polinomio ciclotómico

Polinomio irreducible cuyas raíces son raíces enésimas de la unidad

En matemáticas , el n- ésimo polinomio ciclotómico , para cualquier entero positivo n , es el único polinomio irreducible con coeficientes enteros que es divisor y no es divisor de para cualquier k < n . Sus raíces son todas las n- ésimas raíces primitivas de la unidad , donde k pasa por los números enteros positivos no mayores que n y coprimos con n (e i es la unidad imaginaria ). En otras palabras, el n- ésimo polinomio ciclotómico es igual a ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle x^{k}-1}$ ${\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).}$

También se puede definir como el polinomio mónico con coeficientes enteros, que es el polinomio mínimo sobre el campo de los números racionales de cualquier primitiva n -ésima raíz de la unidad ( es un ejemplo de tal raíz). ${\displaystyle e^{2i\pi /n}}$

Una relación importante que vincula los polinomios ciclotómicos y las raíces primitivas de la unidad es

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

mostrando que x es una raíz de si y solo si es una d- ésima raíz primitiva de la unidad para algún d que divide a n . ^[1] ${\displaystyle x^{n}-1}$ 

Ejemplos

Si n es un número primo , entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.}$

Si n = 2 p donde p es un número primo distinto de 2, entonces

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.}$

Para n hasta 30, los polinomios ciclotómicos son: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}$

El caso del polinomio ciclotómico 105 es interesante porque 105 es el entero menos positivo que es producto de tres números primos impares distintos (3*5*7) y este polinomio es el primero que tiene un coeficiente distinto de 1, 0, o −1: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)={}&x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&{}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&{}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Propiedades

Herramientas fundamentales

Los polinomios ciclotómicos son polinomios mónicos con coeficientes enteros irreducibles en el cuerpo de los números racionales. Excepto por n igual a 1 o 2, son palíndromos de grado par.

El grado de , o en otras palabras, el número de n- ésimas raíces primitivas de la unidad, es , donde es la función totiente de Euler . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

El hecho de que haya un polinomio de grado irreducible en el anillo no es un resultado trivial debido a Gauss . ^[4] Dependiendo de la definición elegida, es el valor del grado o la irreductibilidad el resultado no trivial. El caso del primo n es más fácil de probar que el caso general, gracias al criterio de Eisenstein . ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Una relación fundamental que involucra polinomios ciclotómicos es

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}}$

lo que significa que cada n -ésima raíz de la unidad es una d -ésima raíz de la unidad primitiva para una d única que divide n .

La fórmula de inversión de Möbius permite expresarse como una fracción racional explícita: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

¿Dónde está la función de Möbius ? ${\displaystyle \mu }$

El polinomio ciclotómico se puede calcular dividiendo (exactamente) por los polinomios ciclotómicos de los divisores propios de n previamente calculados de forma recursiva mediante el mismo método: ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}}$

(Recordar que .) ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$

Esta fórmula define un algoritmo para calcular cualquier n , siempre que estén disponibles la factorización de enteros y la división de polinomios . Muchos sistemas de álgebra informática , como SageMath , Maple , Mathematica y PARI/GP , tienen una función incorporada para calcular los polinomios ciclotómicos. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

Casos fáciles para el cálculo.

Como se señaló anteriormente, si n es un número primo, entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}\;.}$

Si n es un número entero impar mayor que uno, entonces

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)\;.}$

En particular, si n = 2 p es dos veces un primo impar, entonces (como se señaló anteriormente)

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}\;.}$

Si n = p ^m es una potencia prima (donde p es prima), entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}\;.}$

De manera más general, si n = p ^m r con r relativamente primo con p , entonces

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}})\;.}$

Estas fórmulas se pueden aplicar repetidamente para obtener una expresión simple para cualquier polinomio ciclotómico en términos de un polinomio ciclotómico de índice libre al cuadrado : Si q es el producto de los divisores primos de n (su radical ), entonces ^[5] ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q})\;.}$

Esto permite dar fórmulas para el n.ésimo polinomio ciclotómico cuando n tiene como máximo un factor primo impar: si p es un número primo impar y hyk son enteros positivos, entonces

${\displaystyle \Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1\;,}$

${\displaystyle \Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}\;,}$

${\displaystyle \Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{h-1}p^{k-1}}\;.}$

Para los otros valores de n , el cálculo del n- ésimo polinomio ciclotómico se reduce de manera similar a donde q es el producto de los distintos divisores primos impares de n . Para abordar este caso, se tiene que, para p primo y no dividir n , ^[6] ${\displaystyle \Phi _{q}(x),}$

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)\;.}$

Números enteros que aparecen como coeficientes

El problema de acotar la magnitud de los coeficientes de los polinomios ciclotómicos ha sido objeto de varios trabajos de investigación. Varios artículos de encuesta ofrecen una visión general. ^[7]

Si n tiene como máximo dos factores primos impares distintos, entonces Migotti demostró que todos los coeficientes de están en el conjunto {1, −1, 0}. ^[8] ${\displaystyle \Phi _{n}}$

