En matemáticas , una razón ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) muestra cuántas veces un número contiene a otro. Por ejemplo, si hay ocho naranjas y seis limones en un plato de fruta, entonces la proporción de naranjas y limones es de ocho a seis (es decir, 8:6, que equivale a la proporción 4:3). De manera similar, la proporción de limones y naranjas es 6:8 (o 3:4) y la proporción de naranjas a la cantidad total de fruta es 8:14 (o 4:7).
Los números en una proporción pueden ser cantidades de cualquier tipo, como recuentos de personas u objetos, o medidas de longitudes, pesos, tiempo, etc. En la mayoría de los contextos, ambos números están restringidos a ser positivos .
Una razón se puede especificar dando ambos números que la constituyen, escritos como " a b " o " a : b ", o dando simplemente el valor de su cociente . a/b. [1] [2] [3] Cocientes iguales corresponden a razones iguales. Un enunciado que expresa la igualdad de dos razones se llama proporción .
En consecuencia, una razón puede considerarse como un par ordenado de números, una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador, o como el valor que denota esta fracción. Las razones de conteos, dadas por números naturales (distintos de cero) , son números racionales y, en ocasiones, pueden ser números naturales.
Una definición más específica adoptada en las ciencias físicas (especialmente en metrología ) de razón es el cociente adimensional entre dos cantidades físicas medidas con la misma unidad . [4] Al cociente de dos cantidades que se miden con unidades diferentes se le puede llamar tasa . [5]
La relación de los números A y B se puede expresar como: [6]
Cuando una proporción se escribe en la forma A : B , el carácter de dos puntos es a veces el signo de puntuación de dos puntos . [8] En Unicode , esto es U+003A : COLON , aunque Unicode también proporciona un carácter de relación dedicado, U+2236 ∶ RATIO . [9]
Los números A y B a veces se denominan términos de la razón , siendo A el antecedente y B el consecuente . [10]
Un enunciado que expresa la igualdad de dos razones A : B y C : D se llama proporción , [11] escrita como A : B = C : D o A : B ∷ C : D . Esta última forma, cuando se habla o escribe en el idioma inglés, a menudo se expresa como
A , B , C y D se llaman términos de la proporción. A y D se llaman extremos , y B y C se llaman medias . La igualdad de tres o más razones, como A : B = C : D = E : F , se llama proporción continua . [12]
A veces se utilizan proporciones con tres o incluso más términos, por ejemplo, la proporción de las longitudes de los bordes de un " dos por cuatro " que mide diez pulgadas de largo es, por lo tanto,
una buena mezcla de concreto (en unidades de volumen) a veces se cita como
Para una mezcla (bastante seca) de 4/1 partes en volumen de cemento y agua, se podría decir que la proporción de cemento a agua es 4:1, que hay 4 veces más cemento que agua, o que hay un cuarto (1/4) de agua que de cemento.
El significado de tal proporción de razones con más de dos términos es que la razón de dos términos cualesquiera en el lado izquierdo es igual a la razón de los dos términos correspondientes en el lado derecho.
Es posible rastrear el origen de la palabra "ratio" en el griego antiguo λόγος ( logos ). Los primeros traductores tradujeron esto al latín como ratio ("razón"; como en la palabra "racional"). Una interpretación más moderna [ ¿en comparación con? ] del significado de Euclides es más parecido a la computación o el cálculo. [14] Los escritores medievales usaron la palabra proportio ("proporción") para indicar ratio y proporcionalitas ("proporcionalidad") para la igualdad de ratios. [15]
Euclides recopiló los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de la razón y la proporción aplicada a los números. [16] La concepción pitagórica del número incluía sólo lo que hoy se llamaría números racionales, lo que arroja dudas sobre la validez de la teoría en geometría donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen razones inconmensurables (correspondientes a números irracionales ). El descubrimiento de una teoría de proporciones que no asume conmensurabilidad se debe probablemente a Eudoxo de Cnido . La exposición de la teoría de proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la teoría anterior de razones de conmensurables. [17]
La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja ya que las razones se identifican, en gran medida, con los cocientes y sus valores potenciales. Sin embargo, este es un desarrollo comparativamente reciente, como puede verse por el hecho de que los libros de texto de geometría modernos todavía usan terminología y notación distintas para proporciones y cocientes. Las razones para esto son dos: en primer lugar, estaba la renuencia antes mencionada a aceptar los números irracionales como números verdaderos, y en segundo lugar, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para reemplazar la terminología ya establecida de razones retrasó la aceptación total de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI. [18]
El Libro V de los Elementos de Euclides tiene 18 definiciones, todas las cuales se relacionan con proporciones. [19] Además, Euclides utiliza ideas que eran de uso tan común que no incluyó definiciones para ellas. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la "mide" y a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que ésta mide. En terminología moderna, esto significa que un múltiplo de una cantidad es aquella cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno, y una parte de una cantidad (es decir, parte alícuota ) es una parte que, cuando se multiplica por un número entero mayor que uno, da el cantidad.
