Todo un polinomio

Polinomio en el que todos los coeficientes son uno.

En matemáticas , un polinomio todo uno (AOP) es un polinomio en el que todos los coeficientes son uno. Sobre el campo finito de orden dos se conocen condiciones para que el AOP sea irreducible , lo que permite utilizar este polinomio para definir algoritmos y circuitos eficientes para la multiplicación en campos finitos de característica dos. ^[1] El AOP es un polinomio 1-equiespaciado . ^[2]

Definición

Un AOP de grado m tiene todos los términos desde x ^m hasta x ⁰ con coeficientes de 1 y se puede escribir como

${\displaystyle AOP_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}}$

o

${\displaystyle AOP_{m}(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1}$

o

${\displaystyle AOP_{m}(x)={x^{m+1}-1 \over {x-1}}.}$

Por lo tanto, las raíces del polinomio todo uno de grado m son todas ( m +1)ésimas raíces de la unidad distintas de la unidad misma.

Propiedades

Sobre GF(2), el AOP tiene muchas propiedades interesantes, entre ellas:

• El peso Hamming del AOP es m + 1, el máximo posible para su grado ^[3]
• El AOP es irreducible si y solo si m + 1 es primo y 2 es una raíz primitiva módulo m + 1 ^[1] (sobre GF( p ) con p primo , es irreducible si y solo si m + 1 es primo y p es una raíz primitiva módulo m + 1)
• El único AOP que es un polinomio primitivo es x ² + x + 1.

A pesar de que el peso de Hamming es grande, debido a la facilidad de representación y otras mejoras existen implementaciones eficientes en áreas como la teoría de la codificación y la criptografía . ^[1]

Además , el AOP es irreducible siempre que m + 1 sea un p primo y, por tanto, en estos casos, el p -ésimo polinomio ciclotómico . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Referencias

1. Cohen, Henri; Frey, Gerhard; Avanzi, Roberto; Doche, Christophe; Lange, Tanja ; Nguyen, Kim; Vercauteren, Frederik (2005), Manual de criptografía de curvas elípticas e hiperelípticas, matemáticas discretas y sus aplicaciones, CRC Press, p. 215, ISBN 9781420034981.
2. Itoh, Toshiya; Tsujii, Shigeo (1989), "Estructura de multiplicadores paralelos para una clase de campos GF(2 ^m )", Información y Computación , 83 (1): 21–40, doi : 10.1016/0890-5401(89)90045-X.
3. Reyhani-Masoleh, Arash; Hasan, M. Anwar (2003), "Sobre multiplicadores de bases polinomiales paralelas de bits de baja complejidad", Hardware criptográfico y sistemas integrados - CHES 2003 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2779, Springer, págs. 189-202, doi : 10.1007/978-3-540-45238-6_16.
4. Sugimura, Tatsuo; Suetugu, Yasunori (1991), "Consideraciones sobre polinomios ciclotómicos irreducibles", Electrónica y comunicaciones en Japón , 74 (4): 106–113, doi :10.1002/ecjc.4430740412, MR  1136200.

enlaces externos

• todo un polinomio en PlanetMath .