En teoría de números , un primo repetido completo , primo repetido completo , primo propio [1] : 166 o primo largo en base b es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat
(donde p no divide b ) da un número cíclico . Por lo tanto, la expansión en base b de repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente, al igual que con la rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p − 1. El número cíclico correspondiente al primo p poseerá p − 1 dígitos si y sólo si p es un primo reptido completo. Es decir, el orden multiplicativo ord p b = p − 1, que equivale a que b sea una raíz primitiva módulo p .
El término "primo largo" fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su Libro de los Números . De manera confusa, el OEIS de Sloane se refiere a estos números primos como "números cíclicos".
Se puede asumir la base 10 si no se especifica ninguna base, en cuyo caso la expansión del número se llama decimal periódico . En base 10, si un número primo completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en el número de veces el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos. [1] : 166 (Para tales primos en base 10, ver OEIS : A073761 .) De hecho, en base b , si un primo reptido completo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b − 1 aparece en la repetición el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos, pero no existe tal número primo cuando b = 12, ya que cada prima repetida completa en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal primo cuando b es congruente con 0 o 1 módulo 4.
Los valores de p para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en decimal son:
Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857 ; por tanto, 7 es un primo repetido completo.
El caso b = 10, p = 17 da el número cíclico 0588235294117647 (16 dígitos); por tanto, 17 es un primo repetido completo.
El caso b = 10, p = 19 da el número cíclico 052631578947368421 (18 dígitos); por tanto, 19 es un primo repetido completo.
No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, p = 13 da 076923 076923, y p = 31 da 032258064516129 032258064516129. Casos fallidos como estos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios) en el transcurso de p − 1 dígitos.
El patrón conocido de esta secuencia proviene de la teoría algebraica de números , específicamente, esta secuencia es el conjunto de primos p tal que 10 es una raíz primitiva módulo p . La conjetura de Artin sobre las raíces primitivas es que esta secuencia contiene el 37,395...% de los números primos.
La aritmética modular avanzada puede mostrar [ ¿según quién? ] que cualquier primo de las siguientes formas:
nunca puede ser un primo repetido completo en base 10. Los primeros primos de estas formas, con sus períodos, son:
Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los números primos de la forma 40 k + n , donde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} son números primos completos. Para algunas secuencias, la preponderancia de los primos reptidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 285 de los 295 primos de la forma 120 k + 23 por debajo de 100000 son primos reptidos completos, siendo 20903 el primero que no está reptido completo.
En base 2 , los primos reptendidos completos son: (menos de 1000)
Para estos primos, 2 es una raíz primitiva módulo p , por lo que 2 n módulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p − 1.
Estas secuencias de período p − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para un desplazamiento de . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas intransigentes . [2]
Todos ellos son de la forma 8 k + 3 u 8 k + 5, porque si p = 8 k + 1 u 8 k + 7, entonces 2 es un residuo cuadrático módulo p , entonces p divide y el período de en base 2 debe dividirse y no puede ser p − 1, por lo que no son primos reptendidos completos en base 2.
Además, todos los primos seguros congruentes con 3 módulo 8 son primos reptendidos completos en base 2. Por ejemplo, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307. , 1523, 1619, 1907, etc. (menos de 2000).
Las secuencias binarias primarias reptendidas completas (también llamadas secuencias decimales de longitud máxima) han encontrado aplicaciones de codificación criptográfica y de corrección de errores . [3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales periódicos con base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. La secuencia binaria de longitud máxima para (cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dada por: [4]
La siguiente es una lista de los períodos (en binario) de los números primos congruentes con 1 o 7 (mod 8): (menos de 1000)
Ninguno de ellos son primos binarios completos.
El período binario del n -ésimo primo es
El nivel del período binario del n -ésimo primo es
Sin embargo, los estudios muestran que tres cuartas partes de los primos de la forma 8 k + n , donde n ∈ {3, 5} son primos reptendidos completos en base 2 (por ejemplo, hay 87 primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 módulo 8 , y 67 de ellos están repantigados en base 2, es decir, un 77%). Para algunas secuencias, la preponderancia de los primos reptidos completos es mucho mayor. Por ejemplo, 1078 de los 1206 primos de la forma 24 k + 5 por debajo de 100000 son primos reptendidos completos en base 2, siendo 1013 el primero que no está reptendido completo en base 2. Además, todos los primos de la forma 4 p + 1 para p es primo son primos reptendidos completos en base 2.
Un primo reptendido de n -ésimo nivel es un primo p que tiene n ciclos diferentes en expansiones de ( k es un número entero , 1 ≤ k ≤ p −1). En base 10, los primos reptendidos de nivel n más pequeños son
En base 2, los primos reptendidos de nivel n más pequeños son
Artin también conjeturó :
Los primos reptend completos más pequeños en base n son:
