decimal periódico

Representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos

Un decimal periódico o decimal recurrente es una representación decimal de un número cuyos dígitos eventualmente son periódicos (es decir, después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos se repite para siempre); si esta secuencia consta solo de ceros (es decir, si solo hay un número finito de dígitos distintos de cero), se dice que el decimal es terminante y no se considera repetido. Se puede demostrar que un número es racional si y sólo si su representación decimal es periódica o terminada. Por ejemplo, la representación decimal de ⁠1/3⁠ se vuelve periódico justo después del punto decimal , repitiendo el dígito "3" para siempre, es decir, 0,333.... Un ejemplo más complicado es ⁠3227/555⁠ , cuyo decimal se vuelve periódico en el segundo dígito que sigue al punto decimal y luego repite la secuencia "144" para siempre, es decir, 5.8144144144.... Otro ejemplo de esto es ⁠593/53⁠ , que se vuelve periódico después del punto decimal, repitiendo el patrón de 13 dígitos "1886792452830" para siempre, es decir, 11.18867924528301886792452830....

La secuencia de dígitos infinitamente repetida se llama repetición o reptend . Si la repetición es un cero, esta representación decimal se llama decimal terminal en lugar de decimal periódico, ya que los ceros se pueden omitir y el decimal termina antes de estos ceros. ^[1] Cada representación decimal terminal se puede escribir como una fracción decimal , una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (por ejemplo, 1,585 = ⁠1585/1000⁠ ); también se puede escribir como una proporción de la forma ⁠k/2n · ^5m​⁠ (por ejemplo, 1,585 = ⁠317/2 ³ ·5 ²⁠ ). Sin embargo, cada número con una representación decimal terminal también tiene trivialmente una segunda representación alternativa como un decimal periódico cuya repetición es el dígito 9 . Esto se obtiene disminuyendo en uno el dígito final distinto de cero (el más a la derecha) y añadiendo una repetición de 9. Dos ejemplos de esto son 1,000... = 0,999... y 1,585000... = 1,584999... . (Este tipo de decimal periódico se puede obtener mediante división larga si se utiliza una forma modificada del algoritmo de división habitual . ^[2] )

Cualquier número que no pueda expresarse como una razón de dos números enteros se dice que es irracional . Su representación decimal no termina ni se repite infinitamente, sino que se extiende para siempre sin repetición (ver § Todo número racional es un decimal terminador o periódico). Ejemplos de tales números irracionales son √ 2 y π . ^[3]

Fondo

Notación

Existen varias convenciones de notación para representar decimales periódicos. Ninguno de ellos es aceptado universalmente.

• Vinculum : En Estados Unidos , Canadá , India , Francia , Alemania , Italia , Suiza , República Checa , Eslovaquia , Eslovenia , Chile y Turquía , la convención es trazar una línea horizontal (un vinculum) sobre el repetido. ^{[ cita necesaria ]}
• Puntos : En algunos países islámicos, como Malasia , Marruecos , Pakistán , Túnez , Irán , Argelia y Egipto , así como en el Reino Unido , Nueva Zelanda , Australia , Sudáfrica , Japón , Tailandia , India, Corea del Sur , Singapur y En la República Popular China , la convención es colocar puntos encima de los números más externos del repetido. ^{[ cita necesaria ]}
• Paréntesis : En algunas partes de Europa , incl. En Austria , Dinamarca , Finlandia , Países Bajos , Noruega , Polonia , Rusia y Ucrania , además de Vietnam e Israel , la convención consiste en encerrar la repetición entre paréntesis. Esto puede causar confusión con la notación de incertidumbre estándar . ^{[ cita necesaria ]}
• Arco : En España y algunos países latinoamericanos , como Argentina , Brasil y México , la notación de arco sobre el repetido también se utiliza como alternativa a la notación de vinculum y de puntos. ^{[ cita necesaria ]}
• Elipsis : Informalmente, los decimales periódicos suelen representarse mediante puntos suspensivos (tres puntos, 0,333...), especialmente cuando las convenciones de notación anteriores se enseñan por primera vez en la escuela. Esta notación introduce incertidumbre en cuanto a qué dígitos deben repetirse e incluso si se produce alguna repetición, ya que tales elipses también se emplean para números irracionales ; π , por ejemplo, se puede representar como 3,14159.... ^{[ cita necesaria ]}

En inglés, hay varias formas de leer en voz alta los decimales periódicos. Por ejemplo, 1.2 34 puede leerse "un punto dos repitiéndose tres cuatro", "un punto dos repetido tres cuatro", "un punto dos repitiéndose tres cuatro", "un punto dos repitiendo tres cuatro" o "un punto dos hasta el infinito". tres cuatro". Asimismo, 11. 1886792452830 podrá leerse “once punto repetido un doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero”, “once punto repetido un doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero”, “once punto recurrente uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero" "once puntos repetidos uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero" o "once puntos hasta el infinito uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero".

