Polinomio disperso

En matemáticas, un polinomio disperso (también polinomio lacunar ^[1] o fewnomial ) ^[2] es un polinomio que tiene muchos menos términos de los que su grado y número de variables sugerirían. Por ejemplo, es un polinomio disperso ya que es un trinomio con un grado de . ${\displaystyle x^{10}+3x^{3}+1}$ ${\displaystyle 10}$

La motivación para estudiar polinomios dispersos es concentrarse en la estructura de los monomios de un polinomio en lugar de su grado, como se puede ver, por ejemplo, al comparar el teorema de Bernstein-Kushnirenko con el teorema de Bezout . La investigación sobre polinomios dispersos también ha incluido trabajo sobre algoritmos cuyo tiempo de ejecución crece como una función del número de términos en lugar de en función del grado, ^[3] para problemas que incluyen la multiplicación de polinomios ^{[4] [5]} , la división ^[6] , algoritmos de búsqueda de raíces ^[7] y máximos comunes divisores de polinomios . [ ^8] Los polinomios dispersos también se han utilizado en matemáticas puras, especialmente en el estudio de los grupos de Galois , porque ha sido más fácil determinar los grupos de Galois de ciertas familias de polinomios dispersos que para otros polinomios. ^[9]

Las variedades algebraicas determinadas por polinomios dispersos tienen una estructura simple, que también se refleja en la estructura de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales relacionadas . ^{[2] Además, existe un} criterio positivo disperso para polinomios dispersos univariados. Este criterio establece que la no negatividad de un polinomio puede ser certificada por polinomios dispersos cuyo grado depende únicamente del número de monomios del polinomio. ^[10]

Los polinomios dispersos aparecen a menudo en ecuaciones de suma o diferencia de potencias. La suma de dos cubos establece que . Aquí hay un polinomio disperso ya que de los términos posibles, solo aparecen . Otros ejemplos incluyen las identidades y también donde el producto de dos polinomios da un polinomio de Spearse. La forma normal de Bring-Jerrard de una ecuación de quinto grado también es un polinomio disperso. ${\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (x-y)\sum _{k=0}^{N-1}x^{k}y^{N-1-k}=x^{N}-y^{N}}$ ${\displaystyle (x+y)\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}x^{k}y^{2n-k}=x^{2n+1}+y^{2n+1}}$ ${\displaystyle x^{5}+px+q}$

Véase también

• Askold Khovanskii , uno de los principales contribuyentes a la teoría de los pocillos.

Referencias

1. Rédei, L. (1973), Polinomios lacunarios sobre campos finitos , traducido por Földes, I., Elsevier, MR  0352060
2. Khovanskiĭ, AG (1991), Fewnomials , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 88, traducido por Zdravkovska, Smilka, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, doi : 10.1090/mmono/088, ISBN 0-8218-4547-0, Sr.  1108621
3. Roche, Daniel S. (2018), "¿Qué podemos (y qué no podemos) hacer con polinomios dispersos?", en Kauers, Manuel; Ovchinnikov, Alexey; Schost, Éric (eds.), Actas del Simposio Internacional sobre Computación Simbólica y Algebraica de la ACM de 2018, ISSAC 2018, Nueva York, NY, EE. UU., 16-19 de julio de 2018 , Association for Computing Machinery, págs. 25-30, arXiv : 1807.08289 , doi : 10.1145/3208976.3209027, S2CID  49868973
4. Nakos, Vasileios (2020), "Multiplicación polinomial dispersa casi óptima", IEEE Transactions on Information Theory , 66 (11): 7231–7236, arXiv : 1901.09355 , doi :10.1109/TIT.2020.2989385, MR  4173637, S2CID  59316578
5. Giorgi, Pascal; Grenet, Bruno; Perret du Cray, Armelle (2020), "Multiplicación de polinomios dispersos esencialmente óptima", Actas del 45.º Simposio internacional sobre computación simbólica y algebraica (ISSAC '20). , Association for Computing Machinery, págs. 202–209, arXiv : 2001.11959 , doi :10.1145/3373207.3404026, S2CID  211003922
6. Giorgi, Pascal; Grenet, Bruno; Perret du Cray, Armelle (2021), "Sobre la división exacta y la prueba de divisibilidad para polinomios dispersos", Actas del Simposio internacional sobre computación simbólica y algebraica (ISSAC '21) de 2021 , Association for Computing Machinery, págs. 163–170, arXiv : 2102.04826 , doi : 10.1145/3452143.3465539, S2CID  231855563
7. Pan, Victor Y. (2020), "Aceleración de la búsqueda de raíces de subdivisión para polinomios dispersos", Álgebra computacional en computación científica , Lecture Notes in Computer Science, vol. 12291, Cham: Springer, págs. 461–477, doi :10.1007/978-3-030-60026-6_27, MR  4184190, S2CID  224820309
8. Zippel, Richard (1979), "Algoritmos probabilísticos para polinomios dispersos", Cálculo simbólico y algebraico (EUROSAM '79, Simposio internacional, Marsella, 1979) , Lecture Notes in Computer Science, vol. 72, Berlín, Nueva York: Springer, págs. 216-226, MR  0575692
9. Cohen, SD; Movahhedi, A.; Salinier, A. (1999), "Grupos de Galois de trinomios", Journal of Algebra , 222 (2): 561–573, doi : 10.1006/jabr.1999.8033 , MR  1734229
10. Averkov, Gennady; Scheiderer, Claus (7 de marzo de 2023). "Cascos convexos de curvas monomiales y un positivstellensatz escaso". arXiv : 2303.03826 [matemáticas.OC].