Conjetura de Bunyakovsky

La conjetura de Bunyakovsky (o conjetura de Bouniakowsky ) da un criterio para que un polinomio en una variable con coeficientes enteros dé infinitos valores primos en la secuencia. Fue afirmado en 1857 por el matemático ruso Viktor Bunyakovsky . Las siguientes tres condiciones son necesarias para tener la propiedad productora de prima deseada: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots .}$ ${\displaystyle f(x)}$

1. El coeficiente principal es positivo ,
2. El polinomio es irreducible sobre los racionales (y los enteros), y
3. No existe un factor común para todos los infinitos valores . (En particular, los coeficientes de deben ser primos relativos. No es necesario que los valores f(n) sean primos relativos por pares.) ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots }$ ${\displaystyle f(x)}$

La conjetura de Bunyakovsky es que estas condiciones son suficientes: si satisface (1)–(3), entonces es primo para una infinidad de números enteros positivos . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

Una afirmación aparentemente más débil pero equivalente a la conjetura de Bunyakovsky es que para cada polinomio entero que satisface (1)–(3), es primo para al menos un entero positivo : pero entonces, dado que el polinomio trasladado todavía satisface (1)–(3) , en vista de la afirmación más débil, es primo para al menos un número entero positivo , por lo que de hecho es primo para una infinidad de números enteros positivos . La conjetura de Bunyakovsky es un caso especial de la hipótesis H de Schinzel , uno de los problemas abiertos más famosos de la teoría de números. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x+n)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

Discusión de tres condiciones.

La primera condición es necesaria porque si el coeficiente principal es negativo para todos los números grandes y, por lo tanto, no es un número primo (positivo) para los números enteros positivos grandes . (Esto simplemente satisface la convención de signos de que los números primos son positivos). ${\displaystyle f(x)<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

La segunda condición es necesaria porque si los polinomios y tienen coeficientes enteros, entonces tenemos para todos los números enteros ; pero y toma los valores 0 y solo un número finito de veces, por lo que es compuesto para todos los grandes . ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$

La segunda condición también falla para los polinomios reducibles sobre los racionales.

Por ejemplo, el polinomio con valores enteros no satisface la condición (2) ya que , por lo que al menos uno de los dos últimos factores debe ser divisor de para ser primo, lo cual se cumple solo si . Los valores correspondientes son , por lo que estos son los únicos primos para integral ya que todos estos números son primos. Este no es un contraejemplo de la conjetura de Bunyakovsky ya que la condición (2) falla. ${\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot x^{4}+(11/12)\cdot x^{2}+2}$ ${\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot (x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\cdot (x^{2}+3)\cdot (x^{2}+8)}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle |x|\leq 3}$ ${\displaystyle 2,3,7,17}$ ${\displaystyle x}$

La tercera condición, que los números tengan mcd 1, es obviamente necesaria, pero es algo sutil y se entiende mejor con un contraejemplo. Considere , que tiene un coeficiente principal positivo y es irreducible, y los coeficientes son primos relativos; sin embargo, es par para todos los números enteros , por lo que es primo sólo un número finito de veces (es decir, en , cuando ). ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,-1}$ ${\displaystyle f(n)=2}$

En la práctica, la forma más sencilla de verificar la tercera condición es encontrar un par de números enteros positivos tales que y sean primos relativos . En general, para cualquier polinomio con valores enteros podemos usar for any integer , por lo que el mcd viene dado por valores de en cualquier número entero consecutivo. ^[1] En el ejemplo anterior, tenemos y entonces el mcd es , lo que implica que tiene valores pares en los números enteros. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}}$ ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{2}+x+2}$

Alternativamente, cuando un polinomio entero se escribe en base a polinomios de coeficientes binomiales : cada coeficiente es un número entero y En el ejemplo anterior, esto es: y los coeficientes en el lado derecho de la ecuación tienen mcd 2. ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).}$ $${\displaystyle x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2,}$$

Usando esta fórmula mcd, se puede demostrar si y solo si hay números enteros positivos y tales que y son primos relativos. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle f(n)}$

Ejemplos

Un polinomio cuadrático simple

Algunos valores primos del polinomio se enumeran en la siguiente tabla. (Valores de la forma OEIS secuencia A005574; los de la forma A002496.) ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$

Que debería ser primo infinitamente a menudo es un problema planteado por primera vez por Euler, y también es la quinta conjetura de Hardy-Littlewood y el cuarto de los problemas de Landau . A pesar de la extensa evidencia numérica ^[2], no se sabe que esta secuencia se extienda indefinidamente. ${\displaystyle n^{2}+1}$

Polinomios ciclotómicos

Los polinomios ciclotómicos para satisfacen las tres condiciones de la conjetura de Bunyakovsky, por lo que para todo k , debería haber infinitos números naturales n tales que sean primos. Se puede demostrar ^{[ cita necesaria ]} que si para todo k existe un número entero n > 1 con primo, entonces para todo k hay infinitos números naturales n con primo. ${\displaystyle \Phi _{k}(x)}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$

La siguiente secuencia da el número natural más pequeño n > 1 tal que es primo, para : ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2,... (secuencia A085398 en el OEIS ).