Secuencia de expansión y recurrencia decimal

Para convertir un número racional representado como fracción a forma decimal, se puede utilizar una división larga . Por ejemplo, considere el número racional ⁠5/74⁠ :

  0,0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

etc. Observa que en cada paso tenemos un resto; los restos sucesivos que se muestran arriba son 56, 42, 50. Cuando llegamos a 50 como resto y bajamos el "0", nos encontramos dividiendo 500 entre 74, que es el mismo problema con el que comenzamos. Por tanto, el decimal se repite: 0,0675 675 675 ....

Para cualquier fracción entera ⁠A/B⁠ , el resto en el paso k, para cualquier entero positivo k , es A × 10 ^k (módulo B ).

Todo número racional es decimal terminal o periódico.

Para cualquier divisor dado, sólo pueden aparecer un número finito de restos diferentes. En el ejemplo anterior, los 74 restos posibles son 0, 1, 2,..., 73. Si en algún punto de la división el resto es 0, la expansión termina en ese punto. Entonces la duración de la repetición, también llamada "período", se define como 0.

Si 0 nunca aparece como resto, entonces el proceso de división continúa para siempre y, eventualmente, debe aparecer un resto que ya ocurrió antes. El siguiente paso en la división producirá el mismo dígito nuevo en el cociente y el mismo resto nuevo, ya que la vez anterior el resto era el mismo. Por tanto, la siguiente división repetirá los mismos resultados. La secuencia repetitiva de dígitos se llama "repetir" y tiene una longitud determinada mayor que 0, también llamada "punto". ^[4]

En base 10, una fracción tiene un decimal periódico si y solo si, en términos más bajos , su denominador tiene factores primos además de 2 o 5, o en otras palabras, no se puede expresar como 2 ^m  5 ⁿ , donde m y n no son números enteros negativos.

Todo decimal periódico o terminal es un número racional.

Cada número decimal periódico satisface una ecuación lineal con coeficientes enteros y su única solución es un número racional. En el ejemplo anterior, α = 5.8144144144... satisface la ecuación

El proceso de cómo encontrar estos coeficientes enteros se describe a continuación.

prueba formal

Dado un decimal periódico donde , y son grupos de dígitos, sea , el número de dígitos de . Multiplicar por separa los grupos repetidos y terminados: ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

Si los decimales terminan en ( ), la prueba está completa. ^[5] Para dígitos , sea donde sea un grupo terminal de dígitos. Entonces, ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

donde denota el i- ésimo dígito , y ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

Desde , ^[6] ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

Como es la suma de un número entero ( ) y un número racional ( ), también es racional. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y-c}$ ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$ ${\displaystyle x}$

tabla de valores

Por tanto, fracción es la fracción unitaria ⁠1/norte⁠ y ℓ ₁₀ es la longitud de la repetición (decimal).

Las longitudes ℓ ₁₀ ( n ) del decimal repiten de ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0. .. (secuencia A051626 en la OEIS ).

A modo de comparación, las longitudes ℓ ₂ ( n ) de los repetidos binarios de las fracciones ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (=A007733[ n ], si n no es una potencia de 2, entonces =0).

El decimal repite de ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 34782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (secuencia A036275 en el OEIS ).

Las longitudes de repetición decimal de ⁠1/pag⁠ , p = 2, 3, 5, ... ( n ésimo primo), son:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (secuencia A002371 en el OEIS ).

Los primos menores p para los cuales ⁠1/pag⁠ tiene longitud de repetición decimal n , n = 1, 2, 3, ..., son:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 321, 83, 127, 173... (secuencia A007138 en la OEIS ).

Los primos menores p para los cuales ⁠k/pag⁠ tiene n ciclos diferentes ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., son:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 01, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (secuencia A054471 en el OEIS ).

