Hipótesis de Lindelöf

En matemáticas , la hipótesis de Lindelöf es una conjetura del matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf ^[1] sobre la tasa de crecimiento de la función zeta de Riemann en la línea crítica. Esta hipótesis está implícita en la hipótesis de Riemann . Dice que para cualquier ε > 0, cuando t tiende a infinito (ver notación O mayúscula ). Dado que ε puede reemplazarse por un valor menor, la conjetura puede reformularse de la siguiente manera: para cualquier ε positivo , $${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=O(t^{\varepsilon })}$$ $${\displaystyle \zeta \!\left({\frac {1}{2}}+it\right)\!=o(t^{\varepsilon }).}$$

La función μ

Si σ es real , entonces μ (σ) se define como el ínfimo de todos los números reales a tales que ζ(σ +  iT  ) = O( T ^a ). Es trivial comprobar que μ (σ) = 0 para σ > 1, y la ecuación funcional de la función zeta implica que μ (σ) = μ (1 − σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmén-Lindelöf implica que μ es una función convexa . La hipótesis de Lindelöf establece que μ (1/2) = 0, lo que junto con las propiedades anteriores de μ implica que μ (σ) es 0 para σ ≥ 1/2 y 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

El resultado de convexidad de Lindelöf junto con μ (1) = 0 y μ (0) = 1/2 implica que 0 ≤  μ (1/2) ≤ 1/4. El límite superior de 1/4 fue reducido por Hardy y Littlewood a 1/6 aplicando el método de Weyl para estimar sumas exponenciales a la ecuación funcional aproximada . Desde entonces, varios autores lo han reducido a un poco menos de 1/6 utilizando pruebas largas y técnicas , como en la siguiente tabla:

Relación con la hipótesis de Riemann

Backlund ^[19] (1918-1919) demostró que la hipótesis de Lindelöf es equivalente a la siguiente afirmación sobre los ceros de la función zeta: para cada ε  > 0, el número de ceros con parte real al menos 1/2 +  ε y parte imaginaria entre T y T  + 1 es o(log( T )) cuando T tiende a infinito. La hipótesis de Riemann implica que no hay ceros en absoluto en esta región y, por lo tanto, implica la hipótesis de Lindelöf. Se sabe que el número de ceros con parte imaginaria entre T y T  + 1 es O(log( T )), por lo que la hipótesis de Lindelöf parece solo ligeramente más fuerte que lo que ya se ha demostrado, pero a pesar de esto ha resistido todos los intentos de demostrarla.

Medias de potencias (o momentos) de la función zeta

La hipótesis de Lindelöf es equivalente a la afirmación de que para todos los enteros positivos k y todos los números reales positivos ε. Esto se ha demostrado para k  = 1 o 2, pero el caso k  = 3 parece mucho más difícil y sigue siendo un problema abierto . $${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{\varepsilon })}$$

Hay una conjetura mucho más precisa sobre el comportamiento asintótico de la integral : se cree que

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)}$

para algunas constantes c _{k , j}  . Esto ha sido demostrado por Littlewood para k  = 1 y por Heath-Brown ^[20] para k  = 2 (ampliando un resultado de Ingham ^[21] que encontró el término principal).

Conrey y Ghosh ^[22] sugirieron el valor

${\displaystyle {\frac {42}{9!}}\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)}$

para el coeficiente principal cuando k es 6, y Keating y Snaith ^[23] utilizaron la teoría de matrices aleatorias para sugerir algunas conjeturas para los valores de los coeficientes para valores  k más altos . Se conjetura que los coeficientes principales son el producto de un factor elemental, un cierto producto sobre primos y el número de tablas de Young n  ×  n dadas por la secuencia

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ... (secuencia A039622 en la OEIS ).

Otras consecuencias

Denotando por p _n el n -ésimo número primo, sea Un resultado de Albert Ingham muestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquier ε  > 0, si n es suficientemente grande . ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$ $${\displaystyle g_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }}$$

Una conjetura de brecha primaria más fuerte que el resultado de Ingham es la conjetura de Cramér , que afirma que ^{[24] [25]} $${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right).}$$

La hipótesis de la densidad

La región libre de ceros conocida corresponde, en líneas generales, a la esquina inferior derecha de la imagen, y la hipótesis de Riemann empujaría todo el diagrama hacia abajo, hasta el eje x . En el otro extremo, el límite superior de este diagrama corresponde al límite trivial que surge de la fórmula de Riemann-von Mangoldt (existen otras estimaciones ^[26] ) . ${\displaystyle A_{RH}(\sigma >1/2)=0}$ ${\displaystyle A_{DH}(1-\sigma )=2(1-1/2)=1}$

La hipótesis de densidad dice que , donde denota el número de ceros de con y , y se seguiría de la hipótesis de Lindelöf. ^{[27] [28]} ${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{2(1-\sigma )+\epsilon }}$ ${\displaystyle N(\sigma ,T)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)\geq \sigma }$ ${\displaystyle |{\mathfrak {I}}(s)|\leq T}$

De manera más general , se sabe que este límite corresponde aproximadamente a la asintótica para primos en intervalos cortos de longitud . ^{[29] [30]} ${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{A(\sigma )(1-\sigma )+\epsilon }}$ ${\displaystyle x^{1-1/A(\sigma )}}$

Ingham demostró que en 1940, ^[31] Huxley que en 1971, ^[32] y Guth y Maynard que en 2024 (preimpresión) ^{[33] [34] [35]} y estos coinciden en , por lo tanto, el último trabajo de Guth y Maynard da el valor conocido más cercano a como esperaríamos de la hipótesis de Riemann y mejora el límite a o equivalentemente las asintóticas a . ${\displaystyle A_{I}(\sigma )={\frac {3}{2-\sigma }}}$ ${\displaystyle A_{H}(\sigma )={\frac {3}{3\sigma -1}}}$ ${\displaystyle A_{GM}(\sigma )={\frac {15}{5\sigma +3}}}$ ${\displaystyle \sigma _{I,GM}=7/10<\sigma _{H,GM}=8/10<\sigma _{I,H}=3/4}$ ${\displaystyle \sigma =1/2}$ ${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq N^{{\frac {30}{13}}(1-\sigma )+\epsilon }}$ ${\displaystyle x^{17/30}}$

En teoría, también se podrían esperar mejoras en las estimaciones de Baker, Harman y Pintz para la conjetura de Legendre y mejores regiones libres de ceros de Siegel, entre otras.

Funciones L

La función zeta de Riemann pertenece a una familia más general de funciones llamadas funciones L. En 2010, Joseph Bernstein y Andre Reznikov ^[36] propusieron nuevos métodos para obtener estimaciones de subconvexidad para funciones L en el caso PGL(2) y Akshay Venkatesh y Philippe Michel ^[37] en el caso GL(1) y GL(2) y en 2021 para el caso GL( n ) por Paul Nelson. ^{[38] [39]}

Véase también

• Función Z#La hipótesis de Lindelöf

Notas y referencias

1. Véase Lindelöf (1908)
2. Lindelof (1908)
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