En matemáticas , la conjetura de Goormaghtigh es una conjetura de la teoría de números que lleva el nombre del matemático belga René Goormaghtigh . La conjetura es que las únicas soluciones enteras no triviales de la ecuación exponencial diofántica
satisfactorios y son
y
Resultados parciales
Davenport, Lewis y Schinzel (1961) demostraron que, para cada par de exponentes fijos y , esta ecuación sólo tiene un número finito de soluciones. Pero esta demostración depende del teorema de finitud de Siegel , que es ineficaz. Nesterenko y Shorey (1998) demostraron que, si y con , y , entonces está acotado por una constante efectivamente computable que depende sólo de y . Yuan (2005) demostró que para e impar , esta ecuación no tiene otra solución que las dos soluciones dadas anteriormente.
Balasubramanian y Shorey demostraron en 1980 que sólo hay un número finito de soluciones posibles para las ecuaciones con divisores primos de y que se encuentran en un conjunto finito dado y que pueden calcularse de manera efectiva. He y Togbé (2008) demostraron que, para cada fijo y , esta ecuación tiene como máximo una solución. Para x fijo (o y ), la ecuación tiene como máximo 15 soluciones, y como máximo dos, a menos que x sea una potencia prima impar multiplicada por una potencia de dos , o en el conjunto finito {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, en cuyo caso hay como máximo tres soluciones. Además, hay como máximo una solución si la parte impar de x es cuadrada a menos que x tenga como máximo dos factores primos impares distintos o x esté en un conjunto finito {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 3105, , 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}. Si x es una potencia de dos , hay como máximo una solución excepto x=2, en cuyo caso hay dos soluciones conocidas. De hecho, max(m,n)<4^x y y<2^(2^x).
Aplicación a repunits
La conjetura de Goormaghtigh se puede expresar diciendo que 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2) son los únicos dos números que son repunitos con al menos 3 dígitos en dos diferentes. bases.
Ver también
Referencias
- Buenísimo, René. L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
- Bugeaud, Y.; Shorey, TN (2002). "Sobre la ecuación diofántica x m − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}- 1}{y-1}}}" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 207 (1): 61–75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
- Balasubramanian, R .; Shorey, TN (1980). "En la ecuación a ( x m − 1 ) / ( x − 1 ) = b ( y n − 1 ) / ( y − 1 ) {\displaystyle a(x^{m}-1)/(x-1)=b (y^{n}-1)/(y-1)} ". Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 10.7146/math.scand.a-11861 . SEÑOR 0591599. Zbl 0434.10013.
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