Repunit

Numbers that contain only the digit 1

En matemáticas recreativas , un repunit es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solo el dígito 1 , un tipo más específico de repdigit . El término significa "unidad repetida" y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler en su libro Recreaciones en la teoría de los números . ^{[nota 1]}

Un repunit primo es un repunit que también es un número primo . Los primos que son repunits en base 2 son primos de Mersenne . En mayo de 2023, el número primo más grande conocido 2 ^82,589,933 - 1 , el primo probable más grande R _8177207 y el primo primo probado por primalidad de curva elíptica más grande R ₈₆₄₅₃ son todos repunits en varias bases.

Definición

Las repunits de base b se definen como (esta b puede ser positiva o negativa)

${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.}$

Por lo tanto, el número R _n ^{( b )} consta de n copias del dígito 1 en representación en base b . Las dos primeras repunits base- b para n  = 1 y n  = 2 son

${\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{and}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.}$

En particular, los repunits decimales (base 10 ) a los que a menudo se hace referencia simplemente como repunits se definen como

${\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Por lo tanto, el número R _n = R _n ⁽¹⁰⁾ consta de n copias del dígito 1 en representación de base 10. La secuencia de repunits base-10 comienza con

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (secuencia A002275 en el OEIS ).

De manera similar, los repunits base-2 se definen como

${\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

Por lo tanto, el número R _n ⁽²⁾ consta de n copias del dígito 1 en representación de base 2. De hecho, los repunits de base 2 son los conocidos números de Mersenne M _n  = 2 ⁿ  − 1, comienzan con

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (secuencia A000225 en el OEIS ).

Propiedades

• Cualquier repunit en cualquier base que tenga un número compuesto de dígitos es necesariamente compuesto. Sólo los repunitos (en cualquier base) que tengan un número primo de dígitos pueden ser primos. Ésta es una condición necesaria pero no suficiente. Por ejemplo,

  R ₃₅ ^{( segundo )} = 111111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 1000000100000010000001000000 1,

ya que 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Esta factorización del repunit no depende de la base b en la que se expresa el repunit.

• Si p es un primo impar, entonces cada primo q que divide a R _p ^{( b )} debe ser 1 más un múltiplo de 2 p, o un factor de b − 1. Por ejemplo, un factor primo de R ₂₉ es 62003 = 1 + 2·29·1069. La razón es que el primo p es el exponente más pequeño mayor que 1 tal que q divide a b ^p − 1, porque p es primo. Por lo tanto, a menos que q divida a b − 1, p divide la función Carmichael de q , que es par e igual a q − 1.
• Cualquier múltiplo positivo del repunit R _n ^{( b )} contiene al menos n dígitos distintos de cero en base b .
• Cualquier número x es una unidad de dos dígitos en base x − 1.
• Los únicos números conocidos que son repunitos con al menos 3 dígitos en más de una base simultáneamente son 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La conjetura de Goormaghtigh dice que sólo existen estos dos casos.
• Utilizando el principio del casillero, se puede demostrar fácilmente que para números naturales relativamente primos n y b , existe una repunidad en base b que es múltiplo de n . Para ver esto, considere los repunits R ₁ ^{( b )} ,..., R _n ^{( b )} . Debido a que hay n repunits pero solo n −1 residuos distintos de cero módulo n , existen dos repunits R _i ^{( b )} y R _j ^{( b )} con 1 ≤ i < j ≤ n tales que R _i ^{( b )} y R _j ^{( b )} tener el mismo módulo de residuo n . Se deduce que R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} tiene residuo 0 módulo n , es decir, es divisible por n . Dado que R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} consta de j − i unos seguidos de i ceros, R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} = R _{j − i} ^{( b )} × b ⁱ . Ahora n divide el lado izquierdo de esta ecuación, por lo que también divide el lado derecho, pero como n y b son primos relativos, n debe dividir a R _{j − i} ^{( b )} .
• La conjetura de Feit-Thompson es que R _q ^{( p )} nunca divide a R _p ^{( q )} por dos primos distintos p y q .
• Usando el algoritmo euclidiano para la definición de repunits: R ₁ ^{( b )} = 1; R _n ^{( b )} = R _{n −1} ^{( b )} × b + 1, cualquier repunit consecutivo R _{n −1} ^{( b )} y R _n ^{( b )} son primos relativos en cualquier base- b para cualquier n .
• Si m y n tienen un divisor común d , R _m ^{( b )} y R _n ^{( b )} tienen el divisor común R _d ^{( b )} en cualquier base b para cualquier m y n . Es decir, las repunidades de una base fija forman una secuencia de divisibilidad fuerte . Como consecuencia, si m y n son primos relativos, R _m ^{( b )} y R _n ^{( b )} son primos relativos. El algoritmo euclidiano se basa en mcd ( m , n ) = mcd ( m − n , n ) para m > n . De manera similar, usando R _m ^{( b )} − R _n ^{( b )} × b ^{m − n} = R _{m − n} ^{( b )} , se puede demostrar fácilmente que mcd ( R _m ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) = mcd ( R _{metro - norte} ^{( segundo )} , R _norte ^{( segundo )} ) para metro > norte . Por lo tanto, si mcd ( m , n ) = d , entonces mcd ( R _m ^{( b )} , R _n ^{( b )} ) = R _d ^{( b )} .

Factorización de repunits decimales.

(Los factores primos coloreados en rojo significan "factores nuevos", es decir, el factor primo divide a R _n pero no divide a R _k para todo k < n ) (secuencia A102380 en el OEIS ) ^[2]

Los factores primos más pequeños de R _n para n > 1 son

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 11111111111111111111, 11, 3, 11, 111111111111111111111 111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. (secuencia A067063 en la OEIS )

primos repunit

La definición de repunits fue motivada por matemáticos recreativos que buscaban factores primos de dichos números.

Es fácil demostrar que si n es divisible por a , entonces R _n ^{( b )} es divisible por R _a ^{( b )} :

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),}$

donde es el polinomio ciclotómico y d se extiende sobre los divisores de n . Para p primo, ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$ ${\displaystyle d^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}$

que tiene la forma esperada de repunit cuando x se sustituye por b .

Por ejemplo, 9 es divisible por 3 y, por tanto, R ₉ es divisible por R ₃ ; de hecho, 111111111 = 111 · 1001001. Los polinomios ciclotómicos correspondientes y son y , respectivamente. Por lo tanto, para que R _n sea primo, n necesariamente debe ser primo, pero no es suficiente que n sea primo. Por ejemplo, R ₃  = 111 = 3 · 37 no es primo. Excepto en este caso de R ₃ , p sólo puede dividir R _n para n primo si p = 2 kn + 1 para algún k . ${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$ ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$

Primos repunitarios decimales

R _n es primo para n  = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453... (secuencia A004023 en OEIS ). El 3 de abril de 2007, Harvey Dubner (quien también encontró R ₄₉₀₈₁ ) anunció que R ₁₀₉₂₉₇ es un probable primo. ^[3] El 15 de julio de 2007, Maksym Voznyy anunció que R ₂₇₀₃₄₃ probablemente sería primo. ^[4] Serge Batalov y Ryan Propper encontraron que R _5794777 y R _8177207 eran números primos probables el 20 de abril y el 8 de mayo de 2021, respectivamente. ^[5] En el momento de su descubrimiento, cada uno de ellos era el primo probable más grande conocido. El 22 de marzo de 2022, finalmente se demostró que el probable primo R ₄₉₀₈₁ era primo. ^[6] El 15 de mayo de 2023, finalmente se demostró que el probable primo R ₈₆₄₅₃ era primo. ^[7]

Se ha conjeturado que hay infinitos primos repunit ^[8] y parecen ocurrir aproximadamente con tanta frecuencia como lo predice el teorema de los números primos : el exponente del enésimo primo repunit generalmente está alrededor de un múltiplo fijo del exponente del ( N −1)ésimo.

Los primos repunits son un subconjunto trivial de los primos permutables , es decir, primos que siguen siendo primos después de cualquier permutación de sus dígitos.

Las propiedades particulares son

• El resto de R _n módulo 3 es igual al resto de n módulo 3. Usando 10 ^a ≡ 1 (mod 3) para cualquier a ≥ 0,
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (mod R ₃ ).
  Por lo tanto, 3 | norte ⇔ 3 | R _norte ⇔ R ₃ | R _n .
• El resto de R _n módulo 9 es igual al resto de n módulo 9. Usando 10 ^a ≡ 1 (mod 9) para cualquier a ≥ 0,
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ ),
  para 0 ≤ r < 9.
  Por lo tanto, 9 | norte ⇔ 9 | R _norte ⇔ R ₉ | R _n .

Factorización algebraica de números repunit generalizados.