Se sabe que esta secuencia contiene algunos términos grandes: el término 545 es 2706, el 601 es 2061 y el 943 es 2042. Este caso de la conjetura de Bunyakovsky se cree ampliamente, pero nuevamente no se sabe que la secuencia se extiende indefinidamente.

Por lo general, hay un número entero entre 2 y (donde está la función totiente de Euler , también lo es el grado de ) tal que es primo, ^{[ cita necesaria ]} pero hay excepciones; los primeros son: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi (k)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (k)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

Resultados parciales: sólo el teorema de Dirichlet

Hasta la fecha, el único caso de la conjetura de Bunyakovsky que se ha demostrado es el de los polinomios de grado 1. Se trata del teorema de Dirichlet , que establece que cuando y son enteros primos relativos hay infinitos números primos . Esta es la conjetura de Bunyakovsky para (o si ). La tercera condición en la conjetura de Bunyakovsky para un polinomio lineal es equivalente a y ser primo relativo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p\equiv a{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle f(x)=a+mx}$ ${\displaystyle a-mx}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle mx+a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

No se prueba ningún caso único de la conjetura de Bunyakovsky para un grado mayor que 1, aunque la evidencia numérica en un grado superior es consistente con la conjetura.

Conjetura generalizada de Bunyakovsky

Dados polinomios con grados positivos y coeficientes enteros, cada uno de los cuales satisface las tres condiciones, supongamos que para cualquier primo existe un tal que ninguno de los valores de los polinomios en es divisible por . Dadas estas suposiciones, se conjetura que hay infinitos números enteros positivos tales que todos los valores de estos polinomios en son primos. ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=n}$

Tenga en cuenta que los polinomios no satisfacen el supuesto, ya que uno de sus valores debe ser divisible por 3 para cualquier número entero . Tampoco , ya que uno de los valores debe ser divisible por 3 para cualquiera . Por otro lado, satisface el supuesto y la conjetura implica que los polinomios tienen valores primos simultáneos para una infinidad de números enteros positivos . ${\displaystyle \{x,x+2,x+4\}}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \{x,x^{2}+2\}}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \{x^{2}+1,3x-1,x^{2}+x+41\}}$ ${\displaystyle x=n}$

Esta conjetura incluye como casos especiales la conjetura de los primos gemelos (cuando , y los dos polinomios son y ) así como la infinidad de cuatrillizos primos (cuando , y los cuatro polinomios son , y ), primos sexys (cuando , y los dos polinomios son y ), los primos de Sophie Germain (cuando , y los dos polinomios son y ), y la conjetura de Polignac (cuando , y los dos polinomios son y , con cualquier número par). Cuando todos los polinomios tienen grado 1 esta es la conjetura de Dickson . ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+2}$ ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle x,x+2,x+6}$ ${\displaystyle x+8}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+6}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x+1}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+a}$ ${\displaystyle a}$

De hecho, esta conjetura equivale a la conjetura generalizada de Dickson .

Excepto el teorema de Dirichlet , ningún caso de la conjetura ha sido demostrado, incluidos los casos anteriores.

Ver también

• Polinomio de valores enteros
• Criterio de irreductibilidad de Cohn
• Hipótesis de Schinzel H
• Conjetura de Bateman-Horn
• Conjetura F de Hardy y Littlewood

Referencias

1. Hensel, Kurt (1896). "Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1896 (116): 350–356. doi :10.1515/crll.1896.116.350. S2CID  118266353.
2. Wolf, Marek (2013), "Algunas conjeturas sobre números primos de la forma m2 + 1" (PDF) , Journal of Combinatorics and Number Theory , 5 : 103–132

Bibliografía

• Ed Pegg, Jr. "Conjetura de Bouniakowsky". MundoMatemático .
• Rupert, Wolfgang M. (5 de agosto de 1998). "Reducibilidad de polinomios f ( x , y ) módulo p ". arXiv : matemáticas/9808021 .
• Bouniakowsky, V. (1857). "Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières". Mém. Acad. Carolina del Sur. San Petersburgo . 6 : 305–329.