El primer polinomio ciclotómico para un producto de tres factores primos impares diferentes tiene un coeficiente −2 (consulte su expresión arriba). Lo contrario no es cierto: solo tiene coeficientes en {1, −1, 0}. ${\displaystyle \Phi _{105}(x);}$ ${\displaystyle \Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)}$

Si n es un producto de más factores primos impares diferentes, los coeficientes pueden aumentar a valores muy altos. Por ejemplo, tiene coeficientes que van de −22 a 23, el n más pequeño con 6 números primos impares diferentes, tiene coeficientes de magnitud hasta 532. ${\displaystyle \Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$

Sea A ( n ) el valor absoluto máximo de los coeficientes de Φ _n . Se sabe que para cualquier k positivo , el número de n hasta x con A ( n ) > n ^k es al menos c ( k )⋅ x para un c ( k ) positivo dependiendo de k y x suficientemente grande. En la dirección opuesta, para cualquier función ψ( n ) que tiende al infinito con n tenemos A ( n ) acotada arriba por n ^{ψ( n )} para casi todos los n . ^[9]

Una combinación de teoremas de Bateman resp. Vaughan afirma ^{[7] : 10} que por un lado, por cada , tenemos ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}}$

para todos los números enteros positivos suficientemente grandes y, por otro lado, tenemos ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}}$

para infinitos números enteros positivos . Esto implica en particular que los polinomios univariados (concretamente para una infinidad de números enteros positivos ) pueden tener factores (como ) cuyos coeficientes son superpolinomialmente mayores que los coeficientes originales. Esto no está muy lejos del límite general de Landau-Mignotte . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

la fórmula de gauss

Sea n impar, sin cuadrados y mayor que 3. Entonces: ^{[10] [11]}

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}$

donde tanto A _n ( z ) como B _n ( z ) tienen coeficientes enteros, A _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 y B _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 − 2. Además, Una _n ( z ) es palindrómica cuando su grado es par; si su grado es impar es antipalindrómico. De manera similar, B _n ( z ) es palindrómico a menos que n sea compuesto y ≡ 3 (mod 4), en cuyo caso es antipalindrómico.

Los primeros casos son

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}}$

la fórmula de lucas

Sea n impar, sin cuadrados y mayor que 3. Entonces ^[11]

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)}$

donde tanto U _n ( z ) como V _n ( z ) tienen coeficientes enteros, U _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 y V _n ( z ) tiene grado φ ( n )/2 − 1. Esto puede también estar escrito

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).}$

Si n es par, no tiene cuadrados y es mayor que 2 (esto obliga a n /2 a ser impar),

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}\left(-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)}$

donde tanto C _n ( z ) como D _n ( z ) tienen coeficientes enteros, C _n ( z ) tiene grado φ ( n ) y D _n ( z ) tiene grado φ ( n ) − 1. C _n ( z ) y D _n ( z ) son ambos palindrómicos.

Los primeros casos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}}$

Conjetura de la hermana Beiter

La conjetura de la hermana Beiter se ocupa del tamaño máximo (en valor absoluto) de los coeficientes de polinomios ciclotómicos ternarios donde hay tres números primos. ^[12] ${\displaystyle A(pqr)}$ ${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$ ${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$

Polinomios ciclotómicos sobre un campo finito y sobre los enteros p -ádicos

Sobre un campo finito con un número primo p de elementos, para cualquier número entero n que no sea múltiplo de p , el polinomio ciclotómico se factoriza en polinomios irreducibles de grado d , donde es la función totiente de Euler y d es el orden multiplicativo de p módulo n. . En particular, es irreducible si y sólo si p es una raíz primitiva módulo n , es decir, p no divide a n , y su orden multiplicativo módulo n es el grado de . ^[13] ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{d}}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Estos resultados también son válidos para los enteros p -ádicos , ya que el lema de Hensel permite elevar una factorización sobre el campo con p elementos a una factorización sobre los enteros p -ádicos.

Valores polinomiales

Si x toma cualquier valor real, entonces para cada n ≥ 3 (esto se desprende del hecho de que las raíces de un polinomio ciclotómico son todas no reales, para n ≥ 3 ). ${\displaystyle \Phi _{n}(x)>0}$

Para estudiar los valores que puede tomar un polinomio ciclotómico cuando a x se le da un valor entero, basta considerar sólo el caso n ≥ 3 , ya que los casos n = 1 y n = 2 son triviales (se tiene y ). ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$ ${\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}$

Para n ≥ 2 , se tiene

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=1}$si n no es una potencia prima ,

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=p}$si es una potencia prima con k ≥ 1 . ${\displaystyle n=p^{k}}$

Los valores que puede tomar un polinomio ciclotómico para otros valores enteros de x están fuertemente relacionados con el orden multiplicativo módulo de un número primo. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$

