brecha principal

Diferencia entre dos números primos sucesivos

Distribución de frecuencias de brechas preferenciales para primos de hasta 1.600 millones. Los picos ocurren en múltiplos de 6. ^[1]

Una brecha prima es la diferencia entre dos números primos sucesivos . La n -ésima brecha de primos, denotada g _n o g ( p _n ) es la diferencia entre los ( n  + 1) -st y los n -ésimos números primos, es decir

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

Tenemos g ₁ = 1, g ₂ = g ₃ = 2 y g ₄ = 4. La secuencia ( g _n ) de espacios primos se ha estudiado ampliamente; sin embargo, muchas preguntas y conjeturas siguen sin respuesta.

Las primeras 60 brechas principales son:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,... (secuencia A001223 en el OEIS ).

Por la definición de g _n, todo primo se puede escribir como

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

Observaciones simples

La primera brecha, la más pequeña y la única prima impar , es la brecha de tamaño 1 entre 2, el único número primo par, y 3, el primer número primo impar. Todas las demás diferencias entre primos son iguales. Sólo hay un par de espacios consecutivos que tienen longitud 2: los espacios g ₂ y g ₃ entre los números primos 3, 5 y 7.

Para cualquier número entero n , el factorial n ! es el producto de todos los números enteros positivos hasta n inclusive . Luego en la secuencia

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n}$

el primer término es divisible por 2, el segundo término es divisible por 3, y así sucesivamente. Por lo tanto, esta es una secuencia de n − 1 enteros compuestos consecutivos , y debe pertenecer a un espacio entre primos que tengan una longitud al menos n . De ello se deduce que hay espacios entre números primos que son arbitrariamente grandes, es decir, para cualquier número entero N , hay un número entero m con g _m ≥ N.

Sin embargo, las brechas entre primos de n números pueden ocurrir en números mucho más pequeños que n !. Por ejemplo, el primer espacio primo de tamaño mayor que 14 ocurre entre los primos 523 y 541, mientras que 15! es el número mucho mayor 1307674368000.

La brecha promedio entre los primos aumenta a medida que el logaritmo natural de estos primos y, por lo tanto, la relación entre la brecha de los primos y los primos involucrados disminuye (y es asintóticamente cero). Esta es una consecuencia del teorema de los números primos . Desde una visión heurística, esperamos que la probabilidad de que la relación entre la longitud de la brecha y el logaritmo natural sea mayor o igual a un número positivo fijo k sea e ^{− k} ; en consecuencia, la relación puede ser arbitrariamente grande. De hecho, la relación entre la brecha y el número de dígitos de los números enteros involucrados aumenta sin límite. Esto es consecuencia de un resultado de Westzynthius. ^[2]

En la dirección opuesta, la conjetura de los primos gemelos postula que g _n = 2 para una infinidad de números enteros n .

Los resultados numéricos

Por lo general, la relación de se llama mérito de la brecha g _n . En abril de 2022 , la brecha principal más grande conocida con extremos de brecha principal probable identificados tiene una longitud de 7186572, con primos probables de 208095 dígitos y mérito M  = 14,9985, encontrado por Michiel Jansen utilizando un programa de tamiz desarrollado por JK Andersen. ^{[3] [4]} La brecha principal más grande conocida con primos probados identificados como extremos de la brecha tiene una longitud de 1113106 y un mérito de 25,90, con primos de 18662 dígitos encontrados por P. Cami, M. Jansen y JK Andersen. ^{[5] [6]} ${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$^[actualizar]

En septiembre de 2022 ^[actualizar], el valor de mérito más grande conocido y el primero con mérito superior a 40, según lo descubierto por la red Gapcoin, es 41,93878373 con el número primo de 87 dígitos 2​9​3​7​0​3​2​3​4 0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​ 6​3​4​2​5​7​0​9​0​7​5​5​7​4​8​1​1​7​6​2​0​9​8​5​8​ 8​7​9​8​2​1​7​8​9​5​7​2​8​8​5​8​6​7​6​7​2​8​1​4​3​ 2​2​7. La brecha entre este y el siguiente primo es 8350. ^{[7] [8]}

La relación Cramér-Shanks-Granville es la relación de g _n / (ln( p _n )) ² . ^[7] Si descartamos valores anormalmente altos de la relación para los primos 2, 3, 7, entonces el mayor valor conocido de esta relación es 0,9206386 para el primo 1693182318746371. Se pueden encontrar otros términos de registro en OEIS : A111943 .

