La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.[1] Los factoriales han sido descubiertos en varias culturas antiguas, especialmente en las matemáticas indias en las obras canónicas de la literatura jainista, y por los místicos judíos en el libro talmúdico Sefer Yetzirah.La aproximación de Stirling proporciona una aproximación exacta al factorial de los grandes números, demostrando que crece más rápidamente que el crecimiento exponencial.Aunque calcular directamente factoriales grandes utilizando la fórmula del producto o la recurrencia no es eficiente, se conocen algoritmos más rápidos, que igualan con un factor constante el tiempo de los algoritmos de multiplicación rápidos para números con el mismo número de dígitos.[13] La serie de potencias para la función exponencial, con los recíprocos de factoriales para sus coeficientes, fue formulada por primera vez en 1676 por Isaac Newton en una carta a Gottfried Wilhelm Leibniz.para los factoriales fue introducida por el matemático francés Christian Kramp en 1808.Otra notación posterior, en la que el argumento del factorial estaba semicerrado por los lados izquierdo e inferior de una caja, fue popular durante algún tiempo en Gran Bretaña y América, pero cayó en desuso, tal vez porque es difícil de tipografiar.[17] La palabra "factorial" (originalmente en francés: factorielle) fue utilizada por primera vez en 1800 por Louis François Antoine Arbogast,[18] en el primer trabajo sobre la fórmula de Faà di Bruno,[19] sino que se refiere a un concepto más general de productos de progresión aritméticas.Los "factores" a los que se refiere este nombre son los términos de la fórmula del producto para el factorial.debe definirse como: Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue: válida para todo número mayor o igual que 1.debe ser necesariamente 6 puesto que El mismo proceso justifica el valor de 2!más rápidamente cuando mayor sea n. La definición indicada de factorial es válida para números no negativos.Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición: El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero solo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n: Se define el doble factorial de n mediante la relación de recurrencia: Por ejemplo: La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para: Empieza así: La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos: Y esta es la sucesión de dobles factoriales para: El doble factorial de un número negativo par no está definido.
