Un número n - parásito (en base 10) es un número natural positivo que, cuando se multiplica por n , da como resultado el movimiento del último dígito de su representación decimal hacia su frente. Aquí n es en sí mismo un número natural positivo de un solo dígito. En otras palabras, la representación decimal sufre un desplazamiento circular hacia la derecha de un lugar. Por ejemplo:
La mayoría de los matemáticos no permiten el uso de ceros a la izquierda , y esa es una convención que se sigue comúnmente.
Entonces, aunque 4 × 25641 = 102564, el número 25641 no es 4-parásito.
Se puede derivar un número n -parásito comenzando con un dígito k (que debe ser igual a n o mayor) en el lugar más a la derecha (unidades) y aumentando un dígito a la vez. Por ejemplo, para n = 4 y k = 7
Entonces 179487 es un número de 4 parásitos con unidades del dígito 7. Otros son 179487179487, 179487179487179487, etc.
Observe que el decimal periódico
De este modo
En general, un número n -parásito se puede encontrar de la siguiente manera. Elija un entero k de un dígito tal que k ≥ n y tome el período del decimal periódico k /(10 n −1). Aquí será donde m es la duración del período; es decir, el orden multiplicativo de 10 módulo (10 n − 1) .
Para otro ejemplo, si n = 2, entonces 10 n − 1 = 19 y el decimal periódico para 1/19 es
Entonces eso para el 19/2 es el doble:
La longitud m de este período es 18, igual que el orden de 10 módulo 19, por lo que 2 × (10 18 − 1)/19 = 105263157894736842.
105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, que es el resultado de mover el último dígito de 105263157894736842 al frente.
El algoritmo de derivación paso a paso que se muestra arriba es una excelente técnica básica, pero no encontrará todos los números n-parásitos. Quedará atrapado en un bucle infinito cuando el número derivado sea igual a la fuente de derivación. Un ejemplo de esto ocurre cuando n = 5 y k = 5. El número n-parásito de 42 dígitos que se derivará es 102040816326530612244897959183673469387755. Consulte los pasos en la Tabla uno a continuación. El algoritmo comienza a construirse de derecha a izquierda hasta llegar al paso 15; luego se produce el bucle infinito. Se muestran las líneas 16 y 17 para mostrar que nada cambia. Hay una solución para este problema y, cuando se aplica, el algoritmo no sólo encontrará todos los n números parásitos en base diez, sino que también los encontrará en base 8 y base 16. Mire la línea 15 en la Tabla Dos. La solución, cuando se identifica esta condición y no se ha encontrado el número n -parásito, es simplemente no desplazar el producto de la multiplicación, sino usarlo tal como está y agregar n (en este caso 5) al final. Después de 42 pasos, se encontrará el número de parásitos adecuado.
Hay una condición más a tener en cuenta al trabajar con este algoritmo: no se deben perder los ceros a la izquierda. Cuando se crea el número de turno, puede contener un cero a la izquierda que es importante desde el punto de vista posicional y debe llevarse al siguiente paso. Las calculadoras y los métodos matemáticos informáticos eliminarán los ceros a la izquierda. Mire la Tabla tres a continuación que muestra los pasos de derivación para n = 4 y k = 4. El número de cambio creado en el paso 4, 02564, tiene un cero inicial que se introduce en el paso 5 creando un producto de cero inicial. El cambio resultante se introduce en el paso 6, que muestra un producto que demuestra que el número de 4 parásitos que termina en 4 es 102564.
Los números n -parásitos más pequeños también se conocen como números de Dyson , después de un acertijo sobre estos números planteado por Freeman Dyson . [1] [2] [3] Son: (no se permiten ceros a la izquierda) (secuencia A092697 en el OEIS )
En general, si relajamos las reglas para permitir un cero a la izquierda, entonces hay 9 n números parásitos para cada n . De lo contrario, sólo si k ≥ n entonces los números no comienzan con cero y, por lo tanto, se ajustan a la definición real.
Se pueden construir otros n enteros parásitos mediante concatenación. Por ejemplo, dado que 179487 es un número de 4 parásitos, también lo son 179487179487, 179487179487179487, etc.
En el sistema duodecimal , los números n -parásitos más pequeños son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente) (no se permiten ceros a la izquierda)
En definición estricta, el número mínimo m que comienza con 1 tal que el cociente m / n se obtiene simplemente desplazando el dígito 1 más a la izquierda de m hacia el extremo derecho es
Son el período de n /(10 n − 1), también el período del entero decádico - n /(10 n − 1).
El número de dígitos de ellos son
