Teoría de los números

La teoría de números (o aritmética o aritmética superior en su uso más antiguo) es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros y las funciones aritméticas . El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas". ^[1] Los teóricos de números estudian los números primos , así como las propiedades de los objetos matemáticos construidos a partir de números enteros (por ejemplo, números racionales ), o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, enteros algebraicos ).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones ( geometría diofántica ). Las cuestiones de la teoría de números a menudo se entienden mejor mediante el estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann ) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de la teoría de números de alguna manera ( teoría analítica de números ). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales, por ejemplo, aproximados por estos últimos ( aproximación diofántica ).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética . A principios del siglo XX, había sido reemplazada por la "teoría de números". ^{[nota 1]} (La palabra " aritmética " es utilizada por el público en general para significar " cálculos elementales "; también ha adquirido otros significados en la lógica matemática , como en la aritmética de Peano , y en la informática , como en la aritmética de punto flotante .) El uso del término aritmética para la teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente en parte debido a la influencia francesa. ^{[nota 2]} En particular, comúnmente se prefiere aritmética como adjetivo a teoría de números .

Historia

Orígenes

El amanecer de la aritmética

El hallazgo histórico más antiguo de carácter aritmético es un fragmento de una tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotamia , ca. 1800 a. C.) contiene una lista de " triples pitagóricos ", es decir, números enteros tales que . Los tripletes son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por fuerza bruta . El encabezado de la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado de manera que el ancho..." ^[2] $(a,b,c)$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

El diseño de la tabla sugiere ^[3] que fue construida mediante lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},

que está implícito en los ejercicios rutinarios de la antigua Babilonia . ^[4] Si se utilizó algún otro método, ^[5] los tripletes fueron primero construidos y luego reordenados por , presumiblemente para uso real como una "tabla", por ejemplo, con miras a aplicaciones. $c/a$

No se sabe cuáles pudieron haber sido estas aplicaciones, ni si pudo haberlas; La astronomía babilónica , por ejemplo, no adquirió verdadera importancia hasta más tarde. En cambio, se ha sugerido que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares. ^[6]^{[nota 3]}

Mientras que la teoría de números babilónica (o lo que sobrevive de las matemáticas babilónicas que se pueden llamar así) consiste en este único y sorprendente fragmento, el álgebra babilónica (en el sentido de " álgebra " de la escuela secundaria) estaba excepcionalmente bien desarrollada. ^[7] Fuentes neoplatónicas tardías ^[8] afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho más antiguas ^[9] afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto .

Euclides IX 21-34 es muy probablemente pitagórico; ^[10] es un material muy simple (“por impar, par es par”, “si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad”), pero es todo eso Es necesario demostrar que eso es irracional . ^[11]Los místicos pitagóricos daban gran importancia a lo par y a lo impar. ^[12] El descubrimiento de que es irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (anteriores a Teodoro ). ^[13] Al revelar (en términos modernos) que los números pueden ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundamental en la historia de las matemáticas; su prueba o su divulgación se atribuyen a veces a Hipasus , que fue expulsado o escindido de la secta pitagórica. ^[14] Esto obligó a hacer una distinción entre números (enteros y racionales, los temas de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporciones (que identificaríamos con los números reales, sean racionales o no), por el otro. ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

La tradición pitagórica hablaba también de los llamados números poligonales o figurados . ^[15] Si bien los números cuadrados , los números cúbicos , etc., se consideran ahora más naturales que los números triangulares , los números pentagonales , etc., el estudio de las sumas de los números triangulares y pentagonales resultaría fructífero a principios del período moderno (del siglo XVII al principios del siglo XIX).

No conocemos ningún material claramente aritmético en las fuentes védicas o egipcias antiguas , aunque hay algo de álgebra en cada una de ellas. El teorema del resto chino aparece como un ejercicio ^[16] en Sunzi Suanjing (siglos III, IV o V d.C.). ^[17] (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi: ^{[nota 4]} es el problema que luego fue resuelto por el Kuṭṭaka de Āryabhaṭa – ver más abajo.)

También hay cierto misticismo numérico en las matemáticas chinas ^{[nota 5]} pero, a diferencia del de los pitagóricos, parece no haber llevado a ninguna parte. Al igual que los números perfectos de los pitagóricos , los cuadrados mágicos han pasado de la superstición a la recreación .

Grecia clásica y el período helenístico temprano

Aparte de algunos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica a través de los informes de no matemáticos contemporáneos o de trabajos matemáticos del período helenístico temprano . ^[18] En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides , respectivamente.

Si bien las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio , PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras :

"De hecho, dicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia, Egipto y toda Persia, siendo instruido por los magos y los sacerdotes: y además de estos, se dice que estudió con los brahmanes ( estos son filósofos indios); y de unos tomó la astrología, de otros la geometría, y de otros la aritmética y la música, y diferentes cosas de diferentes naciones, y sólo de los sabios de Grecia no obtuvo nada, casados como estaban con un pobreza y falta de sabiduría: por el contrario, él mismo se convirtió en el autor de la instrucción a los griegos en el conocimiento que había adquirido en el extranjero ". ^[19]

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón seguía de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, ^[20] y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todas las cosas pitagóricas"). ^[21]

Platón tenía un gran interés por las matemáticas y distinguía claramente entre aritmética y cálculo. (Por aritmética se refería, en parte, a teorizar sobre los números, en lugar de lo que han llegado a significar la aritmética o la teoría de números ). Es a través de uno de los diálogos de Platón, a saber, Teeteto , que sabemos que Teodoro había demostrado que son irracionales. Teeteto fue, como Platón, discípulo de Teodoro; Trabajó en la distinción de diferentes tipos de inconmensurables y, por lo tanto, podría decirse que fue un pionero en el estudio de los sistemas numéricos . ( Papus describe el libro X de los Elementos de Euclides como basado en gran medida en el trabajo de Teeteto). ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots,{\sqrt {17}}$

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (Libros VII a IX de los Elementos de Euclides). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo euclidiano ; Elementos , Proposición VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de los números primos ( Elementos , Proposición IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes . ^[22]^[23] El epigrama proponía lo que se conoce como el problema del ganado de Arquímedes ; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que luego sería mal llamada ecuación de Pell ). Hasta donde sabemos, estas ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez en la escuela india. No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Diofanto

Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría ; probablemente vivió en el siglo III d. C., es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de Arithmetica de Diofanto sobreviven en el griego original y cuatro más sobreviven en una traducción árabe. La Arithmetica es una colección de problemas resueltos donde la tarea es invariablemente encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente de la forma o . Así, hoy en día hablamos de ecuaciones diofánticas cuando hablamos de ecuaciones polinómicas a las que se deben encontrar soluciones racionales o enteras. $f(x,y)=z^{2}$ $f(x,y,z)=w^{2}$

Se puede decir que Diofanto estaba estudiando puntos racionales , es decir, puntos cuyas coordenadas son racionales, sobre curvas y variedades algebraicas ; sin embargo, a diferencia de los griegos del período clásico, que hicieron lo que ahora llamaríamos álgebra básica en términos geométricos, Diofanto hizo lo que ahora llamaríamos geometría algebraica básica en términos puramente algebraicos. En el lenguaje moderno, lo que hizo Diofanto fue encontrar parametrizaciones racionales de variedades; es decir, dada una ecuación de la forma (digamos) , su objetivo era encontrar (en esencia) tres funciones racionales tales que, para todos los valores de y , establecer para dé una solución a $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$ ${\ Displaystyle g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}}$ $r$ $s$ $x_{i}=g_{i}(r,s)$ $i=1,2,3$ $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Diofanto también estudió las ecuaciones de algunas curvas no racionales, para las cuales no es posible una parametrización racional. Logró encontrar algunos puntos racionales en estas curvas ( curvas elípticas , en lo que parece ser su primera aparición conocida) por medio de lo que equivale a una construcción tangente: traducida a geometría de coordenadas (que no existía en la época de Diofanto ), su método se visualizaría como dibujar una tangente a una curva en un punto racional conocido y luego encontrar el otro punto de intersección de la tangente con la curva; ese otro punto es un nuevo punto racional. (Diofanto también recurrió a lo que podría llamarse un caso especial de construcción secante).