Si b es una potencia perfecta (puede escribirse como m ⁿ , con m , n enteros, n > 1) difiere de 1, entonces hay como máximo una repunit en base- b . Si n es una potencia prima (puede escribirse como p ^r , con p primo, r entero, p , r >0), entonces todos los repunit en base b no son primos aparte de R _p y R ₂ . R _p puede ser primo o compuesto, los primeros ejemplos, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, etc., los últimos ejemplos, b = −243, − 125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, etc., y R ₂ puede ser primo (cuando p difiere de 2) sólo si b es negativo, una potencia de −2, por ejemplo, b = −8, −32, −128, −8192, etc., de hecho, el R ₂ también puede ser compuesto , por ejemplo, b = −512, −2048, −32768, etc. Si n no es una potencia prima, entonces no existe ninguna base -b repunit prima, por ejemplo, b = 64, 729 (con n = 6), b = 1024 (con n = 10), y b = −1 o 0 (con n cualquier número natural). Otra situación especial es b = −4 k ⁴ , con k entero positivo, que tiene la factorización aurifeuilleana , por ejemplo, b = −4 (con k = 1, entonces R ₂ y R ₃ son primos), y b = −64 , −324, −1024, −2500, −5184, ... (con k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), entonces no existe ningún número primo repunit de base b . También se conjetura que cuando b no es una potencia perfecta ni −4 k ⁴ con k entero positivo, entonces hay infinitos números primos repunit en base b .

La conjetura generalizada del repunit

Una conjetura relacionada con los primos repunit generalizados: ^{[9] [10]} (la conjetura predice dónde está el próximo primo generalizado de Mersenne , si la conjetura es cierta, entonces hay infinitos primos repunit para todas las bases ) ${\displaystyle b}$

Para cualquier número entero que cumpla las condiciones: ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle |b|>1}$.
2. ${\displaystyle b}$No es un poder perfecto . (ya que cuando es una potencia th perfecta , se puede demostrar que hay como máximo un valor tal que es primo, y este valor es él mismo o una raíz de ) ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$
3. ${\displaystyle b}$no está en la forma . (si es así, entonces el número tiene factorización aurifeuilleana ) ${\displaystyle -4k^{4}}$

tiene números primos repunit generalizados de la forma

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}$

para primos , los números primos se distribuirán cerca de la línea de mejor ajuste ${\displaystyle p}$

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,}$

donde límite , ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}$

y hay alrededor

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}}$

base- b repunit primos menores que N .

• ${\displaystyle e}$es la base del logaritmo natural .
• ${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni .
• ${\displaystyle \log _{|b|}}$es el logaritmo en base ${\displaystyle |b|}$
• ${\displaystyle R_{(b)}(n)}$es el enésimo primo repunit generalizado en base b (con primo p ) ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle C}$es una constante de ajuste de datos que varía con . ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \delta =1}$si si . _ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \delta =1.6}$ ${\displaystyle b<0}$
• ${\displaystyle m}$es el número natural más grande tal que es una potencia de ésima. ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$

También tenemos las siguientes 3 propiedades:

1. El número de números primos de la forma (con primo ) menor o igual a es aproximadamente . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}}$
2. El número esperado de números primos de la forma primo entre y es aproximadamente . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |b|\cdot n}$ ${\displaystyle e^{\gamma }}$
3. La probabilidad de que un número de la forma sea primo (para primo ) es aproximadamente . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}}$

Historia

Aunque entonces no se conocían con ese nombre, muchos matemáticos estudiaron las repunitas en base 10 durante el siglo XIX en un esfuerzo por descubrir y predecir los patrones cíclicos de los decimales periódicos . ^[11]

Se descubrió muy pronto que para cualquier primo p mayor que 5, el período de expansión decimal de 1/ p es igual a la longitud del número repunit más pequeño que es divisible por p . En 1860 se habían publicado tablas del período recíproco de números primos hasta 60.000 que permitieron a matemáticos como Reuschle factorizar todos los repunitos hasta R ₁₆ y muchos más grandes. En 1880, incluso se habían factorizado R ₁₇ a R ₃₆ ^[11] y es curioso que, aunque Édouard Lucas no mostró ningún primo por debajo de tres millones en el período diecinueve , no hubo ningún intento de probar la primalidad de ningún repunit hasta principios del siglo XX. . El matemático estadounidense Oscar Hoppe demostró que R ₁₉ era primo en 1916 ^[12] y Lehmer y Kraitchik descubrieron de forma independiente que R ₂₃ era primo en 1929.

No se produjeron mayores avances en el estudio de las repunits hasta la década de 1960, cuando las computadoras permitieron encontrar muchos factores nuevos de las repunits y corregir las lagunas en tablas anteriores de los períodos principales. Se descubrió que R ₃₁₇ era un probable número primo alrededor de 1966 y se demostró que era primo once años después, cuando se demostró que R ₁₀₃₁ era el único número primo posible con menos de diez mil dígitos. Se demostró que era excelente en 1986, pero las búsquedas de más copias excelentes en la década siguiente fracasaron sistemáticamente. Sin embargo, hubo un importante desarrollo secundario en el campo de las repunitas generalizadas, que produjo un gran número de nuevos primos y probables primos.

