En términos concretos, el subfactorial cuenta el número de formas diferentes en que n personas podrían cambiar por ejemplo: regalos, donde cada persona da un regalo a otra persona, y cada uno recibe exactamente otro regalo.
La función subfactorial define la secuencia A000166 en OEIS.
El nombre «subfactorial» viene de la función factorial (usualmente escrita n!
El valor del subfactorial es siempre menor o igual que el factorial correspondiente a mismo n: Los subfactoriales pueden ser calculados usando el principio de inclusión-exclusión.
denota la función gamma incompleta, y e es la constante de Euler; o donde
denota la función parte entera más cercana.
; esta es la secuencia OEIS:A000255 Los subfactoriales también pueden ser calculados recursivamente: Intuitivamente, la expresión anterior puede deducirse a partir de las siguientes observaciones: Recursivamente, el factorial de un número puede calcularse partiendo de que
La notación !n no es universalmente aceptada.
Da ambigüedad a la notación de la función factorial si hay algún valor que precede al subfactorial, lo cual hace que usualmente se necesite un inusual ordenamiento de los factores (véase por ejemplo las fórmulas arriba), o paréntesis rodeando el subfactorial.
Sin embargo, existen otras notaciones que carecen de esta ambigüedad, como Dn, dn, o n¡ (que usa el signo de exclamación invertido).
[1] El número 148 349 es el único número que es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos: El uso de subfactoriales a veces es permitido en el juego matemático llamado Cuatro cuatros, donde el hecho que !4 sea 9 es útil.