Si bien Diofanto se preocupaba principalmente por soluciones racionales, asumió algunos resultados sobre números enteros, en particular que cada número entero es la suma de cuatro cuadrados (aunque nunca lo afirmó explícitamente).

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría , ^[24] parece darse el caso de que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; ^[25] en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII. ^[26]

Āryabhaṭa (476–550 d.C.) demostró que pares de congruencias simultáneas podían resolverse mediante un método que llamó kuṭṭaka , o pulverizador ; ^[27] este es un procedimiento cercano a (una generalización de) el algoritmo euclidiano, que probablemente fue descubierto de forma independiente en la India. ^[28] Āryabhaṭa parece haber tenido en mente aplicaciones a los cálculos astronómicos. ^[24] $n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}$ $n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}$

Brahmagupta (628 d.C.) inició el estudio sistemático de las ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular la mal llamada ecuación de Pell , en la que Arquímedes pudo haberse interesado por primera vez y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Le seguirían autores sánscritos posteriores, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Jayadeva (citado en el siglo XI) finalmente encontró un procedimiento general (el chakravala , o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell; La exposición más antigua que se conserva aparece en Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo XII). ^[29]

Las matemáticas indias siguieron siendo en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; ^[30] El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke . ^[31]

La aritmética en la edad de oro islámica

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó traducciones de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind , que puede ^[32] o no ^{[33] ser}el Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). La obra principal de Diofanto, Arithmetica , fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). Parte del tratado al-Fakhri (por al-Karajī , 953 – ca. 1029) se basa en ello hasta cierto punto. Según Rashed Roshdi, Ibn al-Haytham, contemporáneo de Al-Karajī , conocía ^[34] lo que más tarde se llamaría el teorema de Wilson .

Europa occidental en la Edad Media

Aparte de un tratado sobre cuadrados en progresión aritmética de Fibonacci , que viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla, no se hizo ninguna teoría de números en Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento , gracias a un estudio renovado de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de la Arithmetica de Diofanto . ^[35]

Teoría de números moderna temprana

Fermat

Pierre de Fermat (1607-1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. ^[36] En sus notas y cartas, apenas escribió pruebas: no tenía modelos en la zona. ^[37]

A lo largo de su vida, Fermat hizo las siguientes contribuciones al campo:

Uno de los primeros intereses de Fermat fueron los números perfectos (que aparecen en Euclides, Elementos IX) y los números amigables ; ^{[nota 6]} estos temas lo llevaron a trabajar en divisores enteros , que estuvieron desde el principio entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo puso en contacto con la comunidad matemática de la época. ^[38]
En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todos los números enteros pueden expresarse como la suma de cuatro cuadrados o menos. ^[39]
Pequeño teorema de Fermat (1640): ^[40] si a no es divisible por un primo p , entonces ^{[nota 7]} $a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.$
Si a y b son coprimos , entonces no es divisible por ningún primo congruente con −1 módulo 4; ^[41] y todo primo congruente con 1 módulo 4 se puede escribir en la forma . ^[42] Estas dos declaraciones también datan de 1640; En 1659, Fermat declaró a Huygens que había demostrado esta última afirmación mediante el método del descenso infinito . ^[43] $a^{2}+b^{2}$ $a^{2}+b^{2}$
En 1657, Fermat planteó el problema de su resolución como un desafío a los matemáticos ingleses. Wallis y Brouncker resolvieron el problema en unos meses. ^[44] Fermat consideró válida su solución, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin prueba (al igual que Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no estaba al tanto de esto). Afirmó que se podía encontrar una prueba mediante un descenso infinito. $x^{2}-Ny^{2}=1$
Fermat afirmó y demostró (por descendencia infinita) en el apéndice de Observaciones sobre Diofanto (Obs. XLV) ^[45] que no tiene soluciones no triviales en los números enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que no existen soluciones no triviales y que esto también podría demostrarse mediante un descenso infinito. ^[46] La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; de hecho, por descendencia infinita). ^[47] $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$
Fermat afirmó ( el último teorema de Fermat ) haber demostrado que no hay soluciones para todos ; esta afirmación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diofanto. $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $n\geq 3$

Euler

El interés de Leonhard Euler (1707-1783) por la teoría de números se vio estimulado por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado ^{[nota 8]} Goldbach , le indicó algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. ^[48]^[49] Esto ha sido llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, ^[50] después de la relativa falta de éxito de Fermat en llamar la atención de sus contemporáneos sobre el tema. ^[51] El trabajo de Euler sobre teoría de números incluye lo siguiente: ^[52]

Pruebas de las declaraciones de Fermat. Esto incluye el pequeño teorema de Fermat (generalizado por Euler a módulos no primos); el hecho de que si y sólo si ; trabajo inicial para demostrar que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados (la primera prueba completa es de Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por el propio Euler ^[53] ); la falta de soluciones enteras distintas de cero (lo que implica el caso n=4 del último teorema de Fermat, cuyo caso n=3 Euler también demostró mediante un método relacionado). $p=x^{2}+y^{2}$ $p\equiv 1{\bmod {4}}$ $x^{4}+y^{4}=z^{2}$
Ecuación de Pell , mal llamada por primera vez por Euler. ^[54] Escribió sobre el vínculo entre fracciones continuas y la ecuación de Pell. ^[55]
Primeros pasos hacia la teoría analítica de números. En su trabajo sobre sumas de cuatro cuadrados, particiones , números pentagonales y distribución de números primos, Euler fue pionero en el uso de lo que puede verse como análisis (en particular, series infinitas) en teoría de números. Dado que vivió antes del desarrollo del análisis complejo , la mayor parte de su trabajo se restringe a la manipulación formal de series de potencias . Sin embargo, realizó algunos trabajos iniciales muy notables (aunque no completamente rigurosos) sobre lo que más tarde se llamaría la función zeta de Riemann . ^[56]
Formas cuadráticas . Siguiendo el ejemplo de Fermat, Euler investigó más a fondo la cuestión de qué primos pueden expresarse en la forma , algunos de los cuales prefiguran la reciprocidad cuadrática . ^[57]^[58]^[59] $x^{2}+Ny^{2}$
Ecuaciones diofánticas . Euler trabajó en algunas ecuaciones diofánticas de género 0 y 1. ^[60]^[61] En particular, estudió el trabajo de Diofanto; intentó sistematizarlo, pero aún no había llegado el momento de tal esfuerzo: la geometría algebraica estaba todavía en su infancia. ^[62] Se dio cuenta de que había una conexión entre los problemas diofánticos y las integrales elípticas , ^[62] cuyo estudio él mismo había iniciado.