Fracciones con denominadores primos

Una fracción en términos mínimos con un denominador primo distinto de 2 o 5 (es decir, coprimo a 10) siempre produce un decimal periódico. La duración del repetitivo (período del segmento decimal periódico) de ⁠1/pag⁠ es igual al orden de 10 módulo p . Si 10 es un módulo raíz primitivo p , entonces la longitud repetida es igual a p  − 1; si no, entonces la longitud repetida es un factor de p  − 1. Este resultado se puede deducir del pequeño teorema de Fermat , que establece que 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

La raíz digital en base 10 del repetido del recíproco de cualquier número primo mayor que 5 es 9. ^[8]

Si la duración repetida de ⁠1/pag⁠ para p primo es igual a p  − 1 entonces el repetido, expresado como un número entero, se llama número cíclico .

Números cíclicos

Ejemplos de fracciones pertenecientes a este grupo son:

• ⁠1/7⁠ = 0, 142857 , 6 dígitos repetidos
• ⁠1/17⁠ = 0. 0588235294117647 , 16 dígitos repetidos
• ⁠1/19⁠ = 0. 052631578947368421 , 18 dígitos repetidos
• ⁠1/23⁠ = 0. 0434782608695652173913 , 22 dígitos repetidos
• ⁠1/29⁠ = 0. 0344827586206896551724137931 , 28 dígitos repetidos
• ⁠1/47⁠ = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 dígitos repetidos
• ⁠1/59⁠ = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 dígitos repetidos
• ⁠1/61⁠ = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 dígitos repetidos
• ⁠1/97⁠ = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 dígitos repetidos

La lista puede continuar para incluir las fracciones ⁠1/109⁠ , ⁠1/113⁠ , ⁠1/131⁠ , ⁠1/149⁠ , ⁠1/167⁠ , ⁠1/179⁠ , ⁠1/181⁠ , ⁠1/193⁠ , ⁠1/223⁠ , ⁠1/229⁠ , etc. (secuencia A001913 en la OEIS ).

Todo múltiplo propio de un número cíclico (es decir, un múltiplo que tiene el mismo número de dígitos) es una rotación:

• ⁠1/7⁠ = 1 × 0, 142857 = 0, 142857
• ⁠2/7⁠ = 2 × 0, 142857 = 0, 285714
• ⁠3/7⁠ = 3 × 0, 142857 = 0, 428571
• ⁠4/7⁠ = 4 × 0, 142857 = 0, 571428
• ⁠5/7⁠ = 5 × 0, 142857 = 0, 714285
• ⁠6/7⁠ = 6 × 0, 142857 = 0, 857142

La razón del comportamiento cíclico se desprende de un ejercicio aritmético de división larga de ⁠1/7⁠ : los restos secuenciales son la secuencia cíclica {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Véase también el artículo 142.857 para más propiedades de este número cíclico.

Por lo tanto, una fracción que es cíclica tiene un decimal recurrente de longitud par que se divide en dos secuencias en forma de complemento a nueve . Por ejemplo ⁠1/7⁠ comienza con '142' y le sigue '857' mientras ⁠6/7⁠ (por rotación) comienza con '857' seguido de su complemento de nueves '142'.

La rotación de la repetición de un número cíclico siempre ocurre de tal manera que cada repetición sucesiva sea un número mayor que el anterior. En la sucesión anterior, por ejemplo, vemos que 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142... Esto, para fracciones cíclicas con repeticiones largas, nos permite predecir fácilmente cuál será el resultado de multiplicar la fracción por cualquier número natural n, siempre que se conozca el repetido.

Un primo propio es un primo p que termina en el dígito 1 en base 10 y cuyo recíproco en base 10 tiene una repetición con longitud p  − 1. En tales primos, cada dígito 0, 1,..., 9 aparece en la repetición secuencia el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos (es decir, ⁠pag  -1/10⁠ veces). Son: ^{[9] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (secuencia A073761 en la OEIS ).

Un primo es un primo propio si y sólo si es un primo reptendido completo y congruente con 1 mod 10.

Si un primo p es a la vez primo reptendido completo y primo seguro , entonces ⁠1/pag⁠ producirá una secuencia de p  − 1 dígitos pseudoaleatorios . Esos primos son

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (secuencia A000353 en la OEIS ).

