Por tanto, el teorema, probado su recíproco, proporciona una condición necesaria y suficiente para que el número entero
Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu 'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a comienzos del siglo XI.
La siguiente tabla muestra los valores de n desde 2 a 30, (n-1)!, Y el resto al (n-1)!
En otras palabras, 1 y p − 1 son cada uno su propio inverso, pero para cualquier otro elemento de G hay un inverso, también en G, así que si tomamos todos los elementos de G por parejas y los multiplicamos todos ellos juntos, el producto será igual a −1 (módulo p).
Por ejemplo, si p = 11, tenemos que: Las propiedades conmutativas y asociativas son usadas en el procedimiento de arriba.
Todos los elementos en el producto anterior serán de la forma g g −1 ≡ 1 (mod p) excepto 1 (p − 1), que están al principio del producto.
Esto es imposible a menos que f(x) sea idénticamente cero módulo p, esto es, a menos que cada coeficiente de f(x) sea divisible por p. Dado que el término constante de f(x) es justamente (p − 1)!
Por lo tanto, las potencias de q que dividen al factorial son al menos n/q − 1; y las potencias que dividen a n son a lo máximo La inecuación se cumple en general, excepto para el caso q = 2 y n = 4.
Para la suposición, p = 4k + 1 para algún entero k. Entonces, tomando n = 2k y sustituyendo, se concluye que: El teorema de Wilson ha sido utilizado para generar fórmulas para los primos, pero es demasiado lento como para tener valor práctico.
El teorema de Wilson se puede generalizar, como mostró Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae:
En este último caso, el producto de todos los elementos es igual a.