Lagrange, Legendre y Gauss

Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, primera edición

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler; por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados y la teoría básica de la mal llamada "ecuación de Pell" (para la cual se utilizó un algoritmo). Fermat y sus contemporáneos encontraron la solución, y también Jayadeva y Bhaskara II antes que ellos). También estudió formas cuadráticas en total generalidad (a diferencia de ), definiendo su relación de equivalencia, mostrando cómo ponerlas en forma reducida, etc. $mX^{2}+nY^{2}$

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue el primero en establecer la ley de la reciprocidad cuadrática. También conjeturó lo que equivale al teorema de los números primos y al teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Dio un tratamiento completo de la ecuación ^[64] y trabajó en formas cuadráticas siguiendo las líneas desarrolladas más tarde por Gauss. ^[65] En su vejez, fue el primero en demostrar el último teorema de Fermat (completando el trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y dándole crédito tanto a él como a Sophie Germain ). ^[66] $hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}=0$ $n=5$

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostró la ley de la reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algo de notación básica ( congruencias ) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. ^[67] La última sección de las Disquisiciones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo... que se trata en la sec. 7 no pertenece por sí solo a la aritmética, pero sus principios sólo pueden extraerse de la aritmética superior. ^[68]

De esta manera, podría decirse que Gauss hizo una primera incursión tanto en el trabajo de Évariste Galois como en la teoría algebraica de números .

Madurez y división en subcampos

A partir de principios del siglo XIX, se produjeron gradualmente los siguientes acontecimientos:

El ascenso a la autoconciencia de la teoría de números (o aritmética superior ) como campo de estudio. ^[69]
El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría básica de números moderna: análisis complejo , teoría de grupos , teoría de Galois , acompañado de un mayor rigor en el análisis y la abstracción en álgebra.
La subdivisión aproximada de la teoría de números en sus subcampos modernos, en particular, la teoría de números analítica y algebraica.

Se puede decir que la teoría algebraica de números comenzó con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía , pero realmente cobró fuerza con el desarrollo del álgebra abstracta y las primeras teorías ideales y de valoración ; vea abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), ^[70]^[71] cuya demostración introdujo funciones L e implicó algún análisis asintótico y un proceso limitante en una variable real. ^[72] El primer uso de ideas analíticas en la teoría de números en realidad se remonta a Euler (década de 1730), ^[73]^[74] quien utilizó series de potencias formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en la teoría de números llega más tarde: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; ^[75] El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que lo antecede, pertenece a una corriente inicialmente diferente que ahora ha asumido un papel destacado en la teoría analítica de números ( formas modulares ). ^[76]

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para obtener tratamientos más completos. Muchas de las cuestiones más interesantes de cada área siguen abiertas y se están trabajando activamente en ellas.

Subdivisiones principales

Teoría de números elemental

El término elemental generalmente denota un método que no utiliza análisis complejos . Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez mediante análisis complejo en 1896, pero Erdős y Selberg no encontraron una demostración elemental hasta 1949 . ^[77] El término es algo ambiguo: por ejemplo, las pruebas basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener-Ikehara ) a menudo se consideran bastante esclarecedoras pero no elementales, a pesar de utilizar el análisis de Fourier , en lugar del análisis complejo como tal. En este caso, como en otros lugares, una demostración elemental puede resultar más larga y difícil para la mayoría de los lectores que una no elemental.

La teoría de números tiene la reputación de ser un campo cuyos resultados pueden ser expuestos al profano. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas. ^[78]

Teoría analítica de números

La acción del grupo modular en el semiplano superior . La región en gris es el dominio fundamental estándar .

La teoría analítica de números puede definirse

en cuanto a sus herramientas, como el estudio de los números enteros mediante herramientas de análisis reales y complejos ; ^[70] o
en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre tamaño y densidad, en contraposición a identidades. ^[79]

Algunos temas generalmente considerados parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría de los tamices , ^{[nota 9]} están mejor cubiertos por la segunda definición que por la primera: algunos temas de la teoría de los tamices, por ejemplo, utilizan poco análisis, ^{[nota 10]} sin embargo, pertenece a la teoría analítica de números.

Los siguientes son ejemplos de problemas de la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos , o las conjeturas de Hardy-Littlewood ), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos de tamiz y las funciones L (o, mejor dicho, el estudio de sus propiedades). La teoría de las formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas ) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números. ^[80]

Uno puede hacer preguntas analíticas sobre números algebraicos y utilizar medios analíticos para responder dichas preguntas; es así como la teoría de números algebraica y la analítica se cruzan. Por ejemplo, se pueden definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta un cierto tamaño. Esta pregunta puede responderse mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en las raíces del tema. ^[81] Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valores complejos construida apropiadamente. ^[82]

Teoría algebraica de números

Un número algebraico es cualquier número complejo que sea solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución de (digamos) es un número algebraico. Los campos de números algebraicos también se denominan campos de números algebraicos , o abreviadamente campos de números . La teoría algebraica de números estudia los campos de números algebraicos. ^[83] Por lo tanto, la teoría de números analítica y algebraica pueden superponerse y lo hacen: la primera se define por sus métodos, la segunda por sus objetos de estudio. $f(x)=0$ $x$ $x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0$

Se podría argumentar que Gauss ya estudió el tipo más simple de campos numéricos (es decir, campos cuadráticos), ya que la discusión de las formas cuadráticas en Disquisitiones arithmeticae puede reformularse en términos de ideales y normas en campos cuadráticos. (Un campo cuadrático consta de todos los números de la forma , donde y son números racionales y es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). De hecho, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo. para encontrar las unidades de un campo de números cuadráticos reales. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los campos numéricos como tales. $a+b{\sqrt {d}}$ $a$ $b$ $d$

Los fundamentos del tema tal como lo conocemos se sentaron a finales del siglo XIX, cuando se desarrollaron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; Estas son tres formas complementarias de abordar la falta de factorización única en campos de números algebraicos. (Por ejemplo, en el campo generado por los racionales y , el número puede factorizarse como y ; todos los de , y son irreducibles y , por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogos a los números primos entre los números enteros.) El ímpetu inicial para El desarrollo de los números ideales (por Kummer ) parece provenir del estudio de leyes de reciprocidad superiores, ^[84] es decir, generalizaciones de la reciprocidad cuadrática . ${\sqrt {-5}}$ $6$ $6=2\cdot 3$ $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ $2$ $3$ $1+{\sqrt {-5}}$ $1-{\sqrt {-5}}$

Los campos numéricos a menudo se estudian como extensiones de campos numéricos más pequeños: se dice que un campo L es una extensión de un campo K si L contiene K. (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R , y los reales R son una extensión de los racionales Q ). Clasificar las posibles extensiones de un campo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Las extensiones abelianas, es decir, extensiones L de K tales que el grupo Galois ^{[nota 11]} Gal( L / K ) de L sobre K es un grupo abeliano , se comprenden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de teoría de campos de clases , que se inició a finales del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo en gran parte entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa Langlands , uno de los principales planes actuales de investigación a gran escala en matemáticas, se describe a veces como un intento de generalizar la teoría de campos de clases a extensiones no abelianas de campos numéricos.

Geometría diofántica

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado es pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación en dos variables define una curva en el plano. De manera más general, una ecuación, o sistema de ecuaciones, en dos o más variables define una curva , una superficie o algún otro objeto similar en un espacio de n dimensiones. En geometría diofántica, uno se pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son números enteros) en la curva o superficie. Si existen tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo están distribuidos. Una pregunta básica en esta dirección es si hay un número finito o infinito de puntos racionales en una curva (o superficie) determinada.

En la ecuación pitagórica nos gustaría estudiar sus soluciones racionales, es decir, sus soluciones tales que xey sean ambas racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras para ; cualquier solución a la última ecuación nos da una solución a la primera. También es lo mismo que preguntar por todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por . (Esta curva resulta ser un círculo de radio 1 alrededor del origen). $x^{2}+y^{2}=1,$ $(x,y)$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $x=a/c$ $y=b/c$ $x^{2}+y^{2}=1$

Dos ejemplos de curva elíptica , es decir, una curva de género 1 que tiene al menos un punto racional. (Cualquiera de los gráficos puede verse como una porción de un toroide en un espacio de cuatro dimensiones).

