teorema de midy

Sobre expansiones decimales de fracciones con denominador primo e incluso período de repetición

En matemáticas , el teorema de Midy , que lleva el nombre del matemático francés E. Midy, ^[1] es una afirmación sobre la expansión decimal de fracciones a / p donde p es un número primo y a / p tiene una expansión decimal periódica con un período par (secuencia A028416 en la OEIS ). Si el periodo de la representación decimal de a / p es 2 n , de modo que

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}$

entonces los dígitos de la segunda mitad del período decimal periódico son el complemento a 9 de los dígitos correspondientes de su primera mitad. En otras palabras,

${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$

${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ and }}076+923=999.}$

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ and }}05882352+94117647=99999999.}$

Teorema de Midy extendido

Si k es cualquier divisor de h (donde h es el número de dígitos del período de expansión decimal de a / p (donde p es nuevamente un número primo)), entonces el teorema de Midy se puede generalizar de la siguiente manera. El teorema de Midy extendido ^[2] establece que si la porción repetida de la expansión decimal de a / p se divide en números de k dígitos, entonces su suma es múltiplo de 10 ^k  − 1.

Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$

tiene un período de 18. Dividir la porción repetida en números de 6 dígitos y sumarlos da

${\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}$

De manera similar, dividir la porción repetida en números de 3 dígitos y sumarlos da

${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}$

El teorema de Midy en otras bases.

El teorema de Midy y su extensión no dependen de propiedades especiales de la expansión decimal, pero funcionan igualmente bien en cualquier base b , siempre que reemplacemos 10 ^k  − 1 con b ^k  − 1 y realicemos la suma en base b .

Por ejemplo, en octal

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}$

En duodecimal (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}$

Prueba del teorema de Midy

Se pueden dar demostraciones breves del teorema de Midy utilizando resultados de la teoría de grupos . Sin embargo, también es posible demostrar el teorema de Midy utilizando álgebra elemental y aritmética modular :

Sea p un primo y a / p una fracción entre 0 y 1. Supongamos que la expansión de a / p en base b tiene un período de ℓ , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}$

donde N es el número entero cuya expansión en base b es la cadena a ₁ a ₂ ... a _ℓ .

Tenga en cuenta que b ^ℓ  − 1 es un múltiplo de p porque ( b ^ℓ  − 1) a / p es un número entero. Además, b ⁿ −1 no es múltiplo de p para cualquier valor de n menor que ℓ , porque de lo contrario el período de repetición de a / p en base b sería menor que ℓ .  

Ahora supongamos que ℓ  =  hk . Entonces b ^ℓ  − 1 es un múltiplo de b ^k  − 1. (Para ver esto, sustituye b ^k por x ; entonces b ^ℓ  =  x ^h y x  − 1 es un factor de x ^h  − 1. ) Digamos b ^ℓ  − 1 =  m ( b ^k  − 1), entonces  

${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$

Pero b ^ℓ  − 1 es múltiplo de p ; b ^k  − 1 no es múltiplo de p (porque k es menor que ℓ  ); y p es un número primo; entonces m debe ser múltiplo de p y 

${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$

es un número entero. En otras palabras,

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$

Ahora divida la cuerda a ₁ a ₂ ... a _ℓ en h partes iguales de longitud k , y deje que éstas representen los números enteros N ₀ ... N _{h  − 1} en base b , de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}$

Para demostrar el teorema extendido de Midy en base b debemos demostrar que la suma de los h enteros Ni es múltiplo de b ^k  − 1 _.

Dado que b ^k es congruente con 1 módulo b ^k  − 1, cualquier potencia de b ^k también será congruente con 1 módulo b ^k  − 1. Entonces

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$

lo que prueba el teorema extendido de Midy en base b .

Para probar el teorema de Midy original, tome el caso especial donde h = 2. Tenga en cuenta que N ₀ y N ₁ están representados por cadenas de k dígitos en base b , por lo que ambos satisfacen

${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$

N ₀ y N ₁ no pueden ser ambos iguales a 0 (de lo contrario, a / p = 0) y no pueden ser ambos iguales a b ^k  − 1 (de lo contrario, a / p = 1), por lo que

${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$

y dado que N ₀  +  N ₁ es múltiplo de b ^k  − 1, se deduce que

${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$

Corolario

De lo anterior,

${\displaystyle {\frac {am}{p}}}$es un numero entero

De este modo ${\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}$

Y así para ${\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}$

${\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

Para y es un número entero ${\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}$

${\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

etcétera.

Notas

1. Leavitt, William G. (junio de 1967). "Un teorema sobre decimales repetidos". El Mensual Matemático Estadounidense . 74 (6). Asociación Matemática de América: 669–673. doi :10.2307/2314251. JSTOR  2314251. SEÑOR  0211949.
2. Bassam Abdul-Baki, Teorema de Midy ampliado, 2005.

Referencias

• Rademacher, H. y Toeplitz, O. El disfrute de las matemáticas: selecciones de matemáticas para aficionados . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 158-160, 1957. SEÑOR 0081844
• E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". Colegio de Nantes, Francia: 1836.
• Ross, Kenneth A. "Decimales repetidos: una pieza de época". Matemáticas. revista 83 (2010), núm. 1, 33–45. Señor 2598778

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Midy". MundoMatemático .