Wagstaff principal

En teoría de números , un número primo de Wagstaff es un número primo de la forma

${\displaystyle {{2^{p}+1} \over 3}}$

donde p es un primo impar . Los primos de Wagstaff llevan el nombre del matemático Samuel S. Wagstaff Jr .; las páginas principales dan crédito a François Morain por nombrarlos en una conferencia en la conferencia Eurocrypt 1990. Los primos de Wagstaff aparecen en la conjetura de Nueva Mersenne y tienen aplicaciones en criptografía .

Ejemplos

Los primeros tres primos de Wagstaff son 3, 11 y 43 porque

${\displaystyle {\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}}$

Primos de Wagstaff conocidos

Los primeros números primos de Wagstaff son:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, ... (secuencia A000979 en el OEIS )

Los exponentes que producen números primos de Wagstaff o primos probables son:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, .. (secuencia A000978 en la OEIS ) .

Generalizaciones

Es natural considerar ^[2] de manera más general números de la forma

${\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}}$

donde la base . Ya que por impar tenemos ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)}$

estos números se denominan "números base de Wagstaff ", y en ocasiones se consideran ^[3] un caso de números repunit con base negativa . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$

Para algunos valores específicos de , todos (con una posible excepción para valores muy pequeños ) son compuestos debido a una factorización "algebraica". Específicamente, si tiene la forma de una potencia perfecta con exponente impar (como 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000, etc. (secuencia A070265 en el OEIS )), entonces el hecho de que , con impar, sea divisible por muestra que es divisible por en estos casos especiales. Otro caso es , con k un entero positivo (como 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. (secuencia A141046 en la OEIS )), donde tenemos la factorización aurifeuilleana . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Q(b,n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x^{m}+1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle Q(a^{m},n)}$ ${\displaystyle a^{n}+1}$ ${\displaystyle b=4k^{4}}$

Sin embargo, cuando no admite una factorización algebraica, se conjetura que un número infinito de valores son primos, fíjate que todos son primos impares. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(b,n)}$ ${\displaystyle n}$

Para , los propios primos tienen la siguiente apariencia: 9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091,… (secuencia A097209 en el OEIS ), y estos n s son: 5, 7, 19, 31, 67, 293, 641, 2137 , 3011, 268207, ... (secuencia A001562 en la OEIS ). ${\displaystyle b=10}$

Consulte Repunit#Repunit primos para obtener la lista de la base de primos generalizados de Wagstaff . (La base de números primos generalizados de Wagstaff es la base de números primos generalizados de repunit con impares ) ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b}$ ${\displaystyle n}$

Los primos mínimos p tales que son primos son (comienza con n = 2, 0 si no existe tal p ) ${\displaystyle Q(n,p)}$

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, ... (secuencia A084742 en el OEIS )

Las bases mínimas b tales que son primas son (comienza con n = 2) ${\displaystyle Q(b,prime(n))}$

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (secuencia A103795 en el OEIS )

Referencias

1. Bateman, PT ; Selfridge, JL ; Wagstaff, Jr., SS (1989). "La nueva conjetura de Mersenne". Mensual Matemático Estadounidense . 96 : 125-128. doi :10.2307/2323195. JSTOR  2323195.
2. Dubner, H. y Granlund, T.: Primos de la forma (bn + 1)/(b + 1), Journal of Integer Sequences , vol. 3 (2000)
3. Repunit, Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)

enlaces externos

• John Renze y Eric W. Weisstein . "Wagstaff principal". MundoMatemático .
• Chris Caldwell, Los veinte primeros: Wagstaff en The Prime Pages .
• Renaud Lifchitz, "Una prueba prima probable eficiente para números de la forma (2p + 1)/3".
• Tony Reix, "Tres conjeturas sobre las pruebas de primalidad para los números de Mersenne, Wagstaff y Fermat basadas en ciclos del dígrafo bajo x2 - 2 módulo primo".
• Lista de repunits en base -50 a 50
• Lista de números primos de Wagstaff de base 2 a 160