Desde 1999, se han encontrado otros cuatro repunits probablemente primos, pero es poco probable que alguno de ellos resulte serlo en un futuro previsible debido a su enorme tamaño.

El proyecto Cunningham se esfuerza por documentar las factorizaciones de números enteros (entre otros números) de los repunits en base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 y 12.

Números de Demlo

DR Kaprekar ha definido los números de Demlo como una concatenación de una parte izquierda, media y derecha, donde las partes izquierda y derecha deben tener la misma longitud (hasta un posible cero inicial a la izquierda) y deben sumar un número de repdígito, y la parte media puede contener cualquier número adicional de este dígito repetido. ^[13] Llevan el nombre de la estación de tren Demlo (ahora llamada Dombivili ) a 30 millas de Bombay en el entonces ferrocarril GIP , donde Kaprekar comenzó a investigarlos. Llama números Demlo Maravillosos a los de la forma 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. El hecho de que sean los cuadrados de los repunits ha llevado a algunos autores a llamar números Demlo a la secuencia infinita de estos, ^[14] 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (secuencia A002477 en el OEIS ), aunque se puede comprobar que estos no son números Demlo para p = 10, 19, 2 8, ...

Ver también

• Todo un polinomio : otra generalización
• Conjetura de Goormaghthigh
• decimal periódico
• Repdígito
• Los primos de Wagstaff pueden considerarse primos repunit con base negativa. ${\displaystyle b=-2}$

Notas a pie de página

Notas

1. Albert H. Beiler acuñó el término "número de repunit" de la siguiente manera:

   Un número que consta de un solo dígito repetido a veces se denomina número de monodígito y, por conveniencia, el autor ha utilizado el término "número repunit" (unidad repetida) para representar números de un solo dígito que consisten únicamente en el dígito 1. [ ^1]

Referencias

1. Beiler 2013, págs.83
2. Para obtener más información, consulte Factorización de números repunit.
3. Harvey Dubner, Nuevo Repunit R (109297)
4. Maksym Voznyy, Nuevo PRP Repunit R (270343)
5. OEIS : A004023
6. "PrimePage Primes: R (49081)". PrimePage Primes . 2022-03-21 . Consultado el 31 de marzo de 2022 .
7. "PrimePage Primes: R (86453)". PrimePage Primes . 2023-05-16 . Consultado el 16 de mayo de 2023 .
8. Chris Caldwell. "repunitar". El primer glosario . Páginas principales .
9. Derivando la conjetura de Wagstaff Mersenne
10. Conjetura generalizada de Repunit
11. Dickson y Cresse 1999, págs. 164-167
12. Francisco 1988, págs. 240-246
13. Kaprekar 1938a, 1938b, Gunjikar y Kaprekar 1939
14. Weisstein, Eric W. "Número Demlo". MundoMatemático .

Referencias

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreaciones en la teoría de los números: la reina de las matemáticas entretiene, Dover Recreational Math (segunda edición revisada), Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugenio ; Cresse, GH (1999), Historia de la teoría de los números, volumen I: divisibilidad y primalidad (segunda edición reimpresa), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), "Pajares matemáticos: otra mirada a los números de Repunit", The College Mathematics Journal , 19 (3): 240–246, doi :10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar, KR; Kaprekar, DR (1939), "Teoría de los números de Demlo" (PDF) , Revista de la Universidad de Bombay , VIII (3): 3–9
• Kaprekar, DR (1938a), "Sobre los maravillosos números de Demlo", The Mathematics Student , 6 : 68
• Kaprekar, DR (1938b), "Números de Demlo", J. Phys. Ciencia. Univ. Bombay , VII (3)
• Kaprekar, DR (1948), Números de Demlo , Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (2 de febrero de 1996), El nuevo libro de registros de números primos, informática y medicina (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Repunits y repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Repunit". MundoMatemático .
• Las tablas principales del proyecto Cunningham.
• Repunit en The Prime Pages por Chris Caldwell.
• Repunits y sus factores primos en World!Of Numbers.
• Prime repunits generalizados de al menos 1000 dígitos decimales por Andy Steward
• Proyecto Repunit Primes Página de repunit primes de Giovanni Di Maria.
• El primo impar más pequeño p tal que (b^p-1)/(b-1) y (b^p+1)/(b+1) es primo para las bases 2<=b<=1024
• Factorización de números de repunit.
• Primos de repunit generalizados en base -50 a 50