Otros recíprocos de números primos

Algunos recíprocos de números primos que no generan números cíclicos son:

• ⁠1/3⁠ = 0.3 , que tiene un período (duración de repetición) de 1.
• ⁠1/11⁠ = 0. 09 , que tiene un periodo de dos.
• ⁠1/13⁠ = 0, 076923 , que tiene un periodo de seis.
• ⁠1/31⁠ = 0. 032258064516129 , que tiene un período de 15.
• ⁠1/37⁠ = 0. 027 , que tiene un período de tres.
• ⁠1/41⁠ = 0, 02439 , que tiene un periodo de cinco.
• ⁠1/43⁠ = 0. 023255813953488372093 , que tiene un período de 21.
• ⁠1/53⁠ = 0. 0188679245283 , que tiene un período de 13.
• ⁠1/67⁠ = 0. 014925373134328358208955223880597 , que tiene un período de 33.
• ⁠1/71⁠ = 0. 01408450704225352112676058338028169 , que tiene un período de 35.
• ⁠1/73⁠ = 0. 01369863 , que tiene un período de ocho.
• ⁠1/79⁠ = 0. 0126582278481 , que tiene un período de 13.
• ⁠1/83⁠ = 0. 01204819277108433734939759036144578313253 , que tiene un periodo de 41.
• ⁠1/89⁠ = 0. 01123595505617977528089887640449438202247191 , que tiene un período de 44.

(secuencia A006559 en la OEIS )

La razón es que 3 es divisor de 9, 11 es divisor de 99, 41 es divisor de 99999, etc. Para encontrar el período de ⁠1/pag⁠ , podemos comprobar si el primo p divide a algún número 999...999 en el que el número de dígitos divide a p  − 1. Como el período nunca es mayor que p  − 1, podemos obtenerlo calculando ⁠10 ^{pags −1} − 1/pag⁠ . Por ejemplo, para 11 obtenemos

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

y luego mediante inspección encuentre el repetido 09 y el período de 2.

Esos recíprocos de números primos pueden asociarse con varias secuencias de decimales periódicos. Por ejemplo, los múltiplos de ⁠1/13⁠ se puede dividir en dos conjuntos, con diferentes repeticiones. El primer conjunto es:

• ⁠1/13⁠ = 0,076923...
• ⁠10/13⁠ = 0,769230...
• ⁠9/13⁠ = 0,692307...
• ⁠12/13⁠ = 0,923076...
• ⁠3/13⁠ = 0,230769...
• ⁠4/13⁠ = 0,307692...,

donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 076923. El segundo conjunto es:

• ⁠2/13⁠ = 0,153846...
• ⁠7/13⁠ = 0,538461...
• ⁠5/13⁠ = 0,384615...
• ⁠11/13⁠ = 0,846153...
• ⁠6/13⁠ = 0,461538...
• ⁠8/13⁠ = 0,615384...,

donde la repetición de cada fracción es una reordenación cíclica de 153846.

En general, el conjunto de múltiplos propios de recíprocos de un primo p consta de n subconjuntos, cada uno con longitud repetida  k , donde nk  =  p  − 1.

regla del paciente

Para un número entero arbitrario n , la longitud L ( n ) del repetido decimal de ⁠1/norte⁠ divide φ ( n ), donde φ es la función totiente . La longitud es igual a φ ( n ) si y sólo si 10 es una raíz primitiva módulo n . ^[10]

En particular, se deduce que L ( p ) = p − 1 si y sólo si p es un primo y 10 es una raíz primitiva módulo p . Entonces, las expansiones decimales de ⁠norte/pag⁠ para n = 1, 2, ..., p  − 1, todos tienen período p  − 1 y difieren sólo por una permutación cíclica. Estos números p se llaman primos repetidos completos .

Recíprocos de números enteros compuestos coprimos a 10

Si p es un primo distinto de 2 o 5, la representación decimal de la fracción ⁠1/página ²⁠ repite:

⁠1/49⁠ = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

El período (longitud repetida) L (49) debe ser un factor de λ (49) = 42, donde λ ( n ) se conoce como función de Carmichael . Esto se desprende del teorema de Carmichael que establece que si n es un entero positivo entonces λ ( n ) es el entero más pequeño m tal que

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

para cada número entero a que es coprimo con n .

El período de ⁠1/página ²⁠ suele ser pT _p , donde T _p es el período de ⁠1/pag⁠ . Hay tres primos conocidos para los cuales esto no es cierto, y para ellos el período de ⁠1/página ²⁠ es el mismo que el período de ⁠1/pag⁠ porque p ² divide 10 ^{p −1} −1. Estos tres números primos son 3, 487 y 56598313 (secuencia A045616 en OEIS ). ^[11]

Del mismo modo, el período de ⁠1/paquete^​⁠ suele ser p ^{k –1} T _p

Si p y q son primos distintos de 2 o 5, la representación decimal de la fracción ⁠1/pq⁠ repite. Un ejemplo es ⁠1/119⁠ :

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = MCM ( λ (7), λ (17)) = MCM(6, 16) = 48,

donde MCM denota el mínimo común múltiplo .

