Un primo gemelo es un número primo que es 2 menos o 2 más que otro número primo; por ejemplo, cualquiera de los miembros del par de primos gemelos (17, 19) o (41, 43) . En otras palabras, un primo gemelo es un primo que tiene una brecha entre primos de dos. A veces, el término primo gemelo se utiliza para un par de primos gemelos; un nombre alternativo para esto es gemelo primo o par primo .
Los primos gemelos se vuelven cada vez más raros a medida que se examinan rangos más grandes, de acuerdo con la tendencia general de que las brechas entre primos adyacentes crezcan a medida que los números mismos aumentan. Sin embargo, se desconoce si hay infinitos primos gemelos (la llamada conjetura de los primos gemelos ) o si existe un par más grande. El innovador trabajo [1] de Yitang Zhang en 2013, así como el trabajo de James Maynard , Terence Tao y otros, han logrado avances sustanciales hacia la demostración de que hay infinitos primos gemelos, pero en la actualidad esto sigue sin resolverse. [2]
¿Existen infinitos primos gemelos?
Por lo general, el par (2, 3) no se considera un par de primos gemelos. [3] Dado que 2 es el único primo par, este par es el único par de números primos que difieren en uno; por lo tanto, los primos gemelos están lo más espaciados posible para otros dos primos cualesquiera.
Los primeros pares de primos gemelos son
Cinco es el único primo que pertenece a dos pares, ya que cada par de primos gemelos mayor que (3, 5) tiene la forma de algún número natural n ; es decir, el número entre los dos primos es múltiplo de 6. [4] Como resultado, la suma de cualquier par de primos gemelos (distintos de 3 y 5) es divisible por 12.
En 1915, Viggo Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos era convergente . [5] Este famoso resultado, llamado teorema de Brun , fue el primer uso del tamiz de Brun y ayudó a iniciar el desarrollo de la teoría moderna del tamiz . La versión moderna del argumento de Brun se puede utilizar para demostrar que el número de primos gemelos menores que N no excede
para alguna constante absoluta C > 0. [6] De hecho, está acotado arriba por
La cuestión de si existen infinitos primos gemelos ha sido una de las grandes cuestiones abiertas en la teoría de números durante muchos años. Este es el contenido de la conjetura de los primos gemelos , que establece que hay infinitos números primos p tales que p + 2 también es primo. En 1849, de Polignac hizo la conjetura más general de que para cada número natural k , hay infinitos números primos p tales que p + 2 k también es primo. [8] El caso k = 1 de la conjetura de de Polignac es la conjetura de los primos gemelos.
Una forma más fuerte de la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood (ver más abajo), postula una ley de distribución para los primos gemelos similar al teorema de los números primos .
El 17 de abril de 2013, Yitang Zhang anunció una prueba de que para algún número entero N menor que 70 millones, hay infinitos pares de números primos que difieren en N. [9] El artículo de Zhang fue aceptado a principios de mayo de 2013. [10] Posteriormente, Terence Tao propuso un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polymath para optimizar el límite de Zhang. [11]
A partir del 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang, el límite se redujo a 246. [12] Estos límites mejorados se descubrieron utilizando un enfoque diferente que era más simple que el de Zhang y fue descubierto de forma independiente por James Maynard y Terence Tao . Este segundo enfoque también proporcionó límites para el f ( m ) más pequeño necesario para garantizar que infinitos intervalos de ancho f ( m ) contengan al menos m números primos. Además (ver también la siguiente sección), asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki de Polymath Project afirma que el límite es 12 y 6, respectivamente. [12]
Un fortalecimiento de la conjetura de Goldbach , si se demuestra, también demostraría que existe un número infinito de primos gemelos, al igual que la existencia de ceros de Siegel .
En 1940, Paul Erdős demostró que existe una constante c < 1 e infinitos números primos p tales que p ′ − p < c ln p donde p′ denota el siguiente primo después de p . Lo que esto significa es que podemos encontrar infinitos intervalos que contienen dos números primos ( p , p ′) siempre que dejemos que estos intervalos crezcan lentamente en tamaño a medida que nos movemos hacia números primos cada vez más grandes. En este caso, "crecer lentamente" significa que la longitud de estos intervalos puede crecer de forma logarítmica . Este resultado fue mejorando sucesivamente; en 1986 Helmut Maier demostró que se puede utilizar una constante c < 0,25 . En 2004, Daniel Goldston y Cem Yıldırım demostraron que la constante podía mejorarse aún más hasta c = 0,085786... . En 2005, Goldston , Pintz y Yıldırım establecieron que c puede elegirse para que sea arbitrariamente pequeño, [13] [14] es decir
Por otro lado, este resultado no descarta que no pueda haber infinitos intervalos que contengan dos primos si solo permitimos que los intervalos crezcan en tamaño como, por ejemplo, c ln ln p .