La reformulación de preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos sobre curvas resulta acertada. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros en una curva algebraica (es decir, soluciones racionales o enteras de una ecuación , donde hay un polinomio en dos variables) resulta depender crucialmente del género de la curva. El género se puede definir de la siguiente manera: ^{[nota 12]} permite que las variables sean números complejos; luego define una superficie bidimensional en un espacio (proyectivo) de 4 dimensiones (ya que dos variables complejas se pueden descomponer en cuatro variables reales, es decir, cuatro dimensiones). Si contamos el número de agujeros (rosquillas) en la superficie; A este número lo llamamos género de . Otras nociones geométricas resultan igualmente cruciales. $f(x,y)=0$ $f$ $f(x,y)=0$ $f(x,y)=0$ $f(x,y)=0$

También existe el área estrechamente relacionada de las aproximaciones diofánticas : dado un número , luego encontrar qué tan bien puede aproximarse mediante racionales. (Estamos buscando aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio que se necesita para escribir el racional: llame a (con ) una buena aproximación a si , donde es grande.) Esta pregunta es de especial interés si es un número algebraico. Si no se pueden aproximar bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras o racionales. Es más, varios conceptos (especialmente el de altura ) resultan críticos tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta cuestión también es de especial interés en la teoría de números trascendental : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es mediante este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales. $x$ $a/q$ $\gcd(a,q)=1$ $x$ $|x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}$ $c$ $x$ $x$

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es una colección de métodos gráficos para responder ciertas preguntas de la teoría algebraica de números. Geometría aritmética , sin embargo, es un término contemporáneo para prácticamente el mismo dominio que cubre el término geometría diofántica . Podría decirse que el término geometría aritmética se utiliza con mayor frecuencia cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (como en, por ejemplo, el teorema de Faltings ) en lugar de con las técnicas de aproximaciones diofánticas.

Otros subcampos

Las áreas siguientes no datan de antes de mediados del siglo XX, incluso si se basan en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica más adelante, la cuestión de los algoritmos en la teoría de números es muy antigua, en cierto sentido más antigua que el concepto de prueba; al mismo tiempo, el estudio moderno de la computabilidad data sólo de las décadas de 1930 y 1940, y la teoría de la complejidad computacional de la década de 1970.

Teoría probabilística de números

Gran parte de la teoría probabilística de números puede verse como un caso especial importante del estudio de variables que son casi, pero no del todo, mutuamente independientes . Por ejemplo, el evento de que un número entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilística utiliza el hecho de que todo lo que sucede con una probabilidad mayor de la que debe suceder a veces; Se puede decir con igual justicia que muchas aplicaciones de la teoría probabilística de números dependen del hecho de que todo lo que es inusual debe ser raro. Si se puede demostrar que ciertos objetos algebraicos (digamos, soluciones racionales o enteras de ciertas ecuaciones) están en la cola de ciertas distribuciones sensiblemente definidas, se deduce que debe haber pocos de ellos; ésta es una afirmación no probabilística muy concreta que se deriva de una probabilística. $0$

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular la conjetura de Cramér .

Combinatoria aritmética

Si partimos de un conjunto infinito bastante "grueso" , ¿contiene muchos elementos en progresión aritmética: , , digamos? ¿ Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ? $A$ $a$ $a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b$ $A$

Estas preguntas son características de la combinatoria aritmética . Este es un campo actualmente en fusión; incluye la teoría aditiva de números (que se ocupa de ciertos conjuntos muy específicos de significado aritmético, como los primos o los cuadrados) y, posiblemente, parte de la geometría de los números , junto con algún material nuevo en rápido desarrollo. Su enfoque en cuestiones de crecimiento y distribución explica en parte sus vínculos en desarrollo con la teoría ergódica , la teoría de grupos finitos , la teoría de modelos y otros campos. También se utiliza el término combinatoria aditiva ; sin embargo, los conjuntos que se estudian no necesitan ser conjuntos de números enteros, sino subconjuntos de grupos no conmutativos , para los cuales tradicionalmente se utiliza el símbolo de multiplicación, no el símbolo de suma; también pueden ser subconjuntos de anillos , en cuyo caso se puede comparar el crecimiento de y · . $A$ $A$ $A+A$ $A$ $A$

Teoría computacional de números

Si bien la palabra algoritmo se remonta sólo a ciertos lectores de al-Khwārizmī , las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: tales métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquier matemática reconocible: el antiguo Egipto, Babilonia, Védica, China. —mientras que las pruebas aparecieron sólo entre los griegos del período clásico.

Un caso temprano es el de lo que ahora llamamos algoritmo euclidiano. En su forma básica (es decir, como algoritmo para calcular el máximo común divisor ) aparece como la Proposición 2 del Libro VII en Elementos , junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se utiliza a menudo en teoría de números (es decir, como algoritmo para encontrar soluciones enteras a una ecuación , o, lo que es lo mismo, para encontrar cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema chino del resto ), aparece por primera vez. en las obras de Āryabhaṭa (siglos V-VI d.C.) como un algoritmo llamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sin prueba de corrección. $ax+by=c$

Hay dos preguntas principales: "¿Podemos calcular esto?" y "¿Podemos calcularlo rápidamente?" Cualquiera puede comprobar si un número es primo o, en caso contrario, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otra cuestión. Ahora conocemos algoritmos rápidos para probar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe ningún algoritmo verdaderamente rápido para factorizar.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para cifrar mensajes (por ejemplo, RSA ) dependen de funciones que son conocidas por todos, pero cuyas inversas sólo son conocidas por unos pocos elegidos, y tomaría demasiado tiempo descifrarlas. por cuenta propia. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas sólo puedan calcularse si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de unos pocos problemas de teoría de números.

Es posible que algunas cosas no sean computables en absoluto; de hecho, esto se puede probar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970 se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert , que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. ^[85] En particular, esto significa que, dado un conjunto de axiomas computablemente enumerable , hay ecuaciones diofánticas para las cuales no hay prueba, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (Necesariamente estaríamos hablando de ecuaciones diofánticas para las cuales no existen soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la solución en sí proporciona una prueba del hecho de que existe una solución. No podemos probar que una ecuación diofántica particular La ecuación es de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones.)

Aplicaciones

El teórico de números Leonard Dickson (1874-1954) dijo: "Gracias a Dios, la teoría de números no tiene ninguna aplicación". Esta visión ya no es aplicable a la teoría de números. ^[86] En 1974, Donald Knuth dijo que "prácticamente todos los teoremas de la teoría elemental de números surgen de una manera natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". ^[87] La teoría de números elemental se enseña en cursos de matemáticas discretas para informáticos ; Por otro lado, la teoría de números también tiene aplicaciones a lo continuo en el análisis numérico . ^[88]

La teoría de números tiene ahora varias aplicaciones modernas que abarcan diversas áreas como:

Criptografía : los esquemas de cifrado de clave pública como RSA se basan en la dificultad de factorizar grandes números compuestos en sus factores primos. ^[89]
Ciencias de la computación : el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), que se utiliza para calcular de manera eficiente la transformada discreta de Fourier, tiene aplicaciones importantes en el procesamiento de señales y el análisis de datos. ^[90]
Física : La hipótesis de Riemann tiene conexiones con la distribución de números primos y ha sido estudiada por sus posibles implicaciones en la física. ^[82]
Códigos de corrección de errores : la teoría de campos finitos y la geometría algebraica se han utilizado para construir códigos de corrección de errores eficientes. ^[91]
Comunicaciones: El diseño de redes de telefonía celular requiere el conocimiento de la teoría de formas modulares , que forma parte de la teoría analítica de números. ^[92]
Estudio de escalas musicales: el concepto de " temperamento igual ", que es la base de la mayor parte de la música occidental moderna, implica dividir la octava en 12 partes iguales. ^[93] Esto se ha estudiado utilizando la teoría de números y, en particular, las propiedades de la raíz 12 de 2.