El período T de ⁠1/pq⁠ es un factor de λ ( pq ) y resulta ser 48 en este caso:

⁠1/119⁠ = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

El período T de ⁠1/pq⁠ es MCM( T _p ,  T _q ), donde T _p es el período de ⁠1/pag⁠ y T _q es el periodo de ⁠1/q⁠ .

Si p , q , r , etc. son primos distintos de 2 o 5, y k , ℓ , m , etc. son números enteros positivos, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

es un decimal periódico con un periodo de

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

donde T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... son respectivamente el período de los decimales periódicos ⁠1/paquete^​⁠ , ⁠1/qℓ^​⁠ , ⁠1/r ^m⁠ ,... como se define anteriormente.

Recíprocos de números enteros no coprimos a 10

Un número entero que no es coprimo con 10 pero que tiene un factor primo distinto de 2 o 5 tiene un recíproco que eventualmente es periódico, pero con una secuencia de dígitos no repetitivos que preceden a la parte repetida. El recíproco se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

donde a y b no son ambos cero.

Esta fracción también se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a > b , o como

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si b > a , o como

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a = b .

El decimal tiene:

• Un transitorio inicial de dígitos máximos ( a ,  b ) después del punto decimal. Algunos o todos los dígitos del transitorio pueden ser ceros.
• Una repetición posterior que es la misma que la de la fracción ⁠1/p ^k q ^ℓ ⋯⁠ .

Por ejemplo ⁠1/28⁠ = 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0 y los demás factores p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• hay 2 dígitos iniciales que no se repiten, 03; y
• hay 6 dígitos repetidos, 571428, la misma cantidad que ⁠1/7⁠ tiene.

Convertir decimales periódicos a fracciones

Dado un decimal periódico, es posible calcular la fracción que lo produce. Por ejemplo:

Otro ejemplo:

Un atajo

El procedimiento siguiente se puede aplicar en particular si el repetido tiene n dígitos, todos los cuales son 0 excepto el final que es 1. Por ejemplo, para n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Entonces, este decimal periódico en particular corresponde a la fracción ⁠1/10 ^norte  - 1⁠ , donde el denominador es el número escrito como n 9s. Sabiendo precisamente eso, un decimal periódico general se puede expresar como una fracción sin tener que resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

Es posible obtener una fórmula general que exprese un decimal periódico con un período de n dígitos (longitud de repetición), comenzando justo después del punto decimal, como una fracción:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Más explícitamente, se obtienen los siguientes casos:

Si el decimal periódico está entre 0 y 1, y el bloque periódico tiene n dígitos y aparece primero justo después del punto decimal, entonces la fracción (no necesariamente reducida) será el número entero representado por el bloque de n dígitos dividido por uno representado por n 9s. Por ejemplo,

• 0.444444... = ⁠4/9⁠ dado que el bloque repetido es 4 (un bloque de 1 dígito),
• 0,565656... = ⁠56/99⁠ dado que el bloque repetido es 56 (un bloque de 2 dígitos),
• 0.012012... = ⁠12/999⁠ ya que el bloque repetido es 012 (un bloque de 3 dígitos); esto se reduce aún más a ⁠4/333⁠ .
• 0,999999... = ⁠9/9⁠ = 1, ya que el bloque repetido es 9 (también un bloque de 1 dígito)

Si el decimal periódico es como el anterior, excepto que hay k dígitos (extra) 0 entre el punto decimal y el bloque periódico de n dígitos, entonces uno puede simplemente sumar k dígitos 0 después de los n dígitos 9 del denominador (y, como antes, la fracción podrá simplificarse posteriormente). Por ejemplo,

• 0.000444... = ⁠4/9000⁠ dado que el bloque repetido es 4 y este bloque está precedido por 3 ceros,
• 0.005656... = ⁠56/9900⁠ dado que el bloque repetido es 56 y está precedido por 2 ceros,
• 0.00012012... = ⁠12/99900⁠ = ⁠1/8325⁠ ya que el bloque repetido es 012 y está precedido por 2 ceros.

