Suma de dos cubos

Fórmula polinómica matemática

Prueba visual de las fórmulas para la suma y diferencia de dos cubos.

En matemáticas , la suma de dos cubos es un número al cubo sumado a otro número al cubo.

Factorización

Toda suma de cubos se puede factorizar según la identidad.

$${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

álgebra elemental^[1]

Los números binomiales generalizan esta factorización a potencias impares superiores.

Método "jabón"

El mnemotécnico "SOAP", que significa "Igual, opuesto, siempre positivo", se utiliza a veces para memorizar la ubicación correcta de los símbolos de suma y resta al factorizar cubos. ^[2] Al aplicar este método a la factorización, "Igual" representa el primer término con el mismo signo que la expresión original, "Opuesto" representa el segundo término con el signo opuesto a la expresión original y "Siempre Positivo" representa el tercer trimestre y siempre es positivo.

Prueba

Comenzando con la expresión, se multiplica por a y b ^[1] ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$

$${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).}$$

ab^[1] ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$

$${\displaystyle a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}}$$

^[1]

$${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$$

De manera similar para la diferencia de cubos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}}$$

El último teorema de Fermat

El último teorema de Fermat en el caso del exponente 3 establece que la suma de dos cubos enteros distintos de cero no da como resultado un cubo entero distinto de cero. La primera prueba registrada del caso del exponente 3 fue dada por Euler . ^[3]

Números de taxi y Cabtaxi

Los números de taxi son números que se pueden expresar como la suma de dos cubos enteros positivos de n formas distintas. El número de taxi más pequeño, después de Ta(1), es 1729, ^[4] expresado como

${\displaystyle 1^{3}+12^{3}}$o ${\displaystyle 9^{3}+10^{3}}$

El número de taxi más pequeño expresado de 3 formas diferentes es 87.539.319, expresado como

${\displaystyle 436^{3}+167^{3}}$, o ${\displaystyle 423^{3}+228^{3}}$ ${\displaystyle 414^{3}+255^{3}}$

Los números de Cabtaxi son números que se pueden expresar como la suma de dos enteros positivos o negativos o 0 cubos de n maneras. El número de taxi más pequeño, después de Cabtaxi(1), es 91, ^[5] expresado como:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}}$o ${\displaystyle 6^{3}-5^{3}}$

El número de Cabtaxi más pequeño expresado de 3 formas diferentes es 4104, ^[6] expresado como

${\displaystyle 16^{3}+2^{3}}$, o ${\displaystyle 15^{3}+9^{3}}$ ${\displaystyle -12^{3}+18^{3}}$

Ver también

• Diferencia de dos cuadrados
• numero binomial
• La identidad de Sophie Germain
• factorización aurifeuilleana
• El último teorema de Fermat

Referencias

1. McKeague, Charles P. (1986). Álgebra elemental (3ª ed.). Prensa académica. pag. 388.ISBN​ 0-12-484795-1.
2. Kropko, Jonathan (2016). Matemáticas para científicos sociales . Los Ángeles, LA: Sage. pag. 30.ISBN​ 9781506304212.
3. Dickson, LE (1917). "El último teorema de Fermat y el origen y naturaleza de la teoría de los números algebraicos". Anales de Matemáticas . 18 (4): 161–187. doi :10.2307/2007234. ISSN  0003-486X. JSTOR  2007234.
4. "A001235 - OEIS". oeis.org . Consultado el 4 de enero de 2023 .
5. Schumer, Peter (2008). "Suma de dos cubos de dos formas diferentes". Horizontes matemáticos . 16 (2): 8–9. JSTOR  25678781.
6. Silverman, Joseph H. (1993). "Taxis y sumas de dos cubos". El Mensual Matemático Estadounidense . 100 (4): 331–340. doi :10.2307/2324954. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324954.

Otras lecturas

• Broughan, Kevin A. (enero de 2003). "Caracterización de la suma de dos cubos" (PDF) . Diario de secuencias enteras . 6 (4): 46. Código Bib : 2003JIntS...6...46B.