Función omega principal

Número de factores primos de un número natural n

En teoría de números , el omega primo funciona y cuenta el número de factores primos de un número natural. De este modo (pequeño omega) cuenta cada factor primo distinto , mientras que la función relacionada (gran omega) cuenta el número total de factores primos respetando su multiplicidad ( ver función aritmética ). Es decir, si tenemos una factorización prima de la forma para primos distintos ( ), entonces las respectivas funciones omega primas vienen dadas por y . Estas funciones de conteo de factores primos tienen muchas relaciones teóricas de números importantes. ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Propiedades y relaciones

La función es aditiva y es completamente aditiva . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Si se divide al menos una vez, lo contamos solo una vez, por ejemplo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }$

Si se divide por entonces contamos los exponentes, por ejemplo . Como de costumbre, la media es el poder exacto de dividir . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$ ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Si entonces es libre de cuadrados y está relacionado con la función de Möbius por ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Si entonces es una potencia prima y si entonces es un número primo. ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$

Se sabe que el orden promedio de la función divisor satisface . ^[1] ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Como muchas funciones aritméticas, no existe una fórmula explícita para o, pero existen aproximaciones. ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

Una serie asintótica para el orden promedio de viene dada por ^[2] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

donde es la constante de Mertens y son las constantes de Stieltjes . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$

La función está relacionada con las sumas de divisores sobre la función de Möbius y la función de divisor incluyendo las sumas siguientes. ^[3] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

La función característica de los números primos se puede expresar mediante una convolución con la función de Möbius : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Una identidad exacta relacionada con la partición viene dada por ^[5] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

donde está la función de partición , es la función de Möbius , y la secuencia triangular se expande en ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle \mu (n)}$ ${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

en términos del símbolo infinito q-Pochhammer y las funciones de partición restringidas que denotan respectivamente el número de en todas las particiones en un número impar ( par ) de partes distintas. ^[6] ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Continuación al plano complejo.

Se ha encontrado una continuación de , aunque no es analítica en todas partes. ^[7] Tenga en cuenta que se utiliza la función normalizada . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}$

Orden promedio y funciones sumatorias.

Un orden promedio de ambos y es . Cuando es primo, el límite inferior del valor de la función es . De manera similar, si es primordial , entonces la función es tan grande como el orden promedio. Cuando es una potencia de 2 , entonces . ^[8] ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \log \log n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Las asintóticas para las funciones sumatorias sobre , y se calculan respectivamente en Hardy y Wright como ^{[9] [10]} ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

donde es la constante de Mertens y la constante está definida por ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$ ${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

Otras sumas que relacionan las dos variantes de las funciones omega principales incluyen ^[11]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

y

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Ejemplo I: una función sumatoria modificada

En este ejemplo sugerimos una variante de las funciones sumatorias estimadas en los resultados anteriores para valores suficientemente grandes . Luego probamos una fórmula asintótica para el crecimiento de esta función sumatoria modificada derivada de la estimación asintótica de proporcionada en las fórmulas de la subsección principal de este artículo anterior. ^[12] ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Para ser completamente preciso, definamos la función sumatoria con índice impar como

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

donde denota soporte de Iverson . Entonces tenemos eso ${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

La prueba de este resultado se obtiene observando primero que

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

y luego aplicando el resultado asintótico de Hardy y Wright para la función sumatoria sobre , denotada por , de la siguiente forma: ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Ejemplo II: Funciones sumatorias para los llamados momentos factoriales de ω(n)

Los cálculos ampliados en el capítulo 22.11 de Hardy y Wright proporcionan estimaciones asintóticas para la función sumatoria.

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

estimando el producto de estas funciones omega de dos componentes como

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

De manera similar, podemos calcular fórmulas asintóticas de manera más general para las funciones sumatorias relacionadas sobre los llamados momentos factoriales de la función . ${\displaystyle \omega (n)}$

serie dirichlet

Una serie de Dirichlet conocida que involucra la función zeta de Riemann viene dada por ^[13] ${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

También podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

La función es completamente aditiva , donde es fuertemente aditiva (aditiva) . Ahora podemos probar un breve lema de la siguiente forma que implica fórmulas exactas para las expansiones de la serie de Dirichlet sobre ambos y : ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Lema. Supongamos que es una función aritmética fuertemente aditiva definida de manera que sus valores en potencias primas vienen dados por , es decir, para primos y exponentes distintos . La serie de Dirichlet se amplía con ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Prueba. Podemos ver eso

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Esto implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

donde las series y productos correspondientes sean convergentes. En la última ecuación, hemos utilizado la representación del producto de Euler de la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \boxdot }$

El lema implica que para , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}}$

donde es la función zeta prima y es la función lambda de Liouville . ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

La distribución de la diferencia de funciones omega primarias.