Euclides no define el término "medida" como se usa aquí. Sin embargo, se puede inferir que si una cantidad se toma como unidad de medida y una segunda cantidad se da como un número entero de estas unidades, entonces la primera cantidad mide la segundo. Estas definiciones se repiten, casi palabra por palabra, como las definiciones 3 y 5 del libro VII.
La definición 3 describe qué es una proporción de manera general. No es riguroso en un sentido matemático y algunos lo han atribuido a los editores de Euclides y no al propio Euclides. [20] Euclides define una razón como entre dos cantidades del mismo tipo , por lo que mediante esta definición se definen las razones de dos longitudes o de dos áreas, pero no la razón de una longitud y un área. La definición 4 hace esto más riguroso. Afirma que existe una razón entre dos cantidades, cuando hay un múltiplo de cada una que excede a la otra. En notación moderna, existe una relación entre las cantidades p y q , si existen números enteros myn tales que mp > q y nq > p . Esta condición se conoce como propiedad de Arquímedes .
La definición 5 es la más compleja y difícil. Define lo que significa que dos proporciones sean iguales. Hoy en día, esto se puede hacer simplemente afirmando que las razones son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero tal definición no habría tenido sentido para Euclides. En notación moderna, la definición de igualdad de Euclides es que dadas las cantidades p , q , r y s , p : q ∷ r : s si y sólo si, para cualesquiera enteros positivos m y n , np < mq , np = mq , o np > mq según nr < ms , nr = ms o nr > ms , respectivamente. [21] Esta definición tiene afinidades con los cortes de Dedekind ya que, con n y q ambos positivos, np representa mq comopag/qrepresenta el número racionalmetro/norte(dividiendo ambos términos por nq ). [22]
La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma razón son proporcionales o en proporción . Euclides utiliza el griego ἀναλόγον (analogon), este tiene la misma raíz que λόγος y está relacionado con la palabra inglesa "analog".
La definición 7 define lo que significa que una razón sea menor o mayor que otra y se basa en las ideas presentes en la definición 5. En notación moderna dice que dadas las cantidades p , q , r y s , p : q > r : s si hay enteros positivos m y n de modo que np > mq y nr ≤ ms .
Al igual que con la definición 3, algunos consideran que la definición 8 es una inserción posterior de los editores de Euclides. Define tres términos p , q y r como proporcionales cuando p : q ∷ q : r . Esto se extiende a cuatro términos p , q , r y s como p : q ∷ q : r ∷ r : s , y así sucesivamente. Las sucesiones que tienen la propiedad de que las razones de los términos consecutivos son iguales se llaman progresiones geométricas . Las definiciones 9 y 10 aplican esto, diciendo que si p , q y r están en proporción, entonces p : r es la proporción duplicada de p : q y si p , q , r y s están en proporción, entonces p : s es la proporción triplicada. de p : q .
En general, una comparación de las cantidades de una razón de dos entidades se puede expresar como una fracción derivada de la razón. Por ejemplo, en una proporción de 2:3, la cantidad, tamaño, volumen o cantidad de la primera entidad es la de la segunda entidad.
Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas y manzanas es 2:3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de fruta es 2:5. Estas proporciones también se pueden expresar en forma de fracción: hay 2/3 de naranjas que de manzanas y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si el concentrado de jugo de naranja se va a diluir con agua en una proporción de 1:4, entonces se mezcla una parte del concentrado con cuatro partes de agua, dando cinco partes en total; la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/5 del líquido total. Tanto en proporciones como en fracciones, es importante tener claro qué se compara con qué, y los principiantes suelen cometer errores por este motivo.
También se pueden inferir fracciones a partir de ratios con más de dos entidades; sin embargo, una razón con más de dos entidades no se puede convertir completamente en una sola fracción, porque una fracción solo puede comparar dos cantidades. Se puede utilizar una fracción separada para comparar las cantidades de dos de las entidades cubiertas por la proporción: por ejemplo, de una proporción de 2:3:7 podemos inferir que la cantidad de la segunda entidad es la de la tercera entidad.
Si multiplicamos todas las cantidades involucradas en una razón por el mismo número, la razón sigue siendo válida. Por ejemplo, una proporción de 3:2 es lo mismo que 12:8. Es habitual reducir los términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien (por ciento ).
Si una mezcla contiene las sustancias A, B, C y D en la proporción 5:9:4:2, entonces hay 5 partes de A por cada 9 partes de B, 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5+9 +4+2=20, la mezcla total contiene 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números por total y multiplicamos por 100, lo hemos convertido a porcentajes : 25% A, 45% B, 20% C y 10% D (equivalente a escribir la proporción como 25:45:20:10).
Si las dos o más cantidades de proporción abarcan todas las cantidades en una situación particular, se dice que "el todo" contiene la suma de las partes: por ejemplo, se hace una canasta de frutas que contiene dos manzanas y tres naranjas y ninguna otra fruta. compuesto por dos partes de manzanas y tres partes de naranjas. En este caso, o el 40% del total son manzanas y o el 60% del total son naranjas. Esta comparación de una cantidad específica con "el todo" se llama proporción.
Si la proporción consta de sólo dos valores, se puede representar como una fracción, en particular como una fracción decimal. Por ejemplo, los televisores más antiguos tienen una relación de aspecto de 4:3 , lo que significa que el ancho es 4/3 del alto (esto también se puede expresar como 1,33:1 o simplemente 1,33 redondeado a dos decimales). Los televisores de pantalla ancha más recientes tienen una relación de aspecto de 16:9, o 1,78 redondeado a dos decimales. Uno de los formatos de películas de pantalla ancha más populares es 2,35:1 o simplemente 2,35. Representar razones como fracciones decimales simplifica su comparación. Al comparar 1,33, 1,78 y 2,35, resulta obvio qué formato ofrece una imagen más amplia. Esta comparación funciona sólo cuando los valores que se comparan son consistentes, como expresar siempre el ancho en relación con el alto.
Las razones se pueden reducir (como lo son las fracciones) dividiendo cada cantidad por los factores comunes de todas las cantidades. En cuanto a las fracciones, se considera la forma más simple aquella en la que los números de la razón son los enteros más pequeños posibles.
Así, la razón 40:60 tiene un significado equivalente a la razón 2:3, esta última se obtiene de la primera dividiendo ambas cantidades por 20. Matemáticamente, escribimos 40:60 = 2:3, o equivalentemente 40:60∷ 2:3. El equivalente verbal es "40 es a 60 como 2 es a 3".
Una razón que tiene números enteros para ambas cantidades y que no se puede reducir más (usando números enteros) se dice que está en su forma más simple o en términos más bajos.
A veces es útil escribir una razón en la forma 1: x o x :1, donde x no es necesariamente un número entero, para permitir comparaciones de diferentes razones. Por ejemplo, la proporción 4:5 se puede escribir como 1:1,25 (dividiendo ambos lados entre 4). Alternativamente, se puede escribir como 0,8:1 (dividiendo ambos lados entre 5).
Cuando el contexto aclara el significado, una proporción en esta forma a veces se escribe sin el 1 y el símbolo de proporción (:), aunque, matemáticamente, esto lo convierte en un factor o multiplicador .
