Tamiz Goldston-Pintz-Yıldırım

La criba Goldston-Pintz-Yıldırım (también llamada criba GPY o método GPY ) es un método de criba y una variante de la criba Selberg con pesos de criba generalizados y multidimensionales. La criba condujo a una serie de avances importantes en la teoría analítica de números .

Recibe su nombre en honor a los matemáticos Dan Goldston , János Pintz y Cem Yıldırım . ^[1] Lo utilizaron en 2005 para demostrar que hay infinitas tuplas de primos cuyas distancias son arbitrariamente más pequeñas que la distancia promedio que se desprende del teorema de los números primos .

El tamiz fue modificado luego por Yitang Zhang para probar un límite finito en la brecha más pequeña entre dos primos consecutivos que se alcanza infinitamente a menudo. ^[2] Más tarde, el tamiz fue modificado nuevamente por James Maynard (quien redujo el límite a ^[3] ) y por Terence Tao . ${\displaystyle 600}$

Tamiz Goldston-Pintz-Yıldırım

Notación

Fije a y la siguiente notación: ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

• ${\displaystyle \mathbb {P} }$es el conjunto de números primos y la función característica de ese conjunto, ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)}$
• ${\displaystyle \Lambda (n)}$es la función de von Mangoldt ,
• ${\displaystyle \omega (n)}$es la función omega prima pequeña (que cuenta los factores primos distintos de ) ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$es un conjunto de números enteros no negativos distintos . ${\displaystyle h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}}$
• ${\displaystyle \theta (n)}$es otra función característica de los primos definida como

${\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que . ${\displaystyle \theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)}$

Para un también definimos ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})}$,
• ${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$
• ${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})}$es la cantidad de clases de residuos distintos de módulo . Por ejemplo y porque y . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu _{3}(\{0,2,4\})=3}$ ${\displaystyle \nu _{3}(\{0,2\})=2}$ ${\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}}$ ${\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}}$

Si es para todos , entonces lo llamamos admisible. ${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<k}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Construcción

Sea admisible y considérese la siguiente función de cribado ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0,}$

donde es una función de peso que derivamos más adelante. ${\displaystyle w(n)}$

Para cada uno de ellos, esta función de cribado cuenta los primos de la forma menos algún umbral , por lo que si entonces existen algunos tales que al menos sean números primos en . ${\displaystyle n\in [N+1,2N]}$ ${\displaystyle n+h_{i}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor c\rfloor +1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$

Dado que no tiene propiedades analíticas tan buenas, se elige la siguiente función de cribado ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}$

Como y , tenemos solo si hay al menos dos números primos y . A continuación, tenemos que elegir la función de peso para poder detectar k-tuplas primos . ${\displaystyle \log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)}$ ${\displaystyle c=\log(3n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}>0}$ ${\displaystyle n+h_{i}}$ ${\displaystyle n+h_{j}}$ ${\displaystyle w(n)}$

Derivación de los pesos

Un candidato para la función de peso es la función de von Mangoldt generalizada

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}$

que tiene la siguiente propiedad: si , entonces . Esta función también detecta factores que son potencias primos propios, pero esto se puede eliminar en aplicaciones con un error insignificante. ^{[1] : 826} ${\displaystyle \omega (n)>k}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0}$

Entonces, si es una k-tupla prima, entonces la función ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$

${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}$

no se desvanecerá. El factor es solo para fines computacionales. La función de von Mangoldt (clásica) se puede aproximar con la función de von Mangoldt truncada ${\displaystyle 1/k!}$

${\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}$

donde ahora ya no representa la longitud de sino la posición de truncamiento. Análogamente, aproximamos con ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}$

Por razones técnicas, preferimos aproximar tuplas con primos en múltiples componentes en lugar de solo tuplas con primos e introducir otro parámetro para poder elegir tener o menos factores primos distintos. Esto nos lleva a la forma final. ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ ${\displaystyle k+\ell }$

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }}$

Sin este parámetro adicional se tiene una restricción distinta , pero al introducir este parámetro se obtiene una restricción más flexible . ^{[1] : 827} Por lo tanto, se tiene un tamiz -dimensional para un problema de tamiz -dimensional. ^[4] ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}}$ ${\displaystyle d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R}$ ${\displaystyle d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R}$ ${\displaystyle k+\ell }$ ${\displaystyle k}$

Tamiz Goldston-Pintz-Yıldırım

El tamiz GPY tiene la siguiente forma

${\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k}$

con

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k}$. ^{[1] : 827–829}

Demostración del teorema principal de Goldston, Pintz y Yıldırım

Consideremos y y y definamos . En su artículo, Goldston, Pintz y Yıldırım demostraron en dos proposiciones que, en condiciones adecuadas, dos fórmulas asintóticas de la forma ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})}$ ${\displaystyle 1\leq h_{0}\leq R}$ ${\displaystyle M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}}$

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N}$

y

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N}$

mantenemos, donde son dos constantes, y son dos series singulares cuya descripción omitimos aquí. ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})}$

Finalmente, se pueden aplicar estos resultados para derivar el teorema de Goldston, Pintz y Yıldırım sobre infinitas tuplas de primos cuyas distancias sean arbitrariamente menores que la distancia promedio. ^{[1] : 827–829} ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Referencias

1. Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). "Primos en tuplas I". Anales de Matemáticas . 170 (2): 819–862. doi : 10.4007/anales.2009.170.819 .
2. Zhang, Yitang (2014). "Bounded gaps between primes" (Huecos acotados entre primos). Anales de Matemáticas . 179 : 1121–1174. doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7 .
3. Maynard, James (2015). "Pequeñas brechas entre números primos". Anales de Matemáticas . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . doi :10.4007/annals.2015.181.1.7.
4. Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. (2009). "Pequeñas brechas entre primos o casi primos". Transactions of the American Mathematical Society . 361 (10): 7. arXiv : math/0506067 .