Premios

La Sociedad Americana de Matemáticas otorga el Premio Cole en Teoría de Números . Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas premiadas con el Premio Fermat .

Ver también

Notas

↑ Ya en 1921, TL Heath tuvo que explicar: "Por aritmética, Platón entendía no la aritmética en nuestro sentido, sino la ciencia que considera los números en sí mismos, es decir, lo que entendemos por teoría de los números". (Heath 1921, pág.13)
^ Tomemos, por ejemplo, Serre 1973 . En 1952, Davenport todavía tuvo que especificar que se refería a La aritmética superior . Hardy y Wright escribieron en la introducción a Introducción a la teoría de los números (1938): "En un momento propusimos cambiar [el título] por Introducción a la aritmética , un título más novedoso y en cierto modo más apropiado; pero Se señaló que esto podría dar lugar a malentendidos sobre el contenido del libro." (Hardy y Wright 2008)
^ Robson 2001, pag. 201. Esto es controvertido. Véase Plimpton 322 . El artículo de Robson está escrito de manera polémica (Robson 2001, p. 202) con miras a "quizás [...] derribar [a Plimpton 322] de su pedestal" (Robson 2001, p. 167); al mismo tiempo, llega a la conclusión de que
[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas presenta la tableta?" La primera puede responderse de manera más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulo rectángulo (Robson 2001, p. 202).
Robson discrepa con la idea de que el escriba que produjo Plimpton 322 (que tuvo que "trabajar para ganarse la vida" y no habría pertenecido a una "clase media tranquila") podría haber estado motivado por su propia "curiosidad ociosa" por el ausencia de un "mercado para las nuevas matemáticas" (Robson 2001, págs. 199-200)
^ Sunzi Suanjing , cap. 3, Problema 26, en Lam y Ang 2004, págs. 219-220:
[26] Ahora bien, hay un número desconocido de cosas. Si contamos de tres en tres, queda 2; si contamos de cinco en cinco, queda 3; si contamos de siete en siete, queda 2 como resto. Calcula el número de cosas. Respuesta : 23.
Método : Si contamos de tres en tres y queda 2, anotamos 140. Si contamos de cinco en cinco y queda 3, anotamos 63. Si contamos de siete en siete y queda 2, anotamos 30. Súmalos para obtener 233 y resta 210 para obtener la respuesta. Si contamos de tres en tres y queda 1, anotamos 70. Si contamos de cinco en cinco y queda 1, anotamos 21. Si contamos de siete en siete y queda 1, anotamos 15. Cuando [ un número] excede 106, el resultado se obtiene restando 105.
^ Véase, por ejemplo, Sunzi Suanjing , cap. 3, Problema 36, en Lam y Ang 2004, págs. 223-224:
[36] Ahora hay una mujer embarazada cuya edad es 29 años. Si el período de gestación es de 9 meses, determine el sexo del feto. Respuesta : Hombre.
Método : Anota 49, suma el período de gestación y resta la edad. Del resto restad 1 que representa el cielo, 2 la tierra, 3 el hombre, 4 las cuatro estaciones, 5 las cinco fases, 6 los seis flautas, 7 las siete estrellas [del Oso], 8 los ocho vientos, y 9 las nueve divisiones [de China bajo Yu el Grande]. Si el resto es impar, [el sexo] es masculino y si el resto es par, [el sexo] es femenino.
Éste es el último problema del tratado de Sunzi, que por lo demás es práctico.
^ Los números perfectos y especialmente amigables tienen poco o ningún interés hoy en día. No ocurrió lo mismo en la época medieval, ya sea en Occidente o en el mundo de habla árabe, debido en parte a la importancia que les dio el neopitagórico (y por tanto místico) Nicómaco (ca. 100 d.C.), quien escribió un primitivo pero influyente " Introducción a la Aritmética ". Véase van der Waerden 1961, cap. IV.
^ Aquí, como de costumbre, dados dos números enteros a y b y un número entero distinto de cero m , escribimos (léase " a es congruente con b módulo m ") para significar que m divide a − b , o, lo que es lo mismo, a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen por m . Esta notación es en realidad mucho posterior a la de Fermat; aparece por primera vez en la sección 1 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss . El pequeño teorema de Fermat es consecuencia del hecho de que el orden de un elemento de un grupo divide el orden del grupo. La prueba moderna habría estado al alcance de Fermat (y de hecho fue dada más tarde por Euler), aunque el concepto moderno de grupo llegó mucho después de Fermat o Euler. (Es útil saber que existen inversos módulo p , es decir, dado un no divisible por un primo p , hay un número entero x tal que ); este hecho (que, en el lenguaje moderno, convierte los residuos mod p en un grupo, y que ya era conocido por Āryabhaṭa; ver arriba) era familiar para Fermat gracias a su redescubrimiento por Bachet (Weil 1984, p. 7). Weil continúa diciendo que Fermat habría reconocido que el argumento de Bachet es esencialmente el algoritmo de Euclides. $a\equiv b{\bmod {m}}$ $xa\equiv 1{\bmod {p}}$
^ Hasta la segunda mitad del siglo XVII, los puestos académicos eran muy raros y la mayoría de los matemáticos y científicos se ganaban la vida de alguna otra manera (Weil 1984, págs. 159, 161). (Ya existían algunas características reconocibles de la práctica profesional , a saber, buscar corresponsales, visitar a colegas extranjeros, construir bibliotecas privadas (Weil 1984, pp. 160-161). Las cosas comenzaron a cambiar a finales del siglo XVII (Weil 1984, p. 161); se fundaron academias científicas en Inglaterra (la Royal Society , 1662), Francia (la Académie des sciences , 1666) y Rusia (1724). A Euler se le ofreció un puesto en esta última en 1726; aceptó, llegando a St. ... Petersburgo en 1727 (Weil 1984, p. 163 y Varadarajan 2006, p. 7). En este contexto, el término aficionado que suele aplicarse a Goldbach está bien definido y tiene cierto sentido: se le ha descrito como un hombre de letras que se ganaba la vida como espía (Truesdell 1984, p. xv); citado en Varadarajan 2006, p. 9). Nótese, sin embargo, que Goldbach publicó algunos trabajos sobre matemáticas y en ocasiones ocupó cargos académicos.
^ La teoría del tamiz figura como una de las principales subáreas de la teoría analítica de números en muchos tratamientos estándar; véase, por ejemplo, Iwaniec y Kowalski 2004 o Montgomery y Vaughan 2007.
^ Este es el caso de los tamices pequeños (en particular, algunos tamices combinatorios como el tamiz Brun ) más que de los tamices grandes ; el estudio de este último incluye ahora ideas del análisis armónico y funcional .
^ El grupo de Galois de una extensión L/K consta de operaciones ( isomorfismos ) que envían elementos de L a otros elementos de L dejando todos los elementos de K fijos. Así, por ejemplo, Gal(C/R) consta de dos elementos: el elemento identidad (tomando cada elemento x + iy de C consigo mismo) y la conjugación compleja (el mapa tomando cada elemento x + iy en x − iy ). El grupo de Galois de una extensión nos dice muchas de sus propiedades cruciales. El estudio de los grupos de Galois se inició con Évariste Galois ; en lenguaje moderno, el principal resultado de su trabajo es que una ecuación f ( x ) = 0 puede resolverse mediante radicales (es decir, x puede expresarse en términos de las cuatro operaciones básicas junto con raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. ) si y sólo si la extensión de los racionales por las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 tiene un grupo de Galois que tiene solución en el sentido de teoría de grupos. ("Resoluble", en el sentido de la teoría de grupos, es una propiedad simple que se puede comprobar fácilmente para grupos finitos).
^ Si queremos estudiar la curva . Permitimos que xey sean números complejos : . Se trata, en efecto, de un conjunto de dos ecuaciones con cuatro variables, ya que tanto la parte real como la imaginaria de cada lado deben coincidir. Como resultado, obtenemos una superficie (bidimensional) en un espacio de cuatro dimensiones. Después de elegir un hiperplano conveniente sobre el cual proyectar la superficie (lo que significa que, por ejemplo, elegimos ignorar la coordenada a ), podemos trazar la proyección resultante, que es una superficie en el espacio tridimensional ordinario. Entonces queda claro que el resultado es un toroide , en términos generales, la superficie de un donut (algo estirada). Un donut tiene un agujero; por tanto el género es 1. $y^{2}=x^{3}+7$ $(a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7$

