En matemáticas , el resto es la cantidad "que sobra" después de realizar algún cálculo. En aritmética , el resto es el número entero "que sobra" después de dividir un número entero por otro para producir un cociente entero ( división de enteros ). En álgebra de polinomios, el resto es el polinomio "que sobra" después de dividir un polinomio por otro. La operación de módulo es la operación que produce dicho resto cuando se le dan un dividendo y un divisor.
Alternativamente, un resto también es lo que queda después de restar un número a otro, aunque a esto se le llama más precisamente diferencia . Este uso se puede encontrar en algunos libros de texto de primaria; coloquialmente se reemplaza por la expresión "el resto" como en "Devuélveme dos dólares y quédate con el resto". [1] Sin embargo, el término "resto" todavía se usa en este sentido cuando una función se aproxima mediante una expansión en serie , donde la expresión de error ("el resto") se denomina término restante .
Dado un número entero a y un número entero distinto de cero d , se puede demostrar que existen enteros únicos q y r , tales que a = qd + r y 0 ≤ r < | re | . El número q se llama cociente , mientras que r se llama resto .
(Para obtener una prueba de este resultado, consulte División euclidiana . Para algoritmos que describen cómo calcular el resto, consulte Algoritmo de división ).
El resto, tal como se definió anteriormente, se denomina resto menos positivo o simplemente resto . [2] El número entero a es un múltiplo de d o se encuentra en el intervalo entre múltiplos consecutivos de d , es decir, q⋅d y ( q + 1) d (para q positivo ).
En algunas ocasiones conviene realizar la división de manera que a sea lo más cercano posible a un múltiplo integral de d , es decir, podemos escribir
En este caso, s se llama resto mínimo absoluto . [3] Al igual que con el cociente y el resto, k y s se determinan de forma única, excepto en el caso en que d = 2 n y s = ± n . Para esta excepción tenemos:
En este caso se puede obtener un resto único mediante alguna convención, como tomar siempre el valor positivo de s .
En la división de 43 entre 5 tenemos:
entonces 3 es el resto menos positivo. También tenemos eso:
y −2 es el resto menos absoluto.
Estas definiciones también son válidas si d es negativo, por ejemplo, en la división de 43 entre −5,
y 3 es el resto menos positivo, mientras que,
y −2 es el resto menos absoluto.
En la división de 42 entre 5 tenemos:
y dado que 2 < 5/2, 2 es tanto el resto menos positivo como el resto mínimo absoluto.
En estos ejemplos, el resto mínimo absoluto (negativo) se obtiene del resto menos positivo restando 5, que es d . Esto se cumple en general. Al dividir por d , ambos restos son positivos y por tanto iguales, o tienen signos opuestos. Si el resto positivo es r 1 y el negativo es r 2 , entonces
Cuando a y d son números de punto flotante , con d distinto de cero, a se puede dividir por d sin resto, siendo el cociente otro número de punto flotante. Sin embargo, si el cociente está obligado a ser un número entero, el concepto de resto sigue siendo necesario. Se puede demostrar que existe un cociente entero único q y un resto único en coma flotante r tal que a = qd + r con 0 ≤ r < | re |.
Ampliar la definición de resto para números de coma flotante, como se describió anteriormente, no tiene importancia teórica en matemáticas; sin embargo, muchos lenguajes de programación implementan esta definición (ver operación de módulo ).
Si bien no hay dificultades inherentes a las definiciones, existen problemas de implementación que surgen cuando se utilizan números negativos en el cálculo de los restos. Diferentes lenguajes de programación han adoptado diferentes convenciones. Por ejemplo:
La división euclidiana de polinomios es muy similar a la división euclidiana de números enteros y conduce a restos polinomiales. Su existencia se basa en el siguiente teorema: Dados dos polinomios univariados a ( x ) y b ( x ) (donde b ( x ) es un polinomio distinto de cero) definidos sobre un cuerpo (en particular, los números reales o complejos ), existen dos polinomios q ( x ) (el cociente ) y r ( x ) (el resto ) que satisfacen: [7]
dónde
donde "deg(...)" denota el grado del polinomio (el grado del polinomio constante cuyo valor es siempre 0 se puede definir como negativo, de modo que esta condición de grado siempre será válida cuando este sea el resto). Además, q ( x ) y r ( x ) están determinados únicamente por estas relaciones.
Esto difiere de la división euclidiana de números enteros en que, para los números enteros, la condición de grado se reemplaza por los límites del resto r (no negativo y menor que el divisor, lo que asegura que r es único). La similitud entre la división euclidiana para números enteros y para polinomios motiva la búsqueda del entorno algebraico más general en el que la división euclidiana sea válida. Los anillos para los que existe tal teorema se denominan dominios euclidianos , pero en esta generalidad, la unicidad del cociente y el resto no está garantizada. [8]
La división polinomial conduce a un resultado conocido como teorema del resto polinómico : si un polinomio f ( x ) se divide por x − k , el resto es la constante r = f ( k ). [9] [10]
