En matemáticas , la paridad es propiedad de un número entero de si es par o impar . Un número entero es par si es divisible por 2 e impar si no es divisible. [1] Por ejemplo, −4, 0 y 82 son números pares, mientras que −3, 5, 7 y 21 son números impares.
La definición anterior de paridad se aplica sólo a números enteros, por lo que no se puede aplicar a números como 1/2 o 4,201. Consulte la sección "Matemáticas superiores" a continuación para conocer algunas extensiones de la noción de paridad a una clase más amplia de "números" o en otros entornos más generales.
Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (número par) y 13 (número impar) tienen paridades opuestas. En particular, la paridad del cero es par. [2] Dos números enteros consecutivos cualesquiera tienen paridad opuesta. Un número (es decir, un número entero) expresado en el sistema de numeración decimal es par o impar según si su último dígito es par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es par, ya que el último dígito de cualquier número par es 0, 2, 4, 6 u 8. La misma idea funcionará con cualquier base par. En particular, un número expresado en el sistema de numeración binario es impar si su último dígito es 1; y es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par según la suma de sus dígitos; es par si y sólo si la suma de sus dígitos es par. [3]
Un número par es un número entero de la forma
Una definición equivalente es que un número par es divisible por 2:
Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera: [5]
El conjunto de los números pares es un ideal primo de y el anillo cociente es el cuerpo con dos elementos . Entonces, la paridad se puede definir como el homomorfismo de anillo único desde hasta donde los números impares son 1 y los números pares son 0. Las consecuencias de este homomorfismo se tratan a continuación.
Las siguientes leyes se pueden verificar utilizando las propiedades de divisibilidad . Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se usan comúnmente para verificar si es probable que una igualdad sea correcta probando la paridad de cada lado. Al igual que con la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética de módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo que no es cierto para la aritmética de enteros normal.
Por la construcción de la sección anterior, la estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho el campo con dos elementos .
La división de dos números enteros no necesariamente da como resultado un número entero. Por ejemplo, 1 dividido por 4 es igual a 1/4, que no es ni par ni impar, ya que los conceptos de par e impar se aplican sólo a los números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y sólo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor. [6]
Los antiguos griegos consideraban que 1, la mónada , no era ni completamente impar ni completamente par. [7] Parte de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: La educación del hombre de Friedrich Wilhelm August Fröbel de 1826 instruye al maestro a instruir a los estudiantes con la afirmación de que 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel atribuye la idea filosófica de último momento,
Conviene dirigir aquí la atención del alumno a una ley de la naturaleza y del pensamiento de gran alcance. Es que entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre hay una tercera, en una especie de equilibrio, que parece unirlas. Así, aquí entre números pares e impares hay un número (uno) que no es ninguno de los dos. De manera similar, en la forma, el ángulo recto se encuentra entre los ángulos agudo y obtuso; y en lengua, las semivocales o aspirantes entre las mudas y las vocales. Un maestro reflexivo y un alumno enseñado a pensar por sí mismo difícilmente pueden dejar de notar ésta y otras leyes importantes. [8]
Las coordenadas enteras de puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen una paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la red cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensiones superiores, las D n redes , constan de todos los puntos enteros cuya suma de coordenadas es par. [9] Esta característica se manifiesta en el ajedrez , donde la paridad de una casilla está indicada por su color: los alfiles están obligados a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que los caballos alternan la paridad entre movimientos. [10] Esta forma de paridad se utilizó para resolver el problema del tablero de ajedrez mutilado : si se eliminan dos casillas de las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez, entonces el tablero restante no puede cubrirse con fichas de dominó, porque cada ficha cubre una casilla de cada paridad y hay dos casillas más de una paridad que de la otra. [11]
La paridad de un número ordinal se puede definir como par si el número es un ordinal límite, o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario. [12]
Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R cuyo índice es 2. Los elementos de la clase lateral pueden llamarse pares , mientras que los elementos de la clase lateral pueden llamarse impares . Como ejemplo, sea R = Z (2) la localización de Z en el ideal primo (2). Entonces un elemento de R es par o impar si y sólo si su numerador lo es en Z.