Referencias

^ Largo 1972, pag. 1.
^ Neugebauer y Sachs 1945, pág. 40. El término takiltum es problemático. Robson prefiere la interpretación "El cuadrado de sujeción de la diagonal del cual se arranca 1, de modo que el lado corto salga hacia arriba...".Robson 2001, p. 192
^ Robson 2001, pag. 189. Otras fuentes dan la fórmula moderna . Van der Waerden da tanto la fórmula moderna como lo que equivale a la forma preferida por Robson (van der Waerden 1961, p. 79). $(p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})$
^ van der Waerden 1961, pág. 184.
^ Neugebauer (Neugebauer 1969, págs. 36-40) analiza la tabla en detalle y menciona de pasada el método de Euclides en notación moderna (Neugebauer 1969, p. 39).
^ Friberg 1981, pag. 302.
^ van der Waerden 1961, pág. 43.
^ Iamblichus , Vida de Pitágoras , (trad., por ejemplo, Guthrie 1987) citado en van der Waerden 1961, p. 108. Véase también Porfirio , Vida de Pitágoras , párrafo 6, en Guthrie 1987. Van der Waerden (van der Waerden 1961, págs. 87-90) sostiene la opinión de que Tales conocía las matemáticas babilónicas.
^ Heródoto (II. 81) e Isócrates ( Busiris 28), citado en: Huffman 2011. Sobre Tales, véase Eudemo ap. Proclus, 65.7, (por ejemplo, Morrow 1992, p. 52) citado en: O'Grady 2004, p. 1. Proclo estaba utilizando una obra de Eudemo de Rodas (ahora perdida), el Catálogo de Geómetras . Véase también la introducción, Morrow 1992, p. xxx sobre la confiabilidad de Proclus.
^ Becker 1936, pag. 533, citado en: van der Waerden 1961, p. 108.
^ Becker 1936.
^ van der Waerden 1961, pág. 109.
^ Platón, Teeteto , p. 147 B, (por ejemplo, Jowett 1871), citado en von Fritz 2004, p. 212: "Teodoro nos estaba escribiendo algo sobre raíces, como las raíces de tres o cinco, mostrando que son inconmensurables por unidad;..." Véase también Espiral de Teodoro .
^ von Fritz 2004.
^ Salud 1921, pag. 76.
^ Sunzi Suanjing , Capítulo 3, Problema 26. Esto se puede encontrar en Lam & Ang 2004, págs. 219-220, que contiene una traducción completa del Suan Ching (basada en Qian 1963). Véase también la discusión en Lam y Ang 2004, págs. 138-140.
↑ La fecha del texto se ha reducido a 220–420 EC (Yan Dunjie) o 280–473 EC (Wang Ling) a través de evidencia interna (= sistemas tributarios asumidos en el texto). Véase Lam y Ang 2004, págs. 27-28.
^ Boyer y Merzbach 1991, pág. 82.
^ "Eusebio de Cesarea: Praeparatio Evangelica (Preparación para el Evangelio). Tr. EH Gifford (1903) - Libro 10". Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2016 . Consultado el 20 de febrero de 2017 .
^ Metafísica, 1.6.1 (987a)
^ Toscana. Disputa. 17.01.39.
^ Vardi 1998, págs. 305–319.
^ Weil 1984, págs. 17-24.
^ ab Plofker 2008, pág. 119.
^ Cualquier contacto temprano entre las matemáticas babilónicas e indias sigue siendo una conjetura (Plofker 2008, p. 42).
^ Mumford 2010, pág. 387.
^ Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Capítulo 2, versículos 32–33, citado en: Plofker 2008, págs. 134–140. Véase también Clark 1930, págs. 42-50. Posteriormente se dio una descripción ligeramente más explícita del kuṭṭaka en Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3–5 (en Colebrooke 1817, p. 325, citado en Clark 1930, p. 42).
^ Mumford 2010, pág. 388.
^ Plofker 2008, pág. 194.
^ Plofker 2008, pág. 283.
^ Colebrooke 1817.
^ Colebrooke 1817, pag. lxv, citado en Hopkins 1990, p. 302. Véase también el prefacio en Sachau 1888 citado en Smith 1958, págs. 168.
^ Pingree 1968, págs. 97-125, y Pingree 1970, págs. 103-123, citado en Plofker 2008, pág. 256.
^ Rashed 1980, págs. 305–321.
↑ Bachet , 1621, tras un primer intento de Xylander , 1575
^ Weil 1984, págs. 45-46.
^ Weil 1984, pág. 118. Esto fue más cierto en la teoría de números que en otras áreas (comentario en Mahoney 1994, p. 284). Las propias pruebas de Bachet eran "ridículamente torpes" (Weil 1984, p. 33).
^ Mahoney 1994, págs. 48, 53–54. Los temas iniciales de la correspondencia de Fermat incluían divisores ("partes alícuotas") y muchos temas ajenos a la teoría de números; véase la lista en la carta de Fermat a Roberval, 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891, vol. II, págs. 72, 74, citado en Mahoney 1994, pág. 54.
^ Faulkner, Nicolás; Hosch, William L. (2017). Números y Medidas. Enciclopedia Británica. ISBN 978-1538300428. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 . Consultado el 6 de agosto de 2019 .
^ Curtiduría y Henry 1891, vol. II, pág. 209, Carta XLVI de Fermat a Frenicle, 1640, citada en Weil 1984, p. 56
^ Curtiduría y Henry 1891, vol. II, pág. 204, citado en Weil 1984, p. 63. Todas las siguientes citas de Varia Opera de Fermat están tomadas de Weil 1984, cap. II. El trabajo estándar de Tannery & Henry incluye una revisión de la Varia Opera Mathematica póstuma de Fermat preparada originalmente por su hijo (Fermat 1679).
^ Curtiduría y Henry 1891, vol. II, pág. 213.
^ Curtiduría y Henry 1891, vol. II, pág. 423.
^ Weil 1984, pág. 92.
^ Curtiduría y Henry 1891, vol. Yo, págs. 340–341.
