En matemáticas , específicamente en teoría de números , un número binomial es un número entero que se puede obtener evaluando un polinomio homogéneo que contiene dos términos. Es una generalización de un número de Cunningham .
Un número binomial es un número entero obtenido al evaluar un polinomio homogéneo que contiene dos términos, también llamado binomio . La forma de este binomio es , con y . Sin embargo, como siempre es divisible por , al estudiar los números generados a partir de la versión con signo negativo, se suele dividir por primero. Los números binomiales formados de esta manera forman secuencias de Lucas . Específicamente:
Los números binomiales son una generalización de los números de Cunningham , y se verá que los números de Cunningham son números binomiales donde . Otros subconjuntos de los números binomiales son los números de Mersenne y los repunitos .
La razón principal para estudiar estos números es obtener sus factorizaciones . Aparte de los factores algebraicos , que se obtienen factorizando el polinomio subyacente (binomio) que se usó para definir el número, como la diferencia de dos cuadrados y la suma de dos cubos , existen otros factores primos (llamados factores primos primitivos, porque para un dado que no se factorizan con ) que ocurren aparentemente al azar, y son estos los que busca el teórico de números.
Los binomios subyacentes de algunos números binomiales tienen factorizaciones aurifeulianas , [1] que pueden ayudar a encontrar factores primos. Los polinomios ciclotómicos también son útiles para encontrar factorizaciones. [2]
La cantidad de trabajo requerido para buscar un factor se reduce considerablemente aplicando el teorema de Legendre. [3] Este teorema establece que todos los factores de un número binomial son de la forma si es par o si es impar .
Algunas personas escriben "número binomial" cuando se refieren a coeficiente binomial , pero este uso no es estándar y está en desuso.
