Ecuación lineal

En matemáticas , una ecuación lineal es una ecuación que se puede expresar en la forma donde están las variables (o incógnitas ) y los coeficientes , que muchas veces son números reales . Los coeficientes podrán considerarse como parámetros de la ecuación y podrán ser expresiones arbitrarias , siempre que no contengan ninguna de las variables. Para producir una ecuación significativa, es necesario que no todos los coeficientes sean cero. $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $b,a_{1},\ldots,a_{n}$ $a_{1},\ldots,a_{n}$

Alternativamente, se puede obtener una ecuación lineal igualando a cero un polinomio lineal sobre algún campo , del cual se toman los coeficientes.

Las soluciones de dicha ecuación son los valores que, cuando se sustituyen las incógnitas, hacen que la igualdad sea verdadera.

En el caso de una sola variable, hay exactamente una solución (siempre que ). A menudo, el término ecuación lineal se refiere implícitamente a este caso particular, en el que la variable se llama sensatamente incógnita . $a_{1}\neq 0$

En el caso de dos variables, cada solución puede interpretarse como las coordenadas cartesianas de un punto del plano euclidiano . Las soluciones de una ecuación lineal forman una recta en el plano euclidiano y, a la inversa, cada recta puede verse como el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal en dos variables. Este es el origen del término lineal para describir este tipo de ecuación. De manera más general, las soluciones de una ecuación lineal en $n$ variables forman un hiperplano (un subespacio de dimensión $n - 1$ ) en el espacio euclidiano de dimensión $n$ .

Las ecuaciones lineales ocurren con frecuencia en todas las matemáticas y sus aplicaciones en física e ingeniería , en parte porque los sistemas no lineales a menudo se aproximan bien mediante ecuaciones lineales.

Este artículo considera el caso de una ecuación única con coeficientes del campo de los números reales , para la cual se estudian las soluciones reales. Todo su contenido se aplica a soluciones complejas y, de manera más general, a ecuaciones lineales con coeficientes y soluciones en cualquier campo . Para el caso de varias ecuaciones lineales simultáneas, véase sistema de ecuaciones lineales .

una variable

Una ecuación lineal en una variable $x$ se puede escribir como con . $ax+b=0,$ $a\neq 0$

La solucion es . $x=-{\frac {b}{a}}$

Dos variables

Una ecuación lineal en dos variables $x$ e $y$ se puede escribir como con $a$ y $b$ , no ambas $0$ . ^[1] $ax+by+c=0,$

Si $a$ y $b$ son números reales, tiene infinitas soluciones.

Función lineal

Si $b \neq 0$ , la ecuación

ax+by+c=0

es una ecuación lineal en la única variable $y$ para cada valor de $x$ . Por lo tanto, tiene una solución única para $y$ , que viene dada por

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

Esto define una función . La gráfica de esta función es una recta con pendiente e intersección con el eje y . Las funciones cuya gráfica es una recta generalmente se denominan funciones lineales en el contexto del cálculo . Sin embargo, en álgebra lineal , una función lineal es una función que asigna una suma a la suma de las imágenes de los sumandos. Entonces, para esta definición, la función anterior es lineal solo cuando $c$ $= 0$ , es decir, cuando la línea pasa por el origen. Para evitar confusiones, las funciones cuya gráfica es una recta arbitraria suelen denominarse funciones afines , y las funciones lineales tales que $c$ $= 0$ suelen denominarse funciones lineales . $-{\frac {a}{b}}$ $-{\frac {c}{b}}.$

Interpretación geométrica

Cada solución $(x, y)$ de una ecuación lineal

ax+by+c=0

puede verse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano euclidiano . Con esta interpretación, todas las soluciones de la ecuación forman una recta , siempre que $a$ y $b$ no sean ambos cero. Por el contrario, cada recta es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal.

La frase "ecuación lineal" tiene su origen en esta correspondencia entre rectas y ecuaciones: una ecuación lineal en dos variables es una ecuación cuyas soluciones forman una recta.

Si $b \neq 0$ , la recta es la gráfica de la función de $x$ que se ha definido en la sección anterior. Si $b = 0$ , la recta es una recta vertical (es decir, una recta paralela al eje $y$ ) de una ecuación que no es la gráfica de una función de $x$ . $x=-{\frac {c}{a}},$

De manera similar, si $a \neq 0$ , la recta es la gráfica de una función de $y$ , y, si $a = 0$ , se tiene una recta horizontal de ecuación $y=-{\frac {c}{b}}.$

Ecuación de una recta

Hay varias formas de definir una línea. En las siguientes subsecciones se proporciona en cada caso una ecuación lineal de la recta.

Forma pendiente-intersección o forma gradiente-intersección

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ y su intersección $con el eje$ $y 0$ (la coordenada $y$ de su intersección con el eje $y$ ). En este caso, su ecuación lineal se puede escribir

y=mx+y_{0}.

