Teorema de Erdös-Kac

Teorema fundamental de la teoría probabilística de números

En teoría de números , el teorema de Erdős-Kac , llamado así por Paul Erdős y Mark Kac , y también conocido como el teorema fundamental de la teoría probabilística de números , establece que si ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n , entonces, en términos generales, la distribución de probabilidad de

${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}}$

es la distribución normal estándar . ( es la secuencia A001221 en la OEIS ). Esta es una extensión del teorema de Hardy-Ramanujan , que establece que el orden normal de ω ( n ) es log log  n con un error típico de tamaño . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}}$

Declaración precisa

Para cualquier a  <  b fijo ,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\right\}\right)=\Phi (a,b)}$

¿Dónde está la distribución normal (o "gaussiana"), definida como ${\displaystyle \Phi (a,b)}$

${\displaystyle \Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\,dt.}$

De manera más general, si f ( n ) es una función fuertemente aditiva ( ) con para todo primo p , entonces ${\displaystyle \scriptstyle f(p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}})=f(p_{1})+\cdots +f(p_{k})}$ ${\displaystyle \scriptstyle |f(p)|\leq 1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {f(n)-A(n)}{B(n)}}\leq b\right\}\right)=\Phi (a,b)}$

con

${\displaystyle A(n)=\sum _{p\leq n}{\frac {f(p)}{p}},\qquad B(n)={\sqrt {\sum _{p\leq n}{\frac {f(p)^{2}}{p}}}}.}$

La heurística original de Kac

Intuitivamente, la heurística de Kac para el resultado dice que si n es un entero grande elegido al azar, entonces el número de factores primos distintos de n se distribuye aproximadamente de manera normal con media y varianza log  n . Esto se debe al hecho de que, dado un número natural aleatorio n , los eventos "el número n es divisible por algún primo p " para cada p son mutuamente independientes.

Ahora, denotando el evento "el número n es divisible por p " por , considere la siguiente suma de variables aleatorias indicadoras: ${\displaystyle n_{p}}$

${\displaystyle I_{n_{2}}+I_{n_{3}}+I_{n_{5}}+I_{n_{7}}+\ldots }$

Esta suma cuenta cuántos factores primos distintos tiene nuestro número natural aleatorio n . Se puede demostrar que esta suma satisface la condición de Lindeberg y, por lo tanto, el teorema del límite central de Lindeberg garantiza que, después de un reescalado adecuado, la expresión anterior será gaussiana.

La prueba real del teorema, debida a Erdös, utiliza la teoría del tamiz para hacer rigurosa la intuición anterior.

Ejemplos numéricos

El teorema de Erdős-Kac significa que la construcción de un número alrededor de mil millones requiere en promedio tres primos.

Por ejemplo, 1.000.000.003 = 23 × 307 × 141623. La siguiente tabla proporciona un resumen numérico del crecimiento del número promedio de factores primos distintos de un número natural con el aumento de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Una distribución gaussiana en expansión de números primos distintos que ilustra el teorema de Erdos-Kac

Alrededor del 12,6% de los números de 10.000 dígitos se construyen a partir de 10 números primos distintos y alrededor del 68% se construyen a partir de entre 7 y 13 primos.

Una esfera hueca del tamaño del planeta Tierra llena de arena fina tendría alrededor de 10 ³³ granos. Un volumen del tamaño del universo observable tendría alrededor de 10 ⁹³ granos de arena. En un universo así podría haber espacio para 10 ^{185 cuerdas cuánticas.}

Números de esta magnitud (con 186 dígitos) requerirían en promedio sólo 6 primos para su construcción.

Es muy difícil, si no imposible, descubrir empíricamente el teorema de Erdős-Kac, ya que la gaussiana solo aparece cuando empieza a estar alrededor de . Más precisamente, Rényi y Turán demostraron que el mejor límite asintótico uniforme posible para el error en la aproximación a una gaussiana es ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 10^{100}}$ $${\displaystyle O\left({\frac {1}{\sqrt {\log \log n}}}\right).}$$

Referencias

1. Rényi, A.; Turán, P. (1958). «Sobre un teorema de Erdös-Kac» (PDF) . Acta Aritmética . 4 (1): 71–84. doi :10.4064/aa-4-1-71-84.

• Erdős, Paul ; Kac, Mark (1940). "La ley gaussiana de errores en la teoría de funciones teóricas de números aditivos". American Journal of Mathematics . 62 (1/4): 738–742. doi :10.2307/2371483. ISSN  0002-9327. JSTOR  2371483. Zbl  0024.10203.
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). "El teorema de Erdős–Kac y sus generalizaciones". En De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13--17 de marzo de 2006 . Actas y notas de conferencias de CRM. Vol. 46. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 209-216. ISBN 978-0-8218-4406-9.Zbl 1187.11024  .
• Kac, Mark (1959). Independencia estadística en probabilidad, análisis y teoría de números . John Wiley and Sons, Inc.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Erdős-Kac". MundoMatemático .
• Timothy Gowers: La importancia de las matemáticas (parte 6, 4 minutos) y (parte 7)