Decimos que g _n es una brecha máxima , si g _m < g _n para todo m < n . En diciembre de 2023 ^[actualizar], la brecha principal máxima más grande conocida tiene una longitud de 1552, encontrada por Craig Loizides. Es la 81.ª brecha entre primos máxima y ocurre después del primo 18470057946260698231. ^[12] Otros tamaños de brechas (máximos) récord se pueden encontrar en OEIS : A005250 , con los primos correspondientes p _n en OEIS : A002386 , y los valores de n en OEIS : A005669 . Se conjetura que la secuencia de espacios máximos hasta el nésimo primo tiene aproximadamente términos ^[13] (consulte la tabla a continuación). ${\displaystyle 2\ln n}$

Otros resultados

Límites superiores

El postulado de Bertrand , probado en 1852, establece que siempre hay un número primo entre k y 2 k , por lo que en particular p _{n  +1}  < 2 p _n , lo que significa g _n  <  p _n  .

El teorema de los números primos , demostrado en 1896, dice que la longitud promedio de la brecha entre un primo p y el siguiente primo se aproximará asintóticamente a ln( p ), el logaritmo natural de p , para primos suficientemente grandes. La longitud real de la brecha podría ser mucho mayor o menor que esto. Sin embargo, se puede deducir del teorema de los números primos un límite superior para la longitud de los espacios entre primos:

Para cada hay un número tal que para todos ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$.

También se puede deducir que las brechas se vuelven arbitrariamente más pequeñas en proporción a los números primos: el cociente

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

Hoheisel (1930) fue el primero en demostrar ^[14] que existe una constante θ < 1 tal que

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

por lo tanto mostrando que

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}$

para n suficientemente grande  .

Hoheisel obtuvo el valor posible 32999/33000 para θ . Esto fue mejorado a 249/250 por Heilbronn , ^[15] y a θ = 3/4 + ε, para cualquier ε > 0, por Chudakov . ^[dieciséis]

Una mejora importante se debe a Ingham , ^[17] quien demostró que para alguna constante positiva c ,

si entonces para cualquier ${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$ ${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$ ${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

Aquí, O se refiere a la notación O grande , ζ denota la función zeta de Riemann y π la función de conteo de primos . Sabiendo que cualquier c > 1/6 es admisible, se obtiene que θ puede ser cualquier número mayor que 5/8.

Una consecuencia inmediata del resultado de Ingham es que siempre hay un número primo entre n ³ y ( n  + 1) ³ , si n es suficientemente grande. ^[18] La hipótesis de Lindelöf implicaría que la fórmula de Ingham es válida para c cualquier número positivo: pero incluso esto no sería suficiente para implicar que hay un número primo entre n ² y ( n  + 1) ² para n suficientemente grande (ver la hipótesis de Legendre). conjetura ). Para verificar esto, se necesitaría un resultado más sólido como la conjetura de Cramér .

Huxley en 1972 demostró que se puede elegir θ = 7/12 = 0,58(3). ^[19]

Un resultado, debido a Baker, Harman y Pintz en 2001, muestra que θ puede considerarse igual a 0,525. ^[20]