Si, además, la recta no es horizontal, se puede definir por su pendiente y su intersección con el $eje$ $x 0$ . En este caso, su ecuación se puede escribir

y=m(x-x_{0}),

o equivalente,

y=mx-mx_{0}.

Estas formas se basan en el hábito de considerar una recta no vertical como la gráfica de una función . ^[2] Para una recta dada por una ecuación

ax+by+c=0,

estas formas se pueden deducir fácilmente de las relaciones

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

Forma punto-pendiente o forma punto-gradiente

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ y las coordenadas de cualquier punto de la línea. En este caso, una ecuación lineal de la recta es $x_{1},y_{1}$

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

Esta ecuación también se puede escribir

y-y_{1}=m(x-x_{1})

por enfatizar que la pendiente de una línea se puede calcular a partir de las coordenadas de dos puntos cualesquiera.

forma de intercepción

Una recta que no es paralela a un eje y no pasa por el origen corta los ejes en dos puntos diferentes. Los valores de intersección $x 0$ e $y 0$ de estos dos puntos son distintos de cero, y una ecuación de la recta es ^[3]

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.

(Es fácil verificar que la recta definida por esta ecuación tiene $x 0$ e $y 0$ como valores de intersección).

Forma de dos puntos

Dados dos puntos diferentes $(x 1, y 1)$ y $(x 2, y 2)$ , hay exactamente una línea que pasa por ellos. Hay varias formas de escribir una ecuación lineal de esta recta.

Si $x 1 \neq x 2$ , la pendiente de la recta es Por lo tanto, una forma punto-pendiente es ^[3] ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).

Limpiando los denominadores se obtiene la ecuación

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

lo cual es válido también cuando $x 1 = x 2$ (para verificar esto, basta con verificar que los dos puntos dados satisfacen la ecuación).

Esta forma no es simétrica en los dos puntos dados, pero se puede obtener una forma simétrica reagrupando los términos constantes:

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(al intercambiar los dos puntos se cambia el signo del lado izquierdo de la ecuación).

Forma determinante

La forma de dos puntos de la ecuación de una recta se puede expresar simplemente en términos de un determinante . Hay dos formas comunes de hacerlo.

La ecuación es el resultado de expandir el determinante en la ecuación. $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

La ecuación se puede obtener expandiendo con respecto a su primera fila el determinante de la ecuación $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

Además de ser muy simple y mnemotécnica, esta forma tiene la ventaja de ser un caso especial de la ecuación más general de un hiperplano que pasa por $n$ puntos en un espacio de dimensión $n - 1$ . Estas ecuaciones se basan en la condición de dependencia lineal de puntos en un espacio proyectivo .

Más de dos variables

Siempre se puede suponer que una ecuación lineal con más de dos variables tiene la forma

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

El coeficiente $b$ , a menudo denominado $0,$ se denomina término constante (a veces el término absoluto en los libros antiguos ^[4]^[5] ). Dependiendo del contexto, el término coeficiente se puede reservar para a $i con$ i $> 0$ .

Cuando se trata de variables, es común utilizar y en lugar de variables indexadas. $n=3$ $x,\;y$ $z$

Una solución de tal ecuación es una $n$ -tupla tal que al sustituir cada elemento de la tupla por la variable correspondiente transforma la ecuación en una verdadera igualdad.

Para que una ecuación sea significativa, el coeficiente de al menos una variable debe ser distinto de cero. Si cada variable tiene un coeficiente cero, entonces, como se mencionó para una variable, la ecuación es inconsistente (para $b \neq 0$ ) por no tener solución, o todas $las n$ -tuplas son soluciones.

Las $n$ -tuplas que son soluciones de una ecuación lineal en $n$ variables son las coordenadas cartesianas de los puntos de un hiperplano $(n - 1 )$ -dimensional en un espacio euclidiano de $n$ -dimensional (o espacio afín si los coeficientes son números complejos o pertenecen a cualquier campo). En el caso de tres variables, este hiperplano es un plano .

Si se da una ecuación lineal con $a j \neq 0$ , entonces la ecuación se puede resolver para $x j$ , dando como resultado

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

Si los coeficientes son números reales , esto define una función de valor real de $n$ variables reales .

Ver también

Notas

^ Barnett, Ziegler y Byleen 2008, pág. 15
^ Larson y Hostetler 2007, pág. 25
^ ab Wilson y Tracey 1925, págs.52-53
^ Charles Hiram Chapman (1892). Un curso elemental en teoría de ecuaciones. J. Wiley e hijos. pag. 17.Extracto de la página 17
^ David Martín Sensenig (1890). Números universalizados: un álgebra avanzada. Compañía de libros americana. pag. 113.Extracto de la página 113

Referencias

Barnett, RA; Ziegler, señor; Byleen, KE (2008), Matemáticas universitarias para negocios, economía, ciencias biológicas y ciencias sociales (11.ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precálculo: un curso conciso , Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, WA; Tracey, JI (1925), Geometría analítica (edición revisada), DC Heath

enlaces externos

"Ecuación lineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]