Cualquier decimal periódico que no tenga la forma descrita anteriormente se puede escribir como una suma de un decimal terminal y un decimal periódico de uno de los dos tipos anteriores (en realidad, el primer tipo es suficiente, pero eso podría requerir que el decimal terminal sea negativo). Por ejemplo,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... = ⁠123/100⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1107/900⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1111/900⁠
  • o alternativamente 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = ⁠79/100⁠ + ⁠4/9⁠ = ⁠711/900⁠ + ⁠400/900⁠ = ⁠1111/900⁠
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = ⁠3/10⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠2997/9990⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠
  • o alternativamente 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789... = − ⁠6/10⁠ + 978/999 = − ⁠5994/9990⁠ + ⁠9780/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠

Un método aún más rápido es ignorar completamente el punto decimal y hacer lo siguiente

• 1.23444... = ⁠1234-123/900⁠ = ⁠1111/900⁠ (el denominador tiene un 9 y dos 0 porque un dígito se repite y hay dos dígitos que no se repiten después del punto decimal)
• 0.3789789... = ⁠3789-3/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ (el denominador tiene tres 9 y un 0 porque tres dígitos se repiten y hay un dígito que no se repite después del punto decimal)

De ello se deduce que cualquier decimal periódico con período n y k dígitos después del punto decimal que no pertenezcan a la parte periódica, puede escribirse como una fracción (no necesariamente reducida) cuyo denominador es (10 ⁿ  − 1)10 ^k .

Por el contrario, el período del decimal periódico de una fracción ⁠C/d⁠ será (como máximo) el número más pequeño n tal que 10 ⁿ  − 1 es divisible por d .

Por ejemplo, la fracción ⁠2/7⁠ tiene d = 7, y la k más pequeña que hace que 10 ^k  − 1 sea divisible por 7 es k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. El período de la fracción ⁠2/7⁠ es por tanto 6.

En forma comprimida

La siguiente imagen sugiere un tipo de compresión del atajo anterior. De esta manera representa los dígitos de la parte entera del número decimal (a la izquierda del punto decimal), conforma la cadena de dígitos del preperíodo y su longitud, y siendo la cadena de dígitos repetidos (el período) con longitud que es distinto de cero. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$

regla de formación

En la fracción generada, el dígito se repetirá veces y el dígito se repetirá veces. ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

Tenga en cuenta que en ausencia de una parte entera en el decimal, estará representado por cero, que al estar a la izquierda de los demás dígitos, no afectará el resultado final, y podrá omitirse en el cálculo de la función generadora. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

El símbolo en los ejemplos anteriores denota la ausencia de dígitos de la parte en el decimal y, por lo tanto , la ausencia correspondiente en la fracción generada. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

decimales repetidos como series infinitas

Un decimal periódico también se puede expresar como una serie infinita . Es decir, un decimal periódico puede considerarse como la suma de un número infinito de números racionales. Para tomar el ejemplo más simple,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

La serie anterior es una serie geométrica con el primer término como ⁠1/10⁠ y el factor común ⁠1/10⁠ . Debido a que el valor absoluto del factor común es menor que 1, podemos decir que la serie geométrica converge y encontrar el valor exacto en forma de fracción usando la siguiente fórmula donde a es el primer término de la serie y r es el factor común.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Similarmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Multiplicación y permutación cíclica.

El comportamiento cíclico de los decimales periódicos en la multiplicación también conduce a la construcción de números enteros que se permutan cíclicamente cuando se multiplican por ciertos números. Por ejemplo, 102564 × 4 = 410256 . 102564 es la repetición de ⁠4/39⁠ y 410256 la repetición de ⁠dieciséis/39⁠ .

Otras propiedades de las longitudes repetidas

^{Mitchell [12]} y Dickson dan varias propiedades de las longitudes repetidas (períodos) . ^[13]

• El período de ⁠1/k⁠ para el número entero k es siempre ≤  k  − 1.
• Si p es primo, el periodo de ⁠1/pag⁠ se divide uniformemente en p  − 1.
• Si k es compuesto, el período de ⁠1/k⁠ es estrictamente menor que k  − 1.
• El período de ⁠C/k⁠ , para c coprimo a k , es igual al período de ⁠1/k⁠ .
• Si k  = 2 ^a ·5 ^b n donde n  > 1 y n no es divisible por 2 o 5, entonces la longitud del transitorio de ⁠1/k⁠ es max( a ,  b ), y el período es igual a r , donde r es el orden multiplicativo de 10 mod n, es decir, el entero más pequeño tal que 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
• Si p , p′ , p″ ,... son primos distintos, entonces el período de ⁠1/p p′ p″ ⋯⁠ es igual al mínimo común múltiplo de los períodos de ⁠1/pag⁠ , ⁠1/pag'⁠ , ⁠1/pag"⁠ ,....
• Si k y k′ no tienen factores primos comunes distintos de 2 o 5, entonces el período de ⁠1/kk′⁠ es igual al mínimo común múltiplo de los períodos de ⁠1/k⁠ y ⁠1/k'⁠ .
• Para p primo , si