En 2005, Daniel Goldston , János Pintz y Cem Yıldırım demostraron que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

y 2 años después mejoró esto ^[21] a

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

En 2013, Yitang Zhang demostró que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

es decir, hay infinitas lagunas que no superan los 70 millones. ^[22] Un esfuerzo colaborativo del Proyecto Polymath para optimizar el límite de Zhang logró reducir el límite a 4680 el 20 de julio de 2013. ^[23] En noviembre de 2013, James Maynard introdujo un nuevo refinamiento del tamiz GPY , permitiéndole reducir el límite a 600 y demuestre que para cualquier m existe un intervalo acotado con un número infinito de traslaciones, cada una de las cuales contiene m números primos. ^[24] Utilizando las ideas de Maynard, el proyecto Polymath mejoró el límite a 246; ^{[23] [25]} asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, el límite se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. ^[23]

límites inferiores

En 1931, Erik Westzynthius demostró que las brechas máximas de primos crecen más que logarítmicamente. Es decir, ^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

En 1938, Robert Rankin demostró la existencia de una constante c  > 0 tal que la desigualdad

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

es válido para infinitos valores de n , mejorando los resultados de Westzynthius y Paul Erdős . Más tarde demostró que se puede tomar cualquier constante c  <  e ^γ , donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . El valor de la constante c se mejoró en 1997 a cualquier valor inferior a 2 e ^γ . ^[26]

Paul Erdős ofreció un premio de 10.000 dólares por demostrar o refutar que la constante c en la desigualdad anterior puede tomarse arbitrariamente grande. ^[27] Ford–Green–Konyagin–Tao y, de forma independiente, James Maynard demostraron que esto era correcto en 2014. ^{[28] [29]}

El resultado se mejoró aún más para

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

para infinitos valores de n por Ford-Green-Konyagin-Maynard-Tao. ^[30]

Siguiendo el espíritu del premio original de Erdős, Terence Tao ofreció 10.000 dólares por una prueba de que c puede tomarse arbitrariamente grande en esta desigualdad. ^[31]

También se han determinado los límites inferiores de las cadenas de números primos. ^[32]

Conjeturas sobre brechas entre números primos

Función de brecha principal

Es posible obtener resultados aún mejores con la hipótesis de Riemann . Harald Cramér demostró ^[33] que la hipótesis de Riemann implica que la brecha g _n satisface

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

usando la notación O grande . (De hecho, este resultado sólo necesita la hipótesis más débil de Lindelöf , si se puede tolerar un exponente infinitamente mayor. ^[34] ) Más tarde, conjeturó que las brechas son aún más pequeñas. En términos generales, la conjetura de Cramér establece que

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!.}$

La conjetura de Firoozbakht establece que (donde está el n- ésimo primo) es una función estrictamente decreciente de n , es decir, ${\displaystyle p_{n}^{1/n}\!}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}$

Si esta conjetura es cierta, entonces la función satisface ^[35] Implica una forma fuerte de la conjetura de Cramér pero es inconsistente con las heurísticas de Granville y Pintz ^{[36] [37] [38]} que sugieren que infinitamente a menudo para cualquier donde denota el Constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.}$ ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \gamma }$

Mientras tanto, la conjetura de Oppermann es más débil que la conjetura de Cramér. El tamaño de la brecha esperado con la conjetura de Oppermann es del orden de

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

Como resultado, bajo la conjetura de Oppermann existe (probablemente ) para el cual todo número natural satisface ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=30}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

La conjetura de Andrica , que es una conjetura más débil que la de Oppermann, establece que ^[39]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Esto refuerza ligeramente la conjetura de Legendre de que entre números cuadrados sucesivos siempre hay un primo.

La conjetura de Polignac establece que todo número par positivo k ocurre como una brecha prima infinitamente a menudo. El caso k  = 2 es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de  k , pero las mejoras en el resultado de Zhang analizadas anteriormente demuestran que es cierta para al menos un valor (actualmente desconocido) de k  ≤ 246.

Como función aritmética

La brecha g _n entre los  números primos n -ésimo y ( n + 1) es un ejemplo de función aritmética . En este contexto, generalmente se denota como d _n y se llama función de diferencias primas. ^[39] La función no es multiplicativa ni aditiva .

Ver también

• Portal de matemáticas

• La desigualdad de Bonse
• foso gaussiano
• gemelo primo

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

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