Más precisamente, dado un número primo p y un entero b coprimo con p , el orden multiplicativo de b módulo p , es el entero positivo más pequeño n tal que p es un divisor de Para b > 1 , el orden multiplicativo de b módulo p es también el período más corto de la representación de 1/ p en la base numérica b (ver Primo único ; esto explica la elección de la notación). ${\displaystyle b^{n}-1.}$

La definición del orden multiplicativo implica que, si n es el orden multiplicativo de b módulo p , entonces p es un divisor de. Lo contrario no es cierto, pero se tiene lo siguiente. ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Si n > 0 es un número entero positivo y b > 1 es un número entero, entonces (consulte la prueba a continuación)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

dónde

• k es un número entero no negativo, siempre igual a 0 cuando b es par. (De hecho, si n no es ni 1 ni 2, entonces k es 0 o 1. Además, si n no es una potencia de 2 , entonces k siempre es igual a 0)
• g es 1 o el factor primo impar más grande de n .
• h es impar, coprimo con n , y sus factores primos son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p .

Esto implica que, si p es un divisor primo impar de entonces n es un divisor de p − 1 o p es un divisor de n . En este último caso, no divide ${\displaystyle \Phi _{n}(b),}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

El teorema de Zsigmondy implica que los únicos casos donde b > 1 y h = 1 son

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}}$

De la factorización anterior se deduce que los factores primos impares de

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}}$

son exactamente los primos impares p tales que n es el orden multiplicativo de b módulo p . Esta fracción puede ser par sólo cuando b es impar. En este caso, el orden multiplicativo de b módulo 2 es siempre 1 .

Hay muchos pares ( n , b ) con b > 1 tales que son primos. De hecho, la conjetura de Bunyakovsky implica que, para cada n , hay infinitos b > 1 tales que son primos. Consulte OEIS : A085398 para obtener la lista del b > 1 más pequeño que es primo (el b > 1 más pequeño que es primo es aproximadamente , donde es la constante de Euler-Mascheroni y es la función totiente de Euler ). Véase también OEIS : A206864 para la lista de los números primos más pequeños de la forma con n > 2 y b > 1 y, de manera más general, OEIS : A206942 , para los enteros positivos más pequeños de esta forma. ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \varphi (n)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$

Aplicaciones

Utilizando , se puede dar una prueba elemental de la infinidad de números primos congruentes con 1 módulo n , ^[14] que es un caso especial del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Ver también

• campo ciclotómico
• factorización aurifeuilleana
• Raíz de la unidad

Referencias

1. Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, p. 465 §18, ISBN 978-0-387-72828-5
2. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A013595", La enciclopedia en línea de secuencias enteras , Fundación OEIS
3. Brookfield, Gary (2016), "Los coeficientes de los polinomios ciclotómicos", Mathematics Magazine , 89 (3): 179–188, doi :10.4169/math.mag.89.3.179, JSTOR  10.4169/math.mag.89.3.179 , señor  3519075
4. Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556
5. Cox, David A. (2012), "Ejercicio 12", Teoría de Galois (2ª ed.), John Wiley & Sons, p. 237, doi :10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
6. Weisstein, Eric W. , "Polinomio ciclotómico", MathWorld
7. Sanna, Carlo (2021), "Una encuesta sobre coeficientes de polinomios ciclotómicos", arXiv : 2111.04034 [math.NT]
8. Isaacs, Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado , Librería AMS, p. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2
9. Maier, Helmut (2008), "Anatomía de números enteros y polinomios ciclotómicos", en De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrés ; Luca, Florian (eds.), Anatomía de los números enteros. Basado en el taller de CRM, Montreal, Canadá, 13 al 17 de marzo de 2006 , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl  1186.11010
10. Gauss, DA, artículos 356-357
11. Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos de factorización (2ª ed.), Boston: Birkhäuser, págs. 309–316, 436, 443, ISBN 0-8176-3743-5
12. Beiter, Marion (abril de 1968), "Magnitud de los coeficientes del polinomio ciclotómico ", The American Mathematical Monthly , 75 (4): 370–372, doi :10.2307/2313416, JSTOR  2313416 ${\displaystyle F_{pqr}(x)}$
13. Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Campos finitos (2ª ed.), Cambridge University Press, p. sesenta y cinco.
14. S. Shirali. Teoría de los números . Orientar Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1 

Otras lecturas

El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae ha sido traducido del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus artículos sobre teoría de números: todas las pruebas de la reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801], Disquisitiones Arithmeticae , traducido al inglés por Clarke, Arthur A. (2ª ed. corr.), Nueva York: Springer , ISBN 0387962549
• Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801], Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) , traducido al alemán por Maser, H. (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-642-08628-1

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Polinomio ciclotómico", MathWorld
• "Polinomios ciclotómicos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Secuencia OEIS A013595 (Triángulo de coeficientes del polinomio ciclotómico Phi_n(x) (exponentes en orden creciente))
• Secuencia OEIS A013594 (orden más pequeño de polinomio ciclotómico que contiene n o −n como coeficiente)