En un sistema de numeración posicional , la base ( pl.: radices ) o base es el número de dígitos únicos , incluido el dígito cero, que se utilizan para representar números. Por ejemplo, para el sistema decimal (el sistema más común que se usa hoy en día), la base es diez, porque usa los diez dígitos del 0 al 9.
En cualquier sistema de numeración posicional estándar, un número se escribe convencionalmente como ( x ) y con x como cadena de dígitos e y como base, aunque para base diez generalmente se asume el subíndice (y se omite, junto con el par de paréntesis ) . , ya que es la forma más común de expresar valor . Por ejemplo, (100) 10 equivale a 100 (el sistema decimal está implícito en este último) y representa el número cien, mientras que (100) 2 (en el sistema binario con base 2) representa el número cuatro. [1]
Radix es una palabra latina que significa "raíz". Raíz puede considerarse sinónimo de base, en el sentido aritmético.
En el sistema con base 13, por ejemplo, una cadena de dígitos como 398 denota el número (decimal) 3 × 13 2 + 9 × 13 1 + 8 × 13 0 = 632.
De manera más general, en un sistema con base b ( b > 1 ), una cadena de dígitos d 1 … d n denota el número d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , donde 0 ≤ re yo < b . [1] A diferencia del decimal, o base 10, que tiene lugar de unidades, lugar de decenas, lugar de centenas, etc., la base b tendría lugar de unidades, luego a b 1 lugar de s, a b Lugar de 2 s, etc. [2]
Los sistemas numéricos comúnmente utilizados incluyen:
Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan a menudo en informática debido a su facilidad como abreviatura del binario. Cada dígito hexadecimal corresponde a una secuencia de cuatro dígitos binarios, ya que dieciséis es la cuarta potencia de dos; por ejemplo, hexadecimal 78 16 es binario 111 1000 2 . De manera similar, cada dígito octal corresponde a una secuencia única de tres dígitos binarios, ya que ocho es el cubo de dos.
Esta representación es única. Sea b un número entero positivo mayor que 1. Entonces cada número entero positivo a se puede expresar de forma única en la forma
donde m es un número entero no negativo y las r son números enteros tales que
Los radices suelen ser números naturales . Sin embargo, son posibles otros sistemas posicionales, por ejemplo, base de proporción áurea (cuya base es un número algebraico no entero ), [5] y base negativa (cuya base es negativa). [6] Una base negativa permite la representación de números negativos sin el uso de un signo menos. Por ejemplo, sea b = −10. Entonces, una cadena de dígitos como 19 denota el número (decimal) 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