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

por algunos m , pero

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

entonces para c  ≥ 0 tenemos

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Si p es un primo propio que termina en 1, es decir, si la repetición de ⁠1/pag⁠ es un número cíclico de longitud p  − 1 y p = 10 h  + 1 para algún h , entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición exactamente h =  ⁠pag  -1/10⁠ veces.

Para conocer otras propiedades de los repetidos, consulte también. ^[14]

Ampliación a otras bases

Varias características de los decimales periódicos se extienden a la representación de números en todas las demás bases enteras, no solo en base 10:

• Todo número real se puede representar como una parte entera seguida de un punto de base (la generalización de un punto decimal a sistemas no decimales) seguido de un número finito o infinito de dígitos .
• Si la base es un número entero, una secuencia terminal obviamente representa un número racional.
• Un número racional tiene una secuencia terminal si todos los factores primos del denominador de la forma fraccionaria totalmente reducida son también factores de la base. Estos números forman un conjunto denso en Q y R.
• Si el sistema de numeración posicional es estándar, es decir, tiene base

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

combinado con un conjunto consecutivo de dígitos

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

con r  := | segundo | , d _r  := d ₁ + r − 1 y 0 ∈ D , entonces una secuencia terminal es obviamente equivalente a la misma secuencia con una parte repetida no terminal que consiste en el dígito 0. Si la base es positiva, entonces existe un orden homomorfismo del orden lexicográfico de las cadenas infinitas del lado derecho sobre el alfabeto D en algún intervalo cerrado de los reales, que mapea las cadenas 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _b y 0. A ₁ A ₂ .. .( A _n +1) d ₁ con A _i ∈ D y An _≠ d b al mismo número real – _y no hay otras imágenes duplicadas. En el sistema decimal, por ejemplo, hay 0, 9  = 1, 0  = 1; en el sistema ternario equilibrado hay 0. 1  = 1. T  =  ⁠1/2⁠ .

• Un número racional tiene una secuencia que se repite indefinidamente de longitud finita l , si el denominador de la fracción reducida contiene un factor primo que no es factor de la base. Si q es el factor máximo del denominador reducido que es coprimo con la base, l es el exponente más pequeño tal que q divide b ^ℓ − 1 . Es el orden multiplicativo ord _q ( b ) de la clase de residuo b mod q que es un divisor de la función de Carmichael λ ( q ) que a su vez es menor que q . La secuencia repetida está precedida por un transitorio de longitud finita si la fracción reducida también comparte un factor primo con la base. Una secuencia repetitiva

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

representa la fracción

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• Un número irracional tiene una representación de longitud infinita que no es, desde ningún punto, una secuencia que se repite indefinidamente de longitud finita.

Por ejemplo, en duodecimal , ⁠1/2⁠ = 0,6, ⁠1/3⁠ = 0,4, ⁠1/4⁠ = 0,3 y ⁠1/6⁠ = 0,2 todos terminan; ⁠1/5⁠ = 0,2497 repeticiones con una duración de período 4, en contraste con la expansión decimal equivalente de 0,2; ⁠1/7⁠ = 0. 186A35 tiene el período 6 en duodecimal, al igual que en decimal.

Si b es una base entera y k es un número entero, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

Por ejemplo 1/7 en duodecimal: $${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

que es 0.186A35 _base12 . 10 _base12 es 12 _base10 , 10 ² _base12 es 144 _base10 , 21 _base12 es 25 _base10 , A5 _base12 es 125 _base10 .

Algoritmo para bases positivas.