^ Weil 1984, pág. 115.
^ Weil 1984, págs. 115-116.
^ Weil 1984, págs.2, 172.
^ Varadarajan 2006, pág. 9.
^ Weil 1984, págs. 1-2.
^ Weil 1984, pág. 2 y Varadarajan 2006, pág. 37
^ Varadarajan 2006, pág. 39 y Weil 1984, págs. 176-189
^ Weil 1984, págs. 178-179.
^ Weil 1984, pág. 174. Euler fue generoso al dar crédito a los demás (Varadarajan 2006, p. 14), no siempre correctamente.
^ Weil 1984, pág. 183.
^ Varadarajan 2006, págs. 45–55; véase también el capítulo III.
^ Varadarajan 2006, págs. 44–47.
^ Weil 1984, págs. 177-179.
^ Edwards 1983, págs. 285-291.
^ Varadarajan 2006, págs. 55–56.
^ Weil 1984, págs. 179-181.
^ ab Weil 1984, pág. 181.
^ "Andrew Wiles sobre cómo resolver Fermat". WGBH . Noviembre de 2000. Archivado desde el original el 17 de marzo de 2016 . Consultado el 16 de marzo de 2016 .
^ Weil 1984, págs. 327–328.
^ Weil 1984, págs. 332–334.
^ Weil 1984, págs. 337–338.
^ Goldstein y Schappacher 2007, pág. 14.
^ Del prefacio de Disquisitiones Arithmeticae ; la traducción está tomada de Goldstein & Schappacher 2007, p. dieciséis
^ Consulte la discusión en la sección 5 de Goldstein & Schappacher 2007. Los primeros signos de autoconciencia ya están presentes en las cartas de Fermat: de ahí sus comentarios sobre qué es la teoría de números y cómo "el trabajo de Diofanto [...] realmente no pertenece a [ello]" (citado en Weil 1984, p. 25).
^ ab Apóstol 1976, pag. 7.
^ Davenport y Montgomery 2000, pág. 1.
^ Véase la prueba en Davenport & Montgomery 2000, sección 1.
^ Iwaniec y Kowalski 2004, pág. 1.
^ Varadarajan 2006, secciones 2.5, 3.1 y 6.1.
^ Granville 2008, págs. 322–348.
^ Véase el comentario sobre la importancia de la modularidad en Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1
^ Goldfeld 2003.
^ Véase, por ejemplo, el comentario inicial en Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1.
^ Granville 2008, sección 1: "La principal diferencia es que en la teoría algebraica de números [...] normalmente se consideran preguntas con respuestas dadas por fórmulas exactas, mientras que en la teoría analítica de números [...] se buscan buenas aproximaciones ".
^ Véanse los comentarios en la introducción de Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1: "Por más fuerte que sea...".
^ Granville 2008, sección 3: "[Riemann] definió lo que ahora llamamos la función zeta de Riemann [...] El profundo trabajo de Riemann dio origen a nuestro tema [...]"
^ ab Véase, por ejemplo, Montgomery y Vaughan 2007, p. 1.
^ Milne 2017, pag. 2.
^ Edwards 2000, pag. 79.
^ Davis, Martín ; Matiyasevich, Yuri ; Robinson, Julia (1976). "Décimo problema de Hilbert: ecuaciones diofánticas: aspectos positivos de una solución negativa". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII.2. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 323–378. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0346.02026.Reimpreso en The Collected Works of Julia Robinson , Solomon Feferman , editor, págs. 269–378, American Mathematical Society 1996.
^ La eficacia irrazonable de la teoría de números , Stefan Andrus Burr, George E. Andrews, American Mathematical Soc., 1992, ISBN 978-0-8218-5501-0
^ La informática y su relación con las matemáticas "DE Knuth - The American Mathematical Monthly, 1974
^ "Aplicaciones de la teoría de números al análisis numérico", Lo-keng Hua, Luogeng Hua, Yuan Wang, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10382-0
^ Introducción a la teoría de números con criptografía (2ª ed.). Chapman y Hall/CRC. 2018.doi : 10.1201 /9781351664110. ISBN 978-1-351-66411-0. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 . Consultado el 22 de febrero de 2023 .
^ Krishna, Hari (2017). Algoritmos de procesamiento de señales digitales: teoría de números, convolución, transformadas rápidas de Fourier y aplicaciones. Londres. ISBN 978-1-351-45497-1. OCLC 1004350753. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 . Consultado el 22 de febrero de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Baylis, John (2018). Códigos de corrección de errores: una introducción matemática. Rutledge. doi :10.1201/9780203756676. ISBN 978-0-203-75667-6. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 . Consultado el 22 de febrero de 2023 .
^ Livné, R. (2001), Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina (eds.), "Redes de comunicación y formas modulares de Hilbert", Aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de la codificación, la física y la computación , Dordrecht: Springer Países Bajos, págs. 255–270, doi :10.1007/978-94-010- 1011-5_13, ISBN 978-1-4020-0005-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 , consultado el 22 de febrero de 2023
^ Cartwright, Julyan HE; González, Diego L.; Piro, Oreste; Stanzial, Domenico (1 de marzo de 2002). "Estética, dinámica y escalas musicales: una conexión dorada". Revista de investigación de nueva música . 31 (1): 51–58. doi :10.1076/jnmr.31.1.51.8099. hdl : 10261/18003 . ISSN 0929-8215. S2CID 12232457.