La distribución de los distintos valores enteros de las diferencias es regular en comparación con las propiedades semialeatorias de las funciones componentes. Para , define ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

Estas cardinalidades tienen una secuencia correspondiente de densidades límite tales que para ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Estas densidades son generadas por los productos primarios.

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

Con la constante absoluta , las densidades satisfacen ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Compárese con la definición de productos primos definida en la última sección de ^[14] en relación con el teorema de Erdős-Kac .

Ver también

• Función aditiva
• función aritmética
• Teorema de Erdős-Kac
• Función omega (desambiguación)
• número primo
• Entero sin cuadrados

Notas

1. Esta desigualdad se da en la sección 22.13 de Hardy y Wright.
2. SR Finch, Dos series asintóticas, Constantes matemáticas II, Universidad de Cambridge. Prensa, págs. 21-32, [1]
3. Cada uno de estos a partir de la segunda identidad de la lista se cita individualmente en las páginas Convoluciones de funciones aritméticas de Dirichlet , identidad de Menon y otras fórmulas para la función totiente de Euler . La primera identidad es una combinación de dos sumas de divisores conocidos citados en la Sección 27.6 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST.
4. Esto se sugiere como ejercicio en el libro de Apostol. Es decir, escribimos dónde . Podemos formar la serie de Dirichlet sobre dónde está la función zeta prima . Entonces resulta obvio ver que es la función indicadora de los números primos. ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. Esta identidad se prueba en el artículo de Schmidt citado en esta página a continuación.
6. Esta secuencia triangular también aparece de manera destacada en los teoremas de factorización de series de Lambert demostrados por Merca y Schmidt (2017-2018)
7. Hoelscher, Zachary; Palsson, Eyvindur (5 de diciembre de 2020). "Contar particiones restringidas de números enteros en fracciones: simetría y modos de la función generadora y una conexión con ω (t)". La revista PUMP de investigación de pregrado . 3 : 277–307. arXiv : 2011.14502 . ISSN  2576-3725.
8. Para obtener referencias a cada una de estas estimaciones de orden promedio, consulte las ecuaciones (3) y (18) de la referencia de MathWorld y la Sección 22.10-22.11 de Hardy y Wright.
9. Consulte las secciones 22.10 y 22.11 para obtener referencias y derivaciones explícitas de estas estimaciones asintóticas.
10. En realidad, la prueba del último resultado dada en Hardy y Wright sugiere un procedimiento más general para extraer estimaciones asintóticas de los momentos para cualquiera considerando las funciones sumatorias de los momentos factoriales de la forma para casos más generales de . ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ ${\displaystyle m\geq 2}$
11. Hardy y Wright Capítulo 22.11.
12. Nb, esta suma es sugerida por un trabajo contenido en un manuscrito inédito del colaborador de esta página relacionado con el crecimiento de la función de Mertens . Por lo tanto, no se trata simplemente de una estimación vacía y/o trivial obtenida con el fin de exponerla aquí.
13. Esta identidad se encuentra en la Sección 27.4 del Manual de funciones matemáticas del NIST.
14. Rényi, A.; Turán, P. (1958). «Sobre un teorema de Erdös-Kac» (PDF) . Acta Aritmética . 4 (1): 71–84. doi :10.4064/aa-4-1-71-84.

Referencias

• GH Hardy y EM Wright (2006). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
• HL Montgomery y RC Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Schmidt, Maxie (2017). "Teoremas de factorización para productos Hadamard y derivadas de orden superior de funciones generadoras de series de Lambert". arXiv : 1712.00608 [matemáticas.NT].
• Weisstein, Eric. "Factores primos distintos". MundoMatemático . Consultado el 22 de abril de 2018 .

enlaces externos

• OEIS Wiki para tablas y números de secuencia relacionados
• OEIS Wiki sobre factores primos