de otra variable, digamos $x$ . En términos matemáticos, la variable dependiente $y$ representa el valor de una función de $x$ . Para simplificar fórmulas, suele ser útil utilizar el mismo símbolo para la variable dependiente $y$ y la función que asigna $x$ a $y$ . Por ejemplo, el estado de un sistema físico depende de cantidades mensurables como la presión , la temperatura , la posición espacial,..., y todas estas cantidades varían cuando el sistema evoluciona, es decir, son función del tiempo. En las fórmulas que describen el sistema, estas cantidades están representadas por variables que dependen del tiempo y, por tanto, se consideran implícitamente como funciones del tiempo.

Por lo tanto, en una fórmula, una variable dependiente es una variable que es implícitamente una función de otra (o varias otras) variables. Una variable independiente es una variable que no es dependiente. ^[9]

La propiedad de una variable de ser dependiente o independiente depende muchas veces del punto de vista y no es intrínseca. Por ejemplo, en la notación $f (x, y, z)$ , las tres variables pueden ser todas independientes y la notación representa una función de tres variables. Por otro lado, si $y$ y $z$ dependen de $x$ (son variables dependientes ), entonces la notación representa una función de la única variable independiente $x$ . ^[10]

Ejemplos

Si uno define una función f de los números reales a los números reales por

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

entonces x es una variable que representa el argumento de la función que se define, que puede ser cualquier número real.

en la identidad

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}

la variable i es una variable sumatoria que designa a su vez cada uno de los números enteros 1, 2, ..., n (también se llama índice porque su variación es sobre un conjunto discreto de valores) mientras que n es un parámetro (no varían dentro de la fórmula).

En la teoría de polinomios , un polinomio de grado 2 generalmente se denota como ax ² + bx + c , donde a , b y c se llaman coeficientes (se supone que son fijos, es decir, parámetros del problema considerado) mientras que x es llamada variable. Al estudiar este polinomio para su función polinómica, esta x representa el argumento de la función. Al estudiar el polinomio como un objeto en sí mismo, x se considera un indeterminado y, a menudo, se escribe con una letra mayúscula para indicar este estado.

Ejemplo: la ley de los gases ideales

Considere la ecuación que describe la ley de los gases ideales,

PV=Nk_{B}T.

constante de Boltzmann

{\ Displaystyle k_ {B}}

N

P,V

T

Se podría reorganizar esta ecuación para obtener en función de las otras variables, $P$

P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.

P

V,N

T

P

P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R}

Sin embargo, en un experimento, para determinar la dependencia de la presión de una sola de las variables independientes, es necesario fijar todas las variables menos una, digamos . Esto da una función $T$

P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},

aplicación parcial

N

V

P

Esto ilustra cómo las variables independientes y las constantes dependen en gran medida del punto de vista adoptado. Incluso se podría considerar como una variable para obtener una función. ${\ Displaystyle k_ {B}}$

P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.

espacios de módulos

La consideración de constantes y variables puede conducir al concepto de espacios de módulos. A modo de ilustración, considere la ecuación de una parábola ,

y=ax^{2}+bx+c,

a,b,c,x

y

(x,y)

a,b

c

x

y

Luego, en lugar de considerar y como variables, observamos que cada conjunto de 3 tuplas corresponde a una parábola diferente. Es decir, especifican coordenadas en el 'espacio de parábolas': esto se conoce como espacio de módulos de parábolas . $a,b$ $c$ $(a,b,c)$

Nombres de variables convencionales

a , b , c , d (a veces extendido a e , f ) para parámetros o coeficientes
a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... para situaciones en las que las letras distintas son inconvenientes
a _i o u _i para el i -ésimo término de una secuencia o el i -ésimo coeficiente de una serie
e para el número de Euler
f , g , h para funciones (como en ) $f(x)$
i para la unidad imaginaria
i , j , k (a veces l o h ) para números enteros o índices variables en una familia indexada , o vectores unitarios
l y w para el largo y ancho de una figura
l también para una recta, o en teoría de números para un número primo no igual a p
n (con m como segunda opción) para un número entero fijo, como un recuento de objetos o el grado de una ecuación
p para un número primo o una probabilidad
q para una potencia prima o un cociente
r para un radio , un resto o un coeficiente de correlación
t por tiempo
x , y , z para las tres coordenadas cartesianas de un punto en geometría euclidiana o los ejes correspondientes
z para un número complejo , o en estadística una variable aleatoria normal
α , β , γ , θ , φ para medidas de ángulos
ε (con δ como segunda opción) para un número positivo arbitrariamente pequeño
λ para un valor propio
Σ (sigma mayúscula) para una suma, o σ (sigma minúscula) en estadística para la desviación estándar ^[11]
μ para una media

Ver también

Referencias

^ Stover y Weisstein.
^ Tabak 2014, pag. 40.
^ Fraleigh 1989, pág. 276.
^ Sorell 2000, pag. 19.
^ Científico americano. Munn y compañía. 3 de septiembre de 1887. p. 148.
^ Arte de Edwards. 4
^ Hosch 2010, pag. 71.
^ Foerster 2006, pag. 18.
^ Arte de Edwards. 5
^ Arte de Edwards. 6
^ Weisstein, Eric W. "Suma". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de febrero de 2022 .

Bibliografía

Edwards, José (1892). Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial (2ª ed.). Londres: MacMillan and Co.
Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones (edición clásica). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
Fraleigh, John B. (1989). Un primer curso de álgebra abstracta (4ª ed.). Estados Unidos: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
Hosch, William L., ed. (2010). La Guía Británica de Álgebra y Trigonometría. Publicaciones educativas británicas. ISBN 978-1-61530-219-2.
Menger, Karl (1954). "Sobre Variables en Matemáticas y Ciencias Naturales". La Revista Británica de Filosofía de la Ciencia . Prensa de la Universidad de Chicago. 5 (18): 134-142. doi :10.1093/bjps/V.18.134. JSTOR 685170.
Peregrin, Jaroslav (2000). "Variables en el lenguaje natural: ¿de dónde vienen?" (PDF) . En Bottner, Michael; Thümmel, Lobo (eds.). Semántica libre de variables . Osnabrück Secolo. págs. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4.
Quine, Willard V. (1960). "Variables explicadas" (PDF) . Actas de la Sociedad Filosófica Estadounidense . Sociedad Filosófica Estadounidense. 104 (3): 343–347. JSTOR 985250.
Sorell, Tom (2000). Descartes: una introducción muy breve. Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Variable". En Weisstein, Eric W. (ed.). Wolfram MathWorld . Investigación Wolfram . Consultado el 22 de noviembre de 2021 .
Tabak, John (2014). Álgebra: conjuntos, símbolos y lenguaje del pensamiento. Publicación de bases de datos. ISBN 978-0-8160-6875-3.