Fuentes

Apóstol, Tom M. (1976). Introducción a la teoría analítica de números. Textos de Pregrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 978-0-387-90163-3. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Apóstol, Tom M. (sin fecha). "Introducción a la teoría de números". (Revisión de Hardy & Wright). Reseñas matemáticas (MathSciNet). Sociedad Matemática Estadounidense . SEÑOR 0568909. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2016 . Consultado el 28 de febrero de 2016 . {{cite journal}}: Citar revista requiere |journal=( ayuda ) (Se necesita suscripción)
Becker, Oskar (1936). "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik . Abteilung B: Studien (en alemán). 3 : 533–553.
Boyer, Carl Benjamín ; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. Una historia de las matemáticas (2ª ed.). Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.Edición de 1968 en archive.org
Clark, Walter Eugene (trad.) (1930). El Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa: un antiguo trabajo indio sobre matemáticas y astronomía. Prensa de la Universidad de Chicago . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Colebrooke, Henry Thomas (1817). Álgebra, con Aritmética y Medición, del sánscrito de Brahmegupta y Bháscara. Londres: J. Murray . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Davenport, Harold ; Montgomery, Hugh L. (2000). Teoría de números multiplicativos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 74 (3ª ed. revisada). Saltador . ISBN 978-0-387-95097-6.
Edwards, Harold M. (noviembre de 1983). "Euler y la reciprocidad cuadrática". Revista Matemáticas . 56 (5): 285–291. doi :10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
Edwards, Harold M. (2000) [1977]. El último teorema de Fermat: una introducción genética a la teoría algebraica de números. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 50 (reimpresión de la edición de 1977). Springer Verlag . ISBN 978-0-387-95002-0.
Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica (en francés y latín). Toulouse: Joannis Pech . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Friberg, Jöran (agosto de 1981). "Métodos y tradiciones de las matemáticas babilónicas: Plimpton 322, ternas pitagóricas y ecuaciones de parámetros del triángulo babilónico". Historia Matemática . 8 (3): 277–318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
Von Fritz, Kurt (2004). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasus de Metapontum". En Christianidis, J. (ed.). Clásicos de la Historia de las Matemáticas Griegas . Berlín: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
Gauss, Carl Friedrich ; Waterhouse, William C. (trad.) (1966) [1801]. Disquisiciones aritméticas. Saltador. ISBN 978-0-387-96254-2.
Goldfeld, Dorian M. (2003). "Prueba elemental del teorema de los números primos: una perspectiva histórica" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Goldstein, Catalina ; Schappacher, Norbert (2007). "Un libro en busca de una disciplina". En Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim (eds.). La configuración de la aritmética a partir de las "Disquisitiones Arithmeticae" de CF Gauss . Berlín y Heidelberg: Springer. págs. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Granville, Andrés (2008). "Teoría analítica de números". En Gowers, Timoteo ; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.). El compañero de matemáticas de Princeton . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-11880-2. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
pórfido ; Guthrie, KS (trad.) (1920). Vida de Pitágoras. Alpine, Nueva Jersey: Platonist Press. Archivado desde el original el 29 de febrero de 2020 . Consultado el 10 de abril de 2012 .
Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). La biblioteca y el libro de consulta de Pitágoras . Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
Hardy, Godfrey Harold ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. SEÑOR 2445243.
Brezo, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas, volumen 1: de Tales a Euclides. Oxford: Prensa de Clarendon . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Hopkins, JFP (1990). "Literatura geográfica y de navegación". En Young, MJL; Latham, JD; Sargento, RB (eds.). Religión, aprendizaje y ciencia en el período abasí . La historia de Cambridge de la literatura árabe. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-32763-3.
Huffman, Carl A. (8 de agosto de 2011). "Pitágoras". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford (edición de otoño de 2011). Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2013 . Consultado el 7 de febrero de 2012 .
Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del coloquio de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. vol. 53. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3633-0.
Platón ; Jowett, Benjamín (trad.) (1871). Teeteto. Archivado desde el original el 9 de julio de 2011 . Consultado el 10 de abril de 2012 .
Lam, Lay Yong ; Ang, Tian Se (2004). Pasos fugaces: rastreando la concepción de la aritmética y el álgebra en la antigua China (edición revisada). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Largo, Calvin T. (1972). Introducción elemental a la teoría de números (2ª ed.). Lexington, VA: DC Heath and Company . LCCN 77171950.
Mahoney, MS (1994). La carrera matemática de Pierre de Fermat, 1601-1665 (Reimpresión, 2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-03666-3. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Milne, JS (18 de marzo de 2017). "Teoría algebraica de números" . Consultado el 7 de abril de 2020 .
Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de los Números Multiplicativos: I, Teoría Clásica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84903-6. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Morrow, Glenn Raymond (trad., ed.); Proclo (1992). Un comentario sobre el libro 1 de los Elementos de Euclides. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-02090-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Mumford, David (marzo de 2010). "Matemáticas en la India: revisado por David Mumford" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 57 (3): 387. ISSN 1088-9477. Archivado (PDF) desde el original el 6 de mayo de 2021 . Consultado el 28 de abril de 2021 .
Neugebauer, Otto E. (1969). Las Ciencias Exactas en la Antigüedad. vol. 9 (reimpresión corregida de la edición de 1957). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2023 . Consultado el 2 de marzo de 2016 . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
Neugebauer, Otto E .; Sachs, Abraham José ; Götze, Albrecht (1945). Textos cuneiformes matemáticos . Serie oriental americana. vol. 29. Sociedad Oriental Americana , etc.
O'Grady, Patricia (septiembre de 2004). "Tales de Mileto". La enciclopedia de filosofía de Internet. Archivado desde el original el 6 de enero de 2016 . Consultado el 7 de febrero de 2012 .
Pingree, David ; Ya'qub, ibn Tariq (1968). "Los fragmentos de las obras de Ya'qub ibn Tariq". Revista de estudios del Cercano Oriente . 26 .
Pingree, D .; al-Fazari (1970). "Los fragmentos de las obras de al-Fazari". Revista de estudios del Cercano Oriente . 28 .
Plofker, Kim (2008). Matemáticas en la India . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-12067-6.
Qian, Baocong, ed. (1963). Suanjing shi shu (Diez clásicos de las matemáticas) (en chino). Pekín: Zhonghua shuju. Archivado desde el original el 2 de noviembre de 2013 . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Erupcionado, Roshdi (1980). "Ibn al-Haytham y el teoría de Wilson". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 22 (4): 305–321. doi :10.1007/BF00717654. S2CID 120885025.
Robson, Leonor (2001). "Ni Sherlock Holmes ni Babylon: una reevaluación de Plimpton 322" (PDF) . Historia Matemática . 28 (3): 167–206. doi :10.1006/hmat.2001.2317. Archivado desde el original (PDF) el 21 de octubre de 2014.
Sachau, Eduardo ; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). La India de Alberuni: un relato de la religión, la filosofía, la literatura, la geografía, la cronología, la astronomía y la astrología de la India, vol. 1. Londres: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Un curso de aritmética. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 7. Saltador . ISBN 978-0-387-90040-7.
Smith, DE (1958). Historia de las Matemáticas, Vol I. Nueva York: Publicaciones de Dover.
Curtiduría, Paul ; Fermat, Pierre de (1891). Charles Henry (ed.). Obras de Fermat. (4 vols.) (en francés y latín). París: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils.Volumen 1 Volumen 2 Volumen 3 Volumen 4 (1912)
Jámblico ; Taylor, Thomas (trad.) (1818). Vida de Pitágoras o Vida pitagórica. Londres: JM Watkins. Archivado desde el original el 21 de julio de 2011.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Para otras ediciones, consulte Iamblichus#Lista de ediciones y traducciones.
Truesdell, CA (1984). "Leonard Euler, geómetra supremo". En Hewlett, John (trad.) (ed.). Leonard Euler, Elementos de álgebra (reimpresión de 1840, 5ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96014-2.Esta vista previa de Google Books de Elementos de álgebra carece de la introducción de Truesdell, que se reimprime (ligeramente abreviada) en el siguiente libro:
Truesdell, California (2007). "Leonard Euler, geómetra supremo". En Dunham, William (ed.). El genio de Euler: reflexiones sobre su vida y obra . Volumen 2 de la celebración de Euler por el tricentenario de MAA. Nueva York: Asociación Matemática de América . ISBN 978-0-88385-558-4. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Varadarajan, VS (2006). Euler a través del tiempo: una nueva mirada a viejos temas. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3580-7. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Vardi, Ilan (abril de 1998). "El problema del ganado de Arquímedes" (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 105 (4): 305–319. CiteSeerX 10.1.1.383.545 . doi :10.2307/2589706. JSTOR 2589706. Archivado (PDF) desde el original el 15 de julio de 2012 . Consultado el 8 de abril de 2012 .
van der Waerden, Bartel L .; Dresde, Arnold (traducción) (1961). Despertar de la ciencia . vol. 1 o 2. Nueva York: Oxford University Press .
Weil, André (1984). Teoría de números: una aproximación a la historia, desde Hammurapi hasta Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Consultado el 28 de febrero de 2016 .

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Teoría de números", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, pero no la GFDL .

Otras lecturas

Dos de las introducciones más populares al tema son:

GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. Una introducción a la teoría de números (rev. de DR Heath-Brown y JH Silverman, 6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. Consultado el 2 de marzo de 2016 .
Vinogradov, IM (2003) [1954]. Elementos de la teoría de números (reimpresión de la edición de 1954). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover.

El libro de Hardy y Wright es un clásico integral, aunque su claridad a veces se ve afectada debido a la insistencia de los autores en métodos elementales (Apostol, sf). El principal atractivo de Vinogradov consiste en su conjunto de problemas, que rápidamente conducen a sus propios intereses de investigación; el texto en sí es muy básico y casi mínimo. Otras primeras presentaciones populares son:

Iván M. Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. Una introducción a la teoría de números (reimpresión de la quinta edición de 1991). John Wiley e hijos . ISBN 978-81-265-1811-1. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
Kenneth H. Rosen (2010). Teoría de números elemental (6ª ed.). Educación Pearson . ISBN 978-0-321-71775-7. Consultado el 28 de febrero de 2016 .

Las opciones populares para un segundo libro de texto incluyen:

Borevich, AI ; Shafarevich, Igor R. (1966). Teoría de los números. Matemática Pura y Aplicada. vol. 20. Boston, MA: Prensa académica . ISBN 978-0-12-117850-5. SEÑOR 0195803.
Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Un curso de aritmética. Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 7. Saltador. ISBN 978-0-387-90040-7.

enlaces externos

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