Al asumir la conjetura de Elliott-Halberstam o una versión ligeramente más débil, pudieron demostrar que hay infinitos n tales que al menos dos de n , n + 2 , n + 6 , n + 8 , n + 12 , n + 18 o n + 20 son primos. Bajo una hipótesis más fuerte, demostraron que para una cantidad infinita de n , al menos dos de n , n + 2 , n + 4 y n + 6 son primos.
El resultado de Yitang Zhang ,
es una mejora importante con respecto al resultado de Goldston-Graham-Pintz-Yıldırım. La optimización del límite de Zhang por parte del Proyecto Polymath y el trabajo de Maynard han reducido el límite: el límite inferior es como máximo 246. [15] [16]
La primera conjetura de Hardy-Littlewood (llamada así en honor a GH Hardy y John Littlewood ) es una generalización de la conjetura de los primos gemelos. Se ocupa de la distribución de constelaciones de primos , incluidos los primos gemelos, en analogía con el teorema de los números primos . Denotemos el número de primos p ≤ x tales que p + 2 también es primo. Defina la constante prima gemela C 2 como [17]
La conjetura puede justificarse (pero no probarse) suponiendo que describe la función de densidad de la distribución prima. Esta suposición, sugerida por el teorema de los números primos, implica la conjetura de los primos gemelos, como se muestra en la fórmula anterior .
La primera conjetura completamente general de Hardy-Littlewood sobre k -tuplas primas (no proporcionada aquí) implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es falsa.
Esta conjetura ha sido ampliada por la conjetura de Dickson .
La conjetura de Polignac de 1849 establece que para cada entero par positivo k , hay infinitos pares de primos consecutivos p y p′ tales que p ′ − p = k (es decir, hay infinitos espacios entre primos de tamaño k ). El caso k = 2 es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k , pero el resultado de Zhang demuestra que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k . De hecho, si tal k no existiera, entonces para cualquier número natural par positivo N hay como mucho un número finito de n tales que para todo m < N y así para n lo suficientemente grande tenemos lo que contradeciría el resultado de Zhang. [8]
A partir de 2007, dos proyectos de computación distribuida , Twin Prime Search y PrimeGrid , han producido varios twin prime de tamaño récord. En agosto de 2022 [update], el par de primos gemelos más grande actual conocido es 2996863034895 × 2 1290000 ± 1, [18] con 388,342 dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre de 2016. [19]
Hay 808.675.888.577.436 pares de primos gemelos por debajo de 1018 . [20] [21]
Un análisis empírico de todos los pares de primos hasta 4,35 × 1015 muestra que si el número de pares menores que x es f ( x ) · x /(log x ) 2 entonces f ( x ) es aproximadamente 1,7 para x pequeña y disminuye hacia aproximadamente 1,3 cuando x tiende a infinito.el valor límite de f ( x ) es igual al doble de la constante prima gemela ( OEIS : A114907 ) (que no debe confundirse con la constante de Brun ), según la conjetura de Hardy-Littlewood.
Cada tercer número impar es divisible por 3 y, por lo tanto, tres números impares sucesivos no pueden ser primos a menos que uno de ellos sea 3. Por lo tanto, cinco es el único primo que forma parte de dos pares de primos gemelos. El miembro inferior de un par es, por definición, un primo Chen .
Se ha demostrado [22] que el par ( m , m + 2) es primo gemelo si y sólo si
Si m − 4 o m + 6 también es primo, entonces los tres primos se llaman triplete primo .
Para un par de primos gemelos de la forma (6 n − 1, 6 n + 1) para algún número natural n > 1, n debe terminar en el dígito 0, 2, 3, 5, 7 u 8 ( OEIS : A002822 ) .
Un primo aislado (también conocido como primo simple o primo no gemelo ) es un número primo p tal que ni p − 2 ni p + 2 son primos. En otras palabras, p no es parte de un par de primos gemelos. Por ejemplo, 23 es un primo aislado, ya que 21 y 25 son ambos compuestos .
Los primeros primos aislados son
Del teorema de Brun se deduce que casi todos los números primos están aislados en el sentido de que la relación entre el número de números primos aislados menores que un umbral dado n y el número de todos los números primos menores que n tiende a 1 cuando n tiende a infinito.
[De la pág. 400]
"1
er
Théorème.
Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières ..."
(1er Teorema. Todo número par es igual a la diferencia de dos números primos consecutivos en un infinito de varias maneras ...)
![{\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d0e9f973c16b61d8e6bc1d9039bd47fdefc622)
