En matemáticas recreativas , un repdígito o, a veces, un monodígito [1] es un número natural compuesto de instancias repetidas del mismo dígito en un sistema numérico posicional (a menudo implícitamente decimal ). La palabra es un acrónimo de "repetido" y "dígito". Los ejemplos son 11 , 666 , 4444 y 999999 . Todos los repdigits son números palindrómicos y son múltiplos de repunits . Otros repdígitos bien conocidos incluyen los primos repunit y, en particular, los primos de Mersenne (que son repdígitos cuando se representan en binario).
Los repdigitos son la representación en base del número donde es el dígito repetido y es el número de repeticiones. Por ejemplo, el repdígito 77777 en base 10 es .
Una variación de los repdígitos llamados números brasileños son números que se pueden escribir como repdígitos en alguna base, sin permitir el repdígito 11 y sin permitir números de un solo dígito (o todos los números serán brasileños). Por ejemplo, 27 es un número brasileño porque 27 es el repdígito 33 en base 8, mientras que 9 no es un número brasileño porque su única representación del repdígito es 11 8 , no permitido en la definición de números brasileños. Las representaciones de la forma 11 se consideran triviales y no están permitidas en la definición de números brasileños, porque todos los números naturales n mayores que dos tienen la representación 11 n − 1 . [2] Los primeros veinte números brasileños son
En algunos sitios web (incluidos tableros de imágenes como 4chan ), se considera un evento auspicioso cuando el número de identificación asignado secuencialmente de una publicación es un repdigit, como 22,222,222, que es un tipo de "GET" (otros incluyen números redondos como 34,000,000, o dígitos secuenciales como 12,345,678). [3] [4]
El concepto de repdígito se ha estudiado con ese nombre desde al menos 1974, [5] y anteriormente Beiler (1966) los llamó "números de monodígito". [1] Los números brasileños fueron introducidos posteriormente, en 1994, en la IX Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que tuvo lugar en Fortaleza , Brasil. El primer problema en este concurso, propuesto por México, fue el siguiente: [6]
Un número n > 0 se llama "brasileño" si existe un número entero b tal que 1 < b < n – 1 para el cual la representación de n en base b se escribe con todos los dígitos iguales. Demuestre que 1994 es brasileño y que 1993 no es brasileño.
Para que un repdigit sea primo , debe ser un repunit (es decir, el dígito repetido es 1) y tener un número primo de dígitos en su base (excepto números triviales de un solo dígito), ya que, por ejemplo, el repdigit 77777 es divisible por 7, en cualquier base > 7. En particular, como los repunits brasileños no permiten que el número de dígitos sea exactamente dos, los primos brasileños deben tener un número primo impar de dígitos. [7] Tener un número primo impar de dígitos no es suficiente para garantizar que una repunit sea prima; por ejemplo, 21 = 111 4 = 3 × 7 y 111 = 111 10 = 3 × 37 no son primos. En cualquier base b dada , cada primo repunit en esa base con la excepción de 11 b (si es primo) es un primo brasileño. Los primos brasileños más pequeños son
Mientras que la suma de los recíprocos de los números primos es una serie divergente, la suma de los recíprocos de los números primos brasileños es una serie convergente cuyo valor, llamado "constante de primos brasileños", es ligeramente mayor que 0,33 (secuencia A306759 en el OEIS ). [8] Esta convergencia implica que los números primos brasileños forman una fracción cada vez más pequeña de todos los números primos. Por ejemplo, entre los 3,7×10 10 números primos menores que 10 12 , sólo 8,8×10 4 son brasileños.
Los primos repunitarios decimales tienen la forma para los valores de n enumerados en OEIS : A004023 . Se ha conjeturado que hay infinitos números primos repunitarios decimales. [9] Los repunits binarios son los números de Mersenne y los primos repunit binarios son los números primos de Mersenne .
Se desconoce si existen infinitos números primos brasileños. Si la conjetura de Bateman-Horn es cierta, entonces para cada número primo de dígitos existirían infinitos primos repunit con ese número de dígitos (y, en consecuencia, infinitos números primos brasileños). Alternativamente, si hay infinitos números primos decimales de repunit, o infinitos números primos de Mersenne, entonces hay infinitos números primos brasileños. [10] Debido a que una fracción cada vez más pequeña de números primos son brasileños, hay infinitos números primos no brasileños, que forman la secuencia
Si un número de Fermat es primo no es brasileño, pero si es compuesto es brasileño. [11] Contradiciendo una conjetura anterior, [12] Resta, Marcus, Grantham y Graves encontraron ejemplos de primos de Sophie Germain que son brasileños, el primero es 28792661 = 11111 73 . [13]
Los únicos números enteros positivos que pueden ser no brasileños son 1, 6, los números primos y los cuadrados de los números primos, ya que cualquier otro número es el producto de dos factores x e y con 1 < x < y − 1, y puede ser escrito como xx en base y − 1. [14] Si un cuadrado de un primo p 2 es brasileño, entonces el primo p debe satisfacer la ecuación diofántica
El matemático noruego Trygve Nagell ha demostrado [15] que esta ecuación tiene una sola solución cuando p es primo correspondiente a ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Por tanto, el único primo cuadrado que es brasileño es 11 2 = 121 = 11111 3 . También existe un cuadrado repunit no trivial más, la solución ( p , b , q ) = (20, 7, 4) correspondiente a 20 2 = 400 = 1111 7 , pero no es excepcional con respecto a la clasificación de los números brasileños porque 20 no es primo.
Las potencias perfectas que son repunitas con tres dígitos o más en alguna base b se describen mediante la ecuación diofántica de Nagell y Ljunggren [16].
Yann Bugeaud y Maurice Mignotte conjeturan que sólo tres potencias perfectas son repunitas brasileñas. Son 121, 343 y 400 (secuencia A208242 en la OEIS ), los dos cuadrados enumerados anteriormente y el cubo 343 = 7 3 = 111 18 . [17]
Algunas publicaciones de medios populares han publicado artículos que sugieren que los números de repunit tienen un significado numerológico , describiéndolos como "números de ángeles". [19] [20] [21]