También se pueden establecer relaciones entre cantidades inconmensurables (cantidades cuya relación, como valor de una fracción, equivale a un número irracional ). El primer ejemplo descubierto, encontrado por los pitagóricos , es la razón entre la longitud de la diagonal d y la longitud de un lado s de un cuadrado , que es la raíz cuadrada de 2 , formalmente Otro ejemplo es la razón de un círculo circunferencia a su diámetro, que se llama π , y no es sólo un número irracional , sino un número trascendental .
También es bien conocida la proporción áurea de dos (en su mayoría) longitudes a y b , que se define por la proporción
Tomando las razones como fracciones y teniendo el valor x , se obtiene la ecuación
que tiene la solución positiva e irracional. Por lo tanto, al menos uno de a y b tiene que ser irracional para que estén en la proporción áurea. Un ejemplo de ocurrencia de la proporción áurea en matemáticas es como el valor límite de la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos : aunque todas estas proporciones son proporciones de dos números enteros y, por lo tanto, son racionales, el límite de la secuencia de estas proporciones racionales es La irracional proporción áurea.
De manera similar, la proporción de plata de a y b está definida por la proporción
Esta ecuación tiene una solución positiva e irracional, por lo que nuevamente al menos una de las dos cantidades a y b en la proporción de plata debe ser irracional.
Las probabilidades (como en los juegos de azar) se expresan como una proporción. Por ejemplo, probabilidades de "7 a 3 en contra" (7:3) significan que hay siete posibilidades de que el evento no suceda por cada tres posibilidades de que suceda. La probabilidad de éxito es del 30%. De cada diez pruebas se espera que haya tres victorias y siete derrotas.
Las razones pueden ser aunitarias , como en el caso de que relacionen cantidades en unidades de la misma dimensión , incluso si sus unidades de medida son inicialmente diferentes. Por ejemplo, la proporción de un minuto: 40 segundos se puede reducir cambiando el primer valor a 60 segundos, de modo que la proporción pase a ser 60 segundos: 40 segundos . Una vez que las unidades sean iguales, se pueden omitir y la proporción se puede reducir a 3:2.
Por otro lado, existen cocientes adimensionales, también conocidos como tasas (a veces también como ratios). [23] [24] En química, las relaciones de concentración de masa generalmente se expresan como fracciones de peso/volumen. Por ejemplo, una concentración del 3% p/v normalmente significa 3 g de sustancia por cada 100 ml de solución. Esto no se puede convertir a una relación adimensional, como en fracciones peso/peso o volumen/volumen.
Las ubicaciones de los puntos con respecto a un triángulo con vértices A , B y C y lados AB , BC y CA a menudo se expresan en forma de razón extendida como coordenadas triangulares .
En coordenadas baricéntricas , un punto con coordenadas α, β, γ es el punto sobre el cual una lámina de metal ingrávida con la forma y el tamaño del triángulo se equilibraría exactamente si se colocaran pesos en los vértices, con la proporción de los pesos en A. y siendo B α : β , siendo la relación de los pesos en B y C β : γ y, por lo tanto, siendo la relación de los pesos en A y C α : γ .
En coordenadas trilineales , un punto con coordenadas x : y : z tiene distancias perpendiculares al lado BC (al otro lado del vértice A ) y al lado CA (al otro lado del vértice B ) en la relación x : y , distancias al lado CA y al lado AB (al otro lado del vértice B) de C ) en la proporción y : z , y por lo tanto distancias a los lados BC y AB en la proporción x : z .
Dado que toda la información se expresa en términos de proporciones (los números individuales indicados por α, β, γ, x, y y z no tienen significado por sí mismos), se aplica un análisis de triángulos que utiliza coordenadas baricéntricas o trilineales independientemente del tamaño del triángulo. .
[003A se] también utiliza para indicar división o escala;
para ese uso matemático se prefiere 2236 ∶
"Velocidad" se puede definir como la relación... "Densidad de población" es la relación... "Consumo de gasolina" se mide como la relación...
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: otros ( enlace )