Para un 0 racional < ⁠pag/q⁠ < 1 (y base b ∈ N _>1 ) existe el siguiente algoritmo que produce el repetido junto con su longitud:

función b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q dígitos = "0123..." ; // hasta el dígito con valor b–1 comenzar s = "" ; // la cadena de dígitos pos = 0 ; // todos los lugares están justo hasta el punto de base mientras no estén definidos ( ocurre [ p ]) ocurre [ p ] = pos ; // la posición del lugar con resto p bp = b * p ; z = piso ( pb / q ) ; // índice z del dígito dentro de: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q si p = 0 entonces L = 0 ; si no z = 0 entonces s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) finaliza si regresa ( s ) ; terminar si s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) ; // agrega el carácter del dígito pos += 1 ; terminar mientras L = pos - ocurre [ p ] ; // la longitud del repetido (siendo < q) // marque los dígitos del repetido mediante un vínculo: para i desde ocurre [ p ] hasta pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , yo , 1 )) ; final para retorno ( s ) ; fin                                                                                                      función

La primera línea resaltada calcula el dígito z .

La línea siguiente calcula el nuevo resto p′ del módulo de división del denominador q . Como consecuencia de la función del suelo floor tenemos

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

de este modo

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

y

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Debido a que todos estos restos p son enteros no negativos menores que q , sólo puede haber un número finito de ellos, con la consecuencia de que deben repetirse en el whileciclo. Esta recurrencia es detectada por la matriz asociativa occurs . El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es el único no constante. La longitud L del repetido es igual al número de restos (consulte también la sección Todo número racional es un decimal terminal o periódico).

Aplicaciones a la criptografía

Los decimales repetidos (también llamados secuencias decimales) han encontrado aplicaciones de codificación criptográfica y de corrección de errores. ^[15] En estas aplicaciones generalmente se utilizan decimales repetidos en base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para ⁠1/pag⁠ (cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dado por: ^[16]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

Estas secuencias del período p  − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para un desplazamiento de ⁠pag  -1/2⁠ . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas intransigentes . ^[17]

Ver también

• Representación decimal
• Reptend completo principal
• teorema de midy
• número parásito
• Cero final
• Prime único
• 0,999... , un decimal periódico igual a uno
• Principio de casillero

Notas

1. Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de ideas y métodos, 2ª ed. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1996: pág. 67.
2. Beswick, Kim (2004), "¿Por qué 0,999... = 1?: Una pregunta perenne y sentido numérico", Profesor australiano de matemáticas , 60 (4): 7–9
3. "La prueba original de Lambert de que $\pi$ es irracional". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 19 de diciembre de 2023 .
4. Para una base b y un divisor n , en términos de teoría de grupos, esta longitud divide

   ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}}$

   (con aritmética modular ≡ 1 mod n ) que divide la función Carmichael

   ${\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}}$

   que nuevamente divide la función totiente de Euler φ ( n ).
5. Vuorinen, Aapeli. "Los números racionales tienen expansiones decimales periódicas". Aapeli Vuorinen . Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
6. "Los conjuntos de decimales periódicos". www.sjsu.edu . Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2023 . Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
7. RoRi (1 de marzo de 2016). "Demuestra que todo decimal periódico representa un número racional". Robot tropezando . Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2023 . Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
8. Gray, Alexander J. (marzo de 2000). "Raíces digitales y recíprocos de números primos". Gaceta Matemática . 84 (499): 86. doi : 10.2307/3621484. JSTOR  3621484. S2CID  125834304. Para números primos mayores que 5, todas las raíces digitales parecen tener el mismo valor, 9. Podemos confirmar esto si...
9. Dickson, LE, Historia de la teoría de los números , volumen 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
10. William E. curar. Algunas propiedades de las repeticiones. Anales de Matemáticas, vol. 3, núm. 4 (agosto de 1887), págs. 97-103
11. Albert H. Beiler, Recreaciones en la teoría de números , p. 79
12. Mitchell, Douglas W., "Un generador de números aleatorios no lineal con una duración de ciclo larga conocida", Cryptologia 17, enero de 1993, págs.
13. Dickson, Leonard E. , Historia de la teoría de números , vol. Yo , Chelsea Publ. Co., 1952 (orig. 1918), págs. 164-173.
14. Armstrong, Nueva Jersey y Armstrong, RJ, "Algunas propiedades de los repetidos", Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, págs.
15. Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Sobre secuencias decimales". Transacciones IEEE sobre teoría de la información , vol. IT-27, págs. 647–652, septiembre de 1981.
16. Kak, Subhash, "Cifrado y corrección de errores mediante secuencias d". Transacciones IEEE en computadoras , vol. C-34, págs. 803–809, 1985.
17. Bellamy, J. "Aleatoriedad de secuencias D mediante pruebas intransigentes". 2013. arXiv : 1312.3618

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Decimal repetido". MundoMatemático .