Los números pares forman un ideal en el anillo de los números enteros, [13] pero los números impares no; esto se desprende claramente del hecho de que el elemento de identidad para la suma, el cero, es un elemento de los números pares únicamente. Un número entero es par si es congruente con 0 módulo este ideal, es decir, si es congruente con 0 módulo 2, e impar si es congruente con 1 módulo 2.
Todos los números primos son impares, con una excepción: el número primo 2. [14] Todos los números perfectos conocidos son pares; Se desconoce si existen números perfectos impares. [15]
La conjetura de Goldbach establece que todo número par mayor que 2 se puede representar como la suma de dos números primos. Los cálculos informáticos modernos han demostrado que esta conjetura es cierta para números enteros hasta al menos 4 × 10 18 , pero aún no se ha encontrado una prueba general. [dieciséis]
La paridad de una permutación (como se define en álgebra abstracta ) es la paridad del número de transposiciones en las que se puede descomponer la permutación. [17] Por ejemplo, (ABC) a (BCA) es par porque se puede hacer intercambiando A y B, luego C y A (dos transposiciones). Se puede demostrar que ninguna permutación puede descomponerse tanto en un número par como en un número impar de transposiciones. Por tanto, la definición anterior es adecuada. En el Cubo de Rubik , Megaminx y otros rompecabezas giratorios, los movimientos del rompecabezas solo permiten permutaciones uniformes de las piezas del rompecabezas, por lo que la paridad es importante para comprender el espacio de configuración de estos rompecabezas. [18]
El teorema de Feit-Thompson establece que un grupo finito siempre es resoluble si su orden es un número impar. Este es un ejemplo de números impares que desempeñan un papel en un teorema matemático avanzado donde el método de aplicación de la hipótesis simple del "orden impar" está lejos de ser obvio. [19]
La paridad de una función describe cómo cambian sus valores cuando sus argumentos se intercambian con sus negaciones. Una función par, como una potencia par de una variable, da el mismo resultado para cualquier argumento que para su negación. Una función impar, como una potencia impar de una variable, da para cualquier argumento la negación de su resultado cuando se da la negación de ese argumento. Es posible que una función no sea par ni impar, y que en el caso f ( x ) = 0, sea par e impar. [20] La serie de Taylor de una función par contiene sólo términos cuyo exponente es un número par, y la serie de Taylor de una función impar contiene sólo términos cuyo exponente es un número impar. [21]
En la teoría de juegos combinatoria , un número malo es un número que tiene un número par de unos en su representación binaria , y un número odioso es un número que tiene un número impar de unos en su representación binaria; Estos números juegan un papel importante en la estrategia del juego Kayles . [22] La función de paridad asigna un número al número de unos en su representación binaria, módulo 2 , por lo que su valor es cero para los números malos y uno para los números odiosos. La secuencia Thue-Morse , una secuencia infinita de 0 y 1, tiene un 0 en la posición i cuando i es malo y un 1 en esa posición cuando i es odioso. [23]
En teoría de la información , un bit de paridad añadido a un número binario proporciona la forma más sencilla de código de detección de errores . Si se cambia un solo bit en el valor resultante, entonces ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número que era derivado de nuevo produce un resultado incorrecto. De esta manera se pueden detectar de forma fiable todos los errores de transmisión de un solo bit. [24] Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de los bits del valor codificado original. [25]
En los instrumentos de viento con orificio cilíndrico y efectivamente cerrado por un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental . (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, utilizados por ejemplo en algunos registros de órgano como el diapasón abierto , los armónicos son incluso múltiplos de la misma frecuencia para la longitud del orificio dada, pero esto tiene el efecto de que la frecuencia fundamental se duplica y todos Se producen múltiplos de esta frecuencia fundamental.) Ver series armónicas (música) . [26]
En algunos países, la numeración de las casas se elige de modo que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las casas del otro lado tengan números impares. [27] De manera similar, entre las carreteras numeradas de los Estados Unidos , los números pares indican principalmente carreteras de este a oeste, mientras que los números impares indican principalmente carreteras de norte a sur. [28] Entre los números de vuelos de las aerolíneas , los números pares suelen identificar los vuelos en dirección este o norte, y los números impares suelen identificar los vuelos en dirección oeste o sur. [29]
