Los recíprocos de los números primos han sido de interés para los matemáticos por diversas razones. No tienen una suma finita , como demostró Leonhard Euler en 1737.
Al igual que los números racionales , los recíprocos de los números primos tienen representaciones decimales periódicas . En sus últimos años, George Salmon (1819-1904) se preocupó por los períodos repetidos de estas representaciones decimales de recíprocos de números primos. [1]
Al mismo tiempo, William Shanks (1812-1882) calculó numerosos recíprocos de números primos y sus períodos repetidos, y publicó dos artículos "Sobre períodos en los recíprocos de números primos" en 1873 [2] y 1874. [3] En 1874 también publicó una tabla de números primos y los períodos de sus recíprocos, hasta 20.000 (con la ayuda y "comunicado por el reverendo George Salmon"), y señaló los errores en tablas anteriores de otros tres autores. [4]
James Whitbread Lee Glaisher dio las reglas para calcular los períodos de decimales periódicos a partir de fracciones racionales en 1878. [5] Para un primo p , el período de su recíproco divide a p − 1 . [6]
La secuencia de períodos de recurrencia de los primos recíprocos (secuencia A002371 en la OEIS ) aparece en el Handbook of Integer Sequences de 1973.
* Los números primos repetidos completos están en cursiva.
† Los números primos únicos están resaltados.
Un primo repetido completo , primo repetido completo , primo propio [7] : 166 o primo largo en base b es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat
(donde p no divide b ) da un número cíclico con p − 1 dígitos. Por lo tanto, la expansión en base b de repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente.
Un primo p (donde p ≠ 2, 5 cuando se trabaja en base 10) se llama único si no hay otro primo q tal que la duración del período de la expansión decimal de su recíproco , 1/ p , sea igual a la duración del período de el recíproco de q , 1/ q . [8] Por ejemplo, 3 es el único primo con período 1, 11 es el único primo con período 2, 37 es el único primo con período 3, 101 es el único primo con período 4, por lo que son primos únicos. El siguiente primo único más grande es 9091 con período 10, aunque el siguiente período más grande es 9 (su primo es 333667). Los primos únicos fueron descritos por Samuel Yates en 1980. [9] Un número primo p es único si y sólo si existe un n tal que
es una potencia de p , donde denota el polinomio ciclotómico evaluado en . El valor de n es entonces el período de la expansión decimal de 1/ p . [10]
En la actualidad se conocen más de cincuenta números primos únicos decimales o primos probables . Sin embargo, sólo hay veintitrés números primos únicos por debajo de 10 100 .
La siguiente tabla enumera los primeros 23 números primos únicos en decimal (secuencia A040017 en OEIS ).
Justo después de la tabla, el vigésimo cuarto primo único tiene 128 dígitos y una longitud de período de 320. Puede escribirse como (9 32 0 32 ) 2 + 1, donde un número de subíndice n indica n copias consecutivas del dígito o grupo de dígitos. antes del subíndice.
Más abajo, repunit prime es el número 29 y el número 45.
Donde A040017 contiene una lista de números primos únicos, A007615 son aquellos primos ordenados por duración del período; A051627 contiene períodos (ordenados por números primos correspondientes) y A007498 contiene períodos, ordenados, correspondientes a A007615.
En 1996, el primo único más grande demostrado fue (10 1132 + 1)/10001 o, usando la notación anterior, (99990000) 141 + 1. Tiene 1128 dígitos; [11] este registro se ha mejorado muchas veces desde entonces.
A partir de 2023 [actualizar], el primo único probado más grande es , que repite 86453 dígitos. [12] Por otro lado, repunit (10 8177207 – 1) / 9 es el primo único probable más grande conocido. [13]
Un primo único p que cumple la definición estándar en otra base b > 1 se llama primo único generalizado . [10]
El primo único generalizado más grande conocido (descubierto en octubre de 2023) es , [10] [14] [15] que, cuando se descubrió, se convirtió en el primo más grande conocido que no es de Mersenne . [dieciséis]
...había una rama del cálculo que le fascinaba mucho. Fue la determinación del número de cifras en los periodos recurrentes en